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专题10：四边形一、选择题1.(2017北京第6题)若正多边形的一个内角是150，则该正多边形的边数是（ ）A 6 B 12 C. 16 D18【答案】B.【解析】试题分析：设多边形的边数为n,则有（n-2）180=n150,解得：n=12.故选B.考点：多边形的内角与外角2. (2017河南第7题)如图，在中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的只有（ ）A B C. D【答案】C.考点：菱形的判定.3. （2017湖南长沙第10题）如图，菱形的对角线的长分别为，则这个菱形的周长为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：根据菱形的对角线互相垂直，可知OA=3，OB=4，根据勾股定理可知AB=5，所以菱形的周长为45=20.故选：D考点：菱形的性质4. （2017湖南长沙第12题）如图，将正方形折叠，使顶点与边上的一点重合（不与端点重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为（ ）A B C D随点位置的变化而变化【答案】B【解析】试题分析：设正方形ABCD的边长为2a，正方形的周长为m=8a，设CM=x，DE=y，则DM=2a-x，EM=2a-y，EMG=90，DME+CMG=90DME+DEM=90，DEM=CMG，又D=C=90DEMCMG，,即CG= CMG的周长为CM+CG+MG= 在RtDEM中，DM2+DE2=EM2即（2a-x）2+y2=（2a-y）2整理得4ax-x2=4ayCM+MG+CG=n所以故选：B考点：1、正方形，2、相似三角形的判定与性质，3、勾股定理5. （2017山东临沂第7题）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）A四边形 B五边形 C六边形 D八边形【答案】C【解析】试题分析：根据多边形的外角和为360，可知其内角和为720，因此可根据多边形的内角和公式（n-2）180=720，解得n=6，故是六边形.故选：C考点：多边形的内外角和6. （2017山东临沂第12题）在中，点是边上的点（与、两点不重合），过点作，分别交，于、两点，下列说法正确的是（ ）A若，则四边形是矩形B若垂直平分，则四边形是矩形C若，则四边形是菱形D若平分，则四边形是菱形【答案】D【解析】试题分析：根据题意可知：，可得四边形AEDF是平行四边形.若ADBC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；若AD平分BAC，则四边形AEDF是菱形；正确故选：D考点：特殊平行四边形的判定7. （2017山东青岛第7题）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AEBC，垂足为E，AC2，BD4，则AE的长为（ ）A B C D【答案】D考点：1、平行四边形的性质，2、勾股定理，3、面积法求线段长度8. (2017四川泸州第11题)如图，在矩形中，点是边的中点，,垂足为，则的值是 （ ）A B C D【答案】A.【解析】试题分析：由ADBC可得ADFEBF，根据相似三角形的性质可得 ，因点是边的中点且AD=BC,所以=2，设EF=x，可得AF=2x，在RtABE中，由射影定理可得BF= ，再由=2可得DF=2，在RtDEF中，= ，故选A.9. （2017江苏苏州第10题）如图，在菱形中，是的中点过点作，垂足为将沿点到点的方向平移，得到设、分别是、的中点，当点与点重合时，四边形的面积为A B C. D【答案】A.【解析】试题分析：作 在菱形中，,是的中点 是的中点， 故答案选A.考点：平行四边形的面积，三角函数.10.（2017江苏苏州第7题）如图，在正五边形中，连接，则的度数为A B C. D【答案】B.【解析】试题分析：= 故答案选B.考点：多边形的外角，等腰三角形的两底角相等11.（2017浙江台州第10题） 如图，矩形的四个顶点分别在菱形的四条边上，将分别沿折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形面积的时，则为 （ ）A B2 C. D4【答案】A考点：1、菱形的性质，2、翻折变换（折叠问题）二、填空题1.(2017天津第17题)如图，正方形和正方形的边长分别为3和1，点分别在边上，为的中点，连接，则的长为 .【答案】.【解析】试题分析：连结AC,根据正方形的性质可得A、E、C三点共线，连结FG交AC于点M，因正方形和正方形的边长分别为3和1，根据勾股定理可求得EC=FG=,AC=3,即可得AE=2,因为的中点，可得PE=AP=,再由正方形的性质可得GM=EM= ,FG垂直于AC，在RtPGM中，PM= ,由勾股定理即可求得PG=.2.(2017福建第15题)两个完全相同的正五边形都有一边在直线上，且有一个公共顶点，其摆放方式如图所示，则等于 度【答案】108【解析】五边形是正五边形，每一个内角都是108，OCD=ODC=180-108=72，COD=36，AOB=360-108-108-36=108.3.（2017广东广州第16题）如图9，平面直角坐标系中是原点，的顶点的坐标分别是，点把线段三等分，延长分别交于点，连接，则下列结论：是的中点；与相似；四边形的面积是；其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）【答案】【解析】试题分析：如图，分别过点A、B作 于点N， 轴于点M在 中， 是线段AB的三等分点， 是OA的中点，故正确. 不是菱形. 故 和 不相似.则错误；由得，点G是AB的中点， 是 的中位线 是OB的三等分点， 解得： 四边形 是梯形 则正确 ,故错误.综上：正确.考点： 平行四边形和相似三角形的综合运用4.（2017广东广州第11题）如图6，四边形中，则_.【答案】70【解析】试题分析：两直线平行，同旁内角互补，可得：180-11070考点：平行线的性质5.（2017山东临沂第18题）在中，对角线，相交于点.若，则的面积是 【答案】24【解析】试题分析：作OECD于E，由平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD=BD=5，CD=AB=4，由sinBDC=，证出ACCD，OC=3，AC=2OC=6，得出ABCD的面积=CDAC=24故答案为：24.考点：1、平行四边形的性质，2、三角函数，3、勾股定理6.（2017山东青岛第13题）如图，在四边形 ABCD 中，ABCADC90，E为对角线AC的中点，连接BE、ED、BD，若BAD58，则EBD的度数为_度【答案】32【解析】试题分析：如下图由ABCADC90，E为对角线AC的中点，可知A，B，C，D四点共圆，圆心是E，直径AC然后根据圆周角定理由BAD58，得到BED116，然后根据等腰三角形的性质可求得EBD=32.故答案为：32.考点:1、圆周角性质定理，2、等腰三角形性质7.(2017山东滨州第16题)如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F若AD8，AB6，AE4，则EBF周长的大小为_【答案】8.【解析】由折叠的性质可得DH=EH，设AH=x，则DH=EH=8-x，在RtAEH中，根据勾股定理可得 ，解得x=3，即可得AH=3，EH=5；根据已知条件易证AEHBFE，根据相似三角形的性质可得 ,即，解得BF= ,EF= ,所以EBF的周长为2+=8. 8.(2017江苏宿迁第15题)如图，正方形的边长为，点在边上，且若点在对角线上移动，则的最小值是 【答案】.9.(2017辽宁沈阳第16题)如图，在矩形中，,将矩形绕点按顺时针方向旋转得到矩形，点落在矩形的边上，连接，则的长是 .【答案】.【解析】试题分析：如图，过点C作MNBG，分别交BG、EF于点M、N，根据旋转的旋转可得AB=BG=EF=CD=5，AD=GF=3，在RtBCG中，根据勾股定理求得CG=4，再由,即可求得CM= ,在RtBCM中，根据勾股定理求得BM=，根据已知条件和辅助线作法易知四边形BENMW为矩形，根据矩形的旋转可得BE=MN=3,BM=EN=,所以CN=MN-CM=3-=,在RtECN中，根据勾股定理求得EC=.考点：四边形与旋转的综合题.10（2017江苏苏州第18题）如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，的对应边交边于点连接、，若，则 （结果保留根号）【答案】.【解析】试题分析：连接AG,设DG=x,则 在 中， ，则 考点：旋转的性质 ，勾股定理 .11. (2017山东菏泽第11题)菱形中，其周长为，则菱形的面积为_.【答案】18.【解析】试题分析：如图，连接BD，作DEAB,已知菱形的周长为，根据菱形的性质可得AB=6;再由，即可判定ABD是等边三角形；求得DE=,所以菱形的面积为：6=18.12. （2017浙江湖州第13题）已知一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是 【答案】5考点：多边形的外角和三、解答题1. (2017北京第20题) 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了海岛算经九题古证.,（以上材料来源于古证复原的原理、吴文俊与中国数学和古代世界数学泰斗刘徽）请根据上图完成这个推论的证明过程证明：，（_+_）易知，_=_，_=_可得 【答案】 .【解析】试题分析：由矩形的对角线的性质，对角线把矩形分成两个面积相等的三角形计算即可.本题解析：由矩形对角线把矩形分成两个面积相等的两部分可得： , , .考点：矩形的性质，三角形面积计算.2. (2017北京第22题)如图，在四边形中，为一条对角线，为的中点，连接.（1）求证：四边形为菱形；（2）连接，若平分，求的长.【答案】（1）证明见解析.（2）.【解析】试题分析：（1）先证四边形是平行四边形，再证其为菱形；（2）利用等腰三角形的性质，锐角三角函数，即可求解.本题解析：(1)证明：E为AD中点，AD=2BC,BC=ED, ADBC, 四边形ABCD是平行四边形，AD=2BE, ABD=90,AE=DEBE=ED, 四边形ABCD是菱形.(2)ADBC,AC平分BAD BAC=DAC=BCA,BA=BC=1, AD=2BC=2，sinADB=,ADB=30, DAC=30, ADC=60.在RTACD中，AD=2，CD=1，AC= .考点：平行线性质，菱形判定，直角三角形斜边中线定理.3. (2017天津第24题)将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点.是边上的一点（点不与点重合），沿着折叠该纸片，得点的对应点.（1）如图，当点在第一象限，且满足时，求点的坐标；（2）如图，当为中点时，求的长；（3）当时，求点的坐标（直接写出结果即可）.【答案】（1）点A的坐标为（，1）；（2）1；（3）或 .【解析】试题分析：（1）因点，点，可得OA= ,OB=1，根据折叠的性质可得AOPAOP，由全等三角形的性质可得OA=OA=,在RtAOB中，根据勾股定理求得的长，即可求得点A的坐标；（2）在RtAOB中，根据勾股定理求得AB=2，再证BOP是等边三角形，从而得OPA =120.在判定四边形OPAB是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得的长；试题解析：（1）因点，点，OA= ,OB=1.根据题意，由折叠的性质可得AOPAOP.OA=OA=,由，得ABO=90.在RtAOB中，,点A的坐标为（，1）.(2) 在RtAOB中，OA= ,OB=1,当为中点，AP=BP=1,OP=AB=1.OP=OB=BP,BOP是等边三角形BOP=BPO=60，OPA=180-BPO=120.由（1）知，AOPAOP，OPA=OPA=120，PA=PA=1，又OB=PA=1，四边形OPAB是平行四边形.AB=OP=1.(3)或 .4. (2017福建第24题)如图，矩形中，分别是线段AC、BC上的点，且四边形为矩形（）若是等腰三角形时，求的长；（）若，求的长【答案】（）AP的长为4或5或；（）CF=【解析】试题分析：（）分情况CP=CD、PD=PC、DP=DC讨论即可得；（）连结PF、DE，记PF与DE的交点为O，连结OC，通过证明ADPCDF，从而得 ，由AP= ，从而可得CF= .试题解析：（）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，ADC=90，DC=AB=6， AC= =10；要使PCD是等腰三角形，有如下三种情况：（1）当CP=CD时，CP=6，AP=AC-CP=4 ；（2）当PD=PC时，PDC=PCD，PCD+PAD=PDC+PDA=90，PAD=PDA，PD=PA，PA=PC，AP= ，即AP=5；（3）当DP=DC时，过D作DQAC于Q，则PQ=CQ，SADC= ADDC= ACDQ，DQ= ，CQ= ，PC=2CQ = ,AP=AC-PC= .综上所述，若PCD是等腰三角形，AP的长为4或5或；（）连结PF、DE，记PF与DE的交点为O，连结OC，四边形ABCD和PEFD都是矩形，ADC=PDF=90，即ADP+PDC=PDC+CDF，ADP=CDF，BCD=90，OE=OD，OC= ED，在矩形PEFD中，PF=DE，OC=PF，OP=OF= PF，OC=OP=OF，OCF=OFC，OCP=OPC，又OPC+OFC+PCF=180，2OCP+2OCF=180，PCF=90，即PCD+FCD=90，在RtADC中，PCD+PAD=90，PAD=FCD，ADPCDF， ，AP= ，CF= .5. （2017广东广州第24题）如图13，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，求的值；若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间【答案】（1）详见解析；（2） 和 走完全程所需时间为 【解析】（2）连接 ,直线 分别交 于点 ,交 于点 关于 的对称图形为 在矩形 中， 为 的中点，且O为AC的中点 为 的中位线 同理可得： 为 的中点， 过点P作 交 于点 由 运动到 所需的时间为3s 由可得， 点O以 的速度从P到A所需的时间等于以 从M运动到A即： 由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小. 如下图，当P运动到 ,即 时，所用时间最短. 在 中，设 解得： 和 走完全程所需时间为 考点：菱形的判定方法；构造直角三角形求三角函数值；确定极值时动点的特殊位置6. （2017山东青岛第24题）（本小题满分12分） 已知：RtEFP和矩形ABCD如图摆放（点P与点B重合），点F，B（P），C在同一条直线上，ABEF6cm，BCFP8cm，EFP90。如图，EFP从图的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s；EP与AB交于点G同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s。过Q作QMBD，垂足为H，交AD于M，连接AF，PQ，当点Q停止运动时，EFP也停止运动设运动时间为t（s）（0t6），解答下列问题：（1）当 t 为何值时，PQBD？（2）设五边形 AFPQM 的面积为 y（cm2），求 y 与 t 之间的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；（4） 在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使点M在PG的垂直平分线上？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）t= ；（2） （3）t=2，9:8（4）t= 【解析】试题分析：（1）利用CPQCBD，列比例式求出t的值；（2）利用MDQCBD，得MD=（6-t），再利用，可求得函数的解析式；（3）利用=9:8得方程求解；（4）利用PBGPEF，得AG、AM，作MNBC，构造矩形MNCD，则MN=6，PN=（8-t）-（6-t）=，然后根据AG2+AN2=PN2+MN2可列方程求解.试题解析：（1）若PQBD，则CPQCBD，可得，即，解得t=；（2）由MQD+CDB=CBD+CDB=90，可得MQD=CBD，又MDQ=C=90，MDQCBD ， 即 解得MD=（6-t），所以= = 即（3）假使存在t，使则，即整理得，解得答：当t=2， （4）易证PBGPEF，即，则作MNBC于N点，则四边形MNCD为矩形所以MN=CD=6，CN=，故：PN=若M在PG的垂直平分线上，则GM=PM，所以，所以即：整理得：，解得。考点：1、矩形，2、相似三角形，3、二次函数，4、运动型7. （2017山东青岛第21题）（本小题满分8分）已知：如图，在菱形ABCD 中，点E，O，F 分别是边AB，AC，AD的中点，连接CE、CF、OF（1）求证： BCEDCF；（2）当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF正方形？请说明理由【答案】（1）证明见解析（2）四边形AEOF是正方形【解析】试题分析：（1）利用SAS证明 BCEDCF；（2）先证明AEOF为菱形，当BCAB，得BAD90，再利用知识点：有一个角是90的菱形是正方形。试题解析：（1）四边形ABCD为菱形AB=BC=CD=DA，B=D又E、F分别是AB、AD中点，BE=DFABECDF（SAS）考点：1、菱形，2、全等三角形，3、正方形8. (2017山东滨州第22题)（本小题满分10分）如图，在ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F；再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形 （1）根据以上尺规作图的过程，求证四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，AE4，求C的大小【答案】（1）详见解析；（2）60.【解析】试题分析：（1）由作图过程可知，ABAF，AE平分BAD，即可得BAEEAF再由四边形ABCD为平行四边形，可得BCAD，根据平行线的性质可得AEBEAF，所以BAEAEB，根据等腰三角形的性质可得ABBE，即可得BEAF，所以四边形ABEF为平行四边形，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判定四边形ABEF为菱形；（2）连接BF，已知四边形ABEF为菱形，根据菱形的性质可得BF与AE互相垂直平分，BAEFAE，OAAE再由菱形ABEF的周长为16，可得AF4所以cosOAF即可得OAF30，所以BAF60再由平行线的性质即可得CBAD60试题解析：（1）由作图过程可知，ABAF，AE平分BADBAEEAF四边形ABCD为平行四边形，BCADAEBEAFBAEAEB，ABBEBEAF四边形ABEF为平行四边形四边形ABEF为菱形（2）连接BF，四边形ABEF为菱形，BF与AE互相垂直平分，BAEFAEOAAE菱形ABEF的周长为16，AF4cosOAFOAF30，BAF60四边形ABCD为平行四边形，CBAD609. (2017山东日照第18题)如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CEAE，垂足为E（1）求证：DCAEAC；（2）只需添加一个条件，即 ，可使四边形ABCD为矩形请加以证明【答案】(1)详见解析；(2)AD=BC（答案不唯一）试题分析：（1）由SSS证明DCAEAC即可；（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出D=90，即可得出结论试题解析：（1）证明：在DCA和EAC中，DCAEAC（SSS）；（2）添加AD=BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：AB=DC，AD=BC，四边形ABCD是平行四边形，CEAE，E=90，由（1）得：DCAEAC，D=E=90，四边形ABCD为矩形；考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质10. (2017辽宁沈阳第18题)如图，在菱形中，过点做于点，做于点，连接，求证：（1）;（2）【答案】详见解析.【解析】试题分析：（1）根据菱形的性质可得AD=CD，再由，可得，根据AAS即可判定；（2）已知菱形，根据菱形的性质可得AB=CB，再由，根据全等三角形的性质可得AE=CF，所以BE=BF，根据等腰三角形的性质即可得.试题解析：(1) 菱形，AD=CD，(2) 菱形，AB=CBAE=CFBE=BF考点：全等三角形的判定及性质；菱形的性质.11. (2017辽宁沈阳第24题)四边形是边长为4的正方形，点在边所在的直线上，连接，以为边，作正方形（点，点在直线的同侧），连接（1）如图1，当点与点重合时，请直接写出的长；（2）如图2，当点在线段上时，求点到的距离求的长（3）若，请直接写出此时的长. 【答案】(1)BF=4;(2)点到的距离为3；BF=；(3)AE=2+或AE=1.【解析】试题分析：（1）过点F作FMBA, 交BA的延长线于点M，根据勾股定理求得AC=,又因点与点重合，可得AFM为等腰直角三角形且AF=,再由勾股定理求得AM=FM=4,在RtBFM中，由勾股定理即可求得BF=4;（2）过点F作FHAD交AD的延长线于点H，根据已知条件易证，根据全等三角形的性质可得FH=ED，又因AD=4,AE=1,所以ED=AD-AE=4-1=3,即可求得FH=3，即点到的距离为3；延长FH交BC的延长线于点K，求得FK和BK的长，在RtBFK中，根据勾股定理即可求得BF的长；（3）分点E在线段AD的延长线上和点E在线段DA的延长线上两种情况求解即可.试题解析：(1)BF=4;(2) 如图，过点F作FHAD交AD的延长线于点H，四边形CEFG是正方形EC=EF,FEC=90DEC+FEH=90，又因四边形是正方形ADC=90DEC+ECD=90，ECD=FEH又EDC=FHE=90，FH=EDAD=4,AE=1,ED=AD-AE=4-1=3,FH=3，即点到的距离为3.延长FH交BC的延长线于点K，DHK=HDC=DCK =90，四边形CDHK为矩形，HK=CD=4,FK=FH+HK=3+4=7EH=CD=AD=4AE=DH=CK=1BK=BC+CK=4+1=5,在RtBFK中，BF=(3)AE=2+或AE=1.考点：四边形综合题.12. (2017江苏宿迁第26题)（本题满分10分）如图，在矩形纸片中，已知，点在边上移动，连接，将多边形沿直线折叠，得到多边形，点、的对应点分别为点、（1）当恰好经过点时（如图1），求线段的长；（2）若分别交边、于点、，且（如图2），求的面积；（3）在点从点移动到点的过程中，求点运动的路径长【答案】(1) ；（2）；（3）.【解析】试题解析：(1)如图1，由折叠得，,由勾股定理得，,所以，因为,所以 ,又因,所以又，所以所以,即，所以 (2)如图2-1，连接AC，因为BAC=，所以BAC=60，故DAC=30，又，所以,由折叠得，,所以,所以,即,因为,所以;(3) 如图2-2，连接A，则,所以点的运动路径是以点A为圆心，以AC为半径的圆弧；当点E运动到点D时，点恰好在CD的延长线上，此时,所以点的运动路径长是.13. (2017山东菏泽第23题)正方形的边长为，点分别是线段上的动点，连接并延长，交边于，过作，垂足为，交边于点.（1）如图1，若点与点重合，求证：；（2）如图2，若点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，运动时间为.设,求关于t的函数表达式；当时，连接，求的长.【答案】（1）详见解析；（2）；5.【解析】试题分析：（1）根据已知条件易证ABFNAD，由全等三角形的性质即可得；（2）先证ABFNAD，根据全等三角形的性质求得；（3）利用ABFNAD，求得t=2，根据（2）的函数解析式求得BF的长，再由勾股定理即可得FN的长.试题解析：【解】（1）正方形AD=AB,DAN=FBA=90NAH+ANH=90NDA+ANH=90NAH=NDAABFNAD（2）正方形ADBFADE=FBEAED=BEFEBFEAD正方形AD=DC=CB=6BD=点从点出发，以的速度沿向点运动，运动时间为.BE=，DE=当时，连接，求的长.正方形MAN=FBA=90NAH+ANH=90NMA+ANH=90NAH=NMAABFNAD，AB=6AN=2,BN=4t=2把t=2代入，得y=3，即BF=3,在RTBFN中，BF=3,BN=4,根据勾股定理即可得FN=5.14. (2017山东菏泽第17题)如图，是的边的中点，连接并延长交的延长线于，若，求的长.【答案】12.【解析】试题分析：试题解析：先证明AEFDEC,根据全等三角形的性质可得AF=，再利用平行四边形的性质证得AB=CD=6，根据=AF+AB即可求得BF的长.【解】AFDCF=DCF是的边的中点AE=DEAEF=DECAEFDECAF=AB=CD=6即=AF+AB=12.15. (2017浙江舟山第23题)如图是的中线，是线段上一点（不与点重合），交于点，连结.（1）如图1，当点与重合时，求证：四边形是平行四边形；（2）如图2，当点不与重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.（3）如图3，延长交于点，若，且.当，时，求的长.【答案】（1）详见解析；（2）结论成立，理由详见解析；（3）DH=1+.【解析】试题分析：（1）由DE/AB，可得同位角相等：EDC=ABM，由CE/AM，可得同位角相等ECD=ADB，又由BD=DC，则ABDEDC，得到AB=ED，根据有一组对边平行且相等，可得四边形ABDE为平行四边形.（2）过点M作MG/DE交EC于点G，则可得四边形DMGE为平行四边形，且ED=GM且ED/GM，由（1）可得AB=GM且AB/GM，即可证得；（3）在已知条件中没有已知角的度数时，则在求角度时往特殊角30，60，45的方向考虑，则要求这样的特殊角，就去找边的关系，构造直角三角形，取线段HC的中点I，连结MI，则MI是BHC的中位线，可得MI/BH,MI=BH，且MIAC，则去找RtAMI中边的关系，求出CAM；设DH=x,即可用x分别表示出AH=x，AD=2x,AM=4+2x，BH=4+2x,由HDFHBA，得到对应边成比例，求出x的值即可. 试题解析：（1）证明：DE/AB，EDC=ABM，CE/AM，ECD=ADB，又AM是ABC的中线，且D与M重合，BD=DC，ABDEDC，AB=ED，又AB/ED,四边形ABDE为平行四边形。（2）解：结论成立，理由如下：过点M作MG/DE交EC于点G，CE/AM，四边形DMGE为平行四边形，ED=GM且ED/GM，由（1）可得AB=GM且AB/GM，AB=ED且AB/ED.四边形ABDE为平行四边形.（3）解：取线段HC的中点I，连结MI，MI是BHC的中位线，MI/BH,MI=BH，又BHAC，且BH=AM，MI=AM，MIAC，CAM=30设DH=x,则AH=x，AD=2x,AM=4+2x，BH=4+2x,由（2）已证四边形ABDE为平行四边形，FD/AB，HDFHBA， 即解得x=1（负根不合题意，舍去）DH=1+.考点：平行四边形的判定与性质16. （2017浙江湖州第22题） （本小题10分）已知正方形的对角线，相交于点（1）如图1，分别是，上的点，与的延长线相交于点若，求证：；（2）如图2，是上的点，过点作，交线段于点，连结交于点，交于点若，求证：；当时，求的长【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质，可根据三角形全等的判定（ASA）与性质求证即可；（2）同（1）中，利用上面的结论，根据SAS可证的结论；设CH=x，然后根据正方形的性质和相似三角形的判定与性质可得，然后列方程求解即可.（2）证明：OD=OC，DOG=COE=90又OE=OGDOGCOE（SAS）ODG=OCE解：设CH=x，四边形ABCD是正方形，AB=1BH=1-xDBC=BDC=ACB=45EHBCBEH=EBH=45EH=BH=1-xODG=OCEBDC-ODG=ACB-OCEHDC=ECHEHBCEHC=HCD=90CHEDCH HC2=EHCD得x2+x-1=0解得，（舍去）HC=考点：1、正方形的性质，2、全等三角形的判定与性质，3、相似三角形的判定与性质，4、解一元二次方程17. (2017湖南湘潭第20题)如图，在中，连接并延长交的延长线于点.（1）求证：；（2）若，求的度数.【答案】（1）详见解析；（2）108.【解析】试题分析：（1）利用AAS或ASA,证明（2）先证明ABF是等腰三角形，再求的度数.试题解析：（1） ADDFADE=EFC，AED=CEF（2） AD=BCAD=FCFC=BCAB=BF=108
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