电磁场与电磁波（第4版）教学指导书 第1章 矢量分析

第1章 矢量分析1.1基本内容概述矢量分析是研究电磁场在空间的分布和变化规律的基本数学工具之一。本章着重讨论标量场的梯度、矢量场的散度和旋度的概念及其运算规律。1.1.1 矢量代数两个矢量与的点积是一个标量，定义为 （1.1）两个矢量与的叉积是一个矢量， （1.2）矢量与矢量的点积称为标量三重积，它具有如下运算性质 （1.3）矢量与矢量的叉积称为矢量三重积，它具有如下运算性质 （1.4）1.1.2 三种常用的正交坐标系 1. 直角坐标系（ ）直角坐标系中的三个相互正交的坐标单位矢量为、和，遵循右手螺旋法则：、 （1.5）长度元 （1.6）面积元为， （1.7）体积元为 （1.8）2. 圆柱坐标系（）圆柱坐标系中的三个相互正交的坐标单位矢量为、和，遵循右手螺旋法则：、 （1.9）长度元 （1.10）面积元， （1.11）体积元 （1.12）3. 球坐标系（）球坐标系中的三个相互正交的坐标单位矢量为、和，遵循右手螺旋法则：、 （1.13）长度元 （1.14）面积元， （1.15）体积元 （1.16）4. 坐标单位矢量之间的变换、与、之间的变换关系为00001、与、之间的变换关系为00010、与、之间的变换关系为01.1.3 标量场的梯度1. 标量场的等值面标量场可用一个标量函数来描述 （1.17）标量场的等值面方程为为常数 （1.18）2. 标量场的方向导数在直角坐标系中方向导数的计算公式为 （1.19）式中、是方向的方向余弦。3. 标量场的梯度标量场的梯度是一个矢量，在直角坐标、圆柱坐标、球坐标中的分别表达式为 （1.20） （1.21） （1.22）1.1.3矢量场的散度1. 矢量场的矢量线矢量场可用一个矢量函数来描述 （1.23）矢量场的矢量线微分方程为 （1.24）2矢量场的通量矢量场穿出闭合面的通量为 （1.25）3矢量场的散度矢量场的散度是一个标量，在直角坐标、圆柱坐标、球坐标中的表达式分别为 （1.26） （1.27） （1.28）4散度定理矢量场的散度在体积上的体积分等于矢量场在限定该体积的闭合曲面S上的面积分，即 （1.29）散度定理是矢量场中的体积分与面积分之间的一个变换关系，在电磁理论中非常有用。1.1.4 矢量场的旋度1矢量场的环流矢量场沿闭合路径的环流为 （1.30）2矢量场的旋度矢量场的旋度是一个矢量，在直角坐标、圆柱坐标、球坐标中的表达式分别为 （1.31） （1.32） （1.33）3斯托克斯定理矢量场的旋度在曲面S上的面积分等于矢量场在限定该曲面的闭合路径的线积分，即 （1.34）斯托克斯定理是矢量场中的面积分与线积分之间的一个变换关系，在电磁理论中也很有用。1.1.5无旋场与无散场1. 无旋场标量场的梯度有一个重要性质，就是它的旋度恒等于零，即 （1.35）一个旋度处处为零的矢量场称为无旋场，可以把它表示为一个标量场的梯度，即如果，则存在标量函数，使得有 （1.36）2. 无散场矢量场的旋度有一个重要性质，就是旋度的散度恒等于零，即 （1.37）一个散度处处为零的矢量场称为无散场，可以把它表示为另一矢量场的旋度，即如果，则存在矢量函数，使得 （1.38）1.1.6拉普拉斯运算与格林定理1. 拉普拉斯运算在直角坐标、圆柱坐标、球坐标中，的表达式分别为 （1.39） （1.40） （1.41）2. 格林定理格林第一定理（格林第一恒等式） （1.42）格林第二定理（格林第二恒等式） （1.43）1.1.7 亥姆霍兹定理矢量场的散度和旋度都是表示矢量场的性质的量度，一个矢量场所具有的性质，可由它的散度和旋度来说明。而且，可以证明：在有限的区域V内，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件（即限定区域V的闭合面S上的矢量场的分布）惟一地确定，且可表示为 （1.44）1.2教学基本要求及重点、难点1.2.1 教学基本要求理解标量场与矢量场的概念，了解标量场的等值面和矢量场的矢量线的概念；直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系是三种常用的坐标系，应熟练掌握；矢量场的散度和旋度、标量场的梯度是矢量分析中最基本的重要概念，应深刻理解，掌握散度、旋度和梯度的计算公式和方法；散度定理和斯托克斯定理是矢量分析中的两个重要定理，应熟练掌握和应用；理解亥姆霍兹定理的重要意义。1.2.2 重点、难点讨论（1）矢量场散度和旋度描述矢量场的不同性质，主要的区别在于： 一个矢量场的旋度是一个矢量函数，而一个矢量场的散度是一个标量函数； 旋度描述的是矢量场中各点的场量与涡旋源的关系，而散度描述的是矢量场中各点的场量与通量源的关系； 如果矢量场所在的空间中，则这种场中不可能存在旋涡源，因而称之为无旋场（或保守场）；如果矢量场所在的空间中，则这种场中不可能存在通量源，因而称之为无源场（或管形场）； 在旋度公式（1.31）中，矢量场的场分量、分别只对与其垂直方向的坐标变量求偏导数，所以矢量场的旋度描述的是场分量在与其垂直的方向上的变化规律；而在散度公式（1.26）中，矢量场的场分量、分别只对、求偏导数，所以矢量场的散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。（2）亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，矢量场由它的散度和旋度惟一地确定，矢量的散度和矢量的旋度各对应矢量场的一种源。所以，分析矢量场总是从研究它的散度和旋度着手，散度方程和旋度方程组成了矢量场的基本方程（微分形式）。也可以从矢量场沿闭合面的通量和沿闭合路径的环流着手，得到基本方程的积分形式。（3）一个标量场的性质可由它的梯度来描述，即。标量场的梯度具有如下性质： 标量场的梯度一个矢量场并且； 标量场中，在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向上的投影，即； 标量场中每一点的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向增加的方向。1.3习题解答1.1 给定三个矢量、和如下：求：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）在上的分量；（6）；（7）和；（8）和。解 （1）（2）（3）11（4）由 ，得（5）在上的分量 （6）（7）由于 所以 （8） 1.2 三角形的三个顶点为、和。 （1）判断是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。解 （1）三个顶点、和的位置矢量分别为，则 ， ，由此可见故为一直角三角形。 （2）三角形的面积 1.3 求点到点的距离矢量及的方向。解 ，则 且与、轴的夹角分别为1.4 给定两矢量和，求它们之间的夹角和在上的分量。解 故与之间的夹角为在上的分量为1.5 给定两矢量和，求在上的分量。解 所以在上的分量为1.6 证明：如果和，则；解 由，则有，即由于，于是得到故 1.7 如果给定一个未知矢量与一个已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设为一已知矢量，而，和已知，试求。解 由，有故得 1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。解 （1）在直角坐标系中、故该点的直角坐标为。（2）在球坐标系中、故该点的球坐标为1.9 用球坐标表示的场。（1）求在直角坐标中点处的和；（2）求在直角坐标中点处与矢量构成的夹角。解 （1）在直角坐标中点处，故又在直角坐标中点处，所以故（2） 在直角坐标中点处故与构成的夹角为1.10 球坐标中两个点和定出两个位置矢量和。证明和间夹角的余弦为解 由 得到 1.11 求标量函数的梯度及在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量定出；求点的方向导数值。解 故沿方向的方向导数为点处沿的方向导数值为1.12 已知标量函数。（1）求；（2）在哪些点上等于零。解 （1）；（2）由，得1.13 方程给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。解 由于 故椭球表面上任意点的单位法向矢量为1.14 利用直角坐标，证明解 在直角坐标中1.15 一个球面的半径为，球心在原点上，计算：的值。解 1.16 已知矢量，试确定常数、使为无源场。解 由，得1.17 在由、和围成的圆柱形区域，对矢量验证散度定理。解 在圆柱坐标系中所以 又 故有 1.18 求（1）矢量的散度；（2）求对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求对此立方体表面的积分，验证散度定理。解 （1）（2）对中心在原点的一个单位立方体的积分为（3）对此立方体表面的积分故有 1.19 计算矢量对一个球心在原点、半径为的球表面的积分，并求对球体积的积分。解 又在球坐标系中，所以1.20 在球坐标系中，已知矢量，其中、和均为常数。（1）问矢量是否为常矢量；（2）求和。解 （1） 即矢量的模为常数。将矢量用直角坐标表示，有由此可见矢量的方向随和变化，故矢量不是常矢量。由上述结果可知，一个常矢量在球坐标系中不能表示为。（2）在球坐标系中1.21 求矢量沿平面上的一个边长为的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与轴和轴相重合。再求对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。题1.21图解 如题1.21图所示又所以故有1.22 求矢量沿圆周的线积分，再计算对此圆面积的积分。解 1.23 证明：（1）；（2）；（3）。其中，为一常矢量。解 （1） （2） （3）设 ，则，故1.24 一径向矢量场表示，如果，那么函数会有什么特点呢？解 在圆柱坐标系中，由可得到为任意常数。在球坐标系中，由可得到1.25 给定矢量函数，试求从点到点的线积分：（1）沿抛物线；（2）沿连接该两点的直线。这个是保守场吗？解 （1） （2）连接点到点直线方程为 即 故 由此可见积分与路径无关，故是保守场。1.26 试采用与推导直角坐标中相似的方法推导圆柱坐标下的公式。解 在圆柱坐标中，取小体积元如题1.26图所示。矢量场沿方向穿出该六面体的表面的通量为题1.26图同理因此，矢量场穿出该六面体的表面的通量为故得到圆柱坐标下的散度表达式1.27 现有三个矢量、为（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？（2）求出这些矢量的源分布。解（1）在球坐标系中故矢量既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；在圆柱坐标系中故矢量可以由一个标量函数的梯度表示；直角在坐标系中故矢量可以由一个矢量函数的旋度表示。（2）这些矢量的源分布为，；，；，.1.28 利用直角坐标，证明解 在直角坐标中1.29 证明解 根据算子的微分运算性质，有式中表示只对矢量作微分运算，表示只对矢量作微分运算。由，可得同理 故有 1.30 利用直角坐标，证明解 在直角坐标中所以1.31 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明及，试证明之。解 （1）对于任意闭合曲线为边界的任意曲面，由斯托克斯定理有由于曲面是任意的，故有（2）对于任意闭合曲面为边界的体积，由散度定理有题1.31图其中和如题1.31图所示。由斯托克斯定理，有由题1.31图可知和是方向相反的同一回路，则有所以得到由于体积是任意的，故有117.