高考数学二轮复习 专题七：第1讲坐标系与参数方程案文

第第 1 1 讲讲坐标系与参数方程坐标系与参数方程高考定位高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.真 题 感 悟1.(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos4.(1)设点M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且|OM|OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为2，3 ，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值.解(1)设P的极坐标为(，)(0)，M的极坐标为(1，)(10).由题设知|OP|，|OM|14cos.由|OM|OP|16 得C2的极坐标方程为4cos(0).因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0).(2)设点B的极坐标为(B，)(B0).由题设知|OA|2，B4cos，于是OAB的面积S12|OA|BsinAOB4cos|sin3|2|sin23 32|2 3.当12时，S取得最大值 2 3.所以OAB面积的最大值为 2 3.2.(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x3cos，ysin(为参数)，直线l的参数方程为xa4t，y1t(t为参数).(1)若a1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为 17，求a.解(1)a1 时，直线l的普通方程为x4y30.曲线C的标准方程是x29y21，联立方程x4y30，x29y21，解得x3，y0或x2125，y2425.则C与l交点坐标是(3，0)和2125，2425 .(2)直线l的普通方程是x4y4a0.设曲线C上点P(3cos，sin).则P到l距离d|3cos4sin4a|17|5sin（）4a|17，其中 tan34.又点C到直线l距离的最大值为 17.|5sin()4a|的最大值为 17.若a0，则54a17，a8.若a0)且垂直于极轴：cosa；(3)直线过Mb，2 且平行于极轴：sinb.3.圆的极坐标方程几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r：r；(2)当圆心位于M(r，0)，半径为r：2rcos；(3)当圆心位于Mr，2 ，半径为r：2rsin.4.直线的参数方程经过点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线的参数方程为xx0tcos，yy0tsin(t为参数).设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P0P的数量.5.圆、椭圆的参数方程(1)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为xx0rcos，yy0rsin(为参数，02).(2)椭圆x2a2y2b21 的参数方程为xacos，ybsin(为参数).热点一曲线的极坐标方程【例 1】(2015全国卷)在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为4(R R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积.解(1)因为xcos，ysin，所以C1的极坐标方程为cos2，C2的极坐标方程为22cos4sin40.(2)将4代入22cos4sin40，得23 240，解得12 2，2 2.故12 2，即|MN| 2.由于C2的半径为 1，所以C2MN的面积为12.【迁移探究 1】本例条件不变，求直线C1与曲线C3交点的极坐标.解联立方程cos2，4，解之得4且2 2.所以直线C1与曲线C3交点的极坐标为2 2，4 .【迁移探究 2】本例条件不变，求圆C2关于极点的对称圆的方程.解点(，)与点(，)关于极点对称，设点(，)为对称圆上任意一点，则(，)在圆C2上，()22cos4sin40，故所求圆C2关于极点的对称圆方程为22cos4sin40.探究提高1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：xcos，ysin，2x2y2，tanyx(x0)，要注意，的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧.2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.【训练 1】 (2017北京东城区调研)在极坐标系中， 已知极坐标方程C1：cos 3sin10，C2：2cos.(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两点间的距离.解(1)由C1：cos 3sin10，x 3y10，表示一条直线.由C2：2cos，得22cos.x2y22x，则(x1)2y21，C2是圆心为(1，0)，半径r1 的圆.(2)由(1)知，点(1，0)在直线x 3y10 上，因此直线C1过圆C2的圆心.两交点A，B的连线段是圆C2的直径，因此两交点A，B间的距离|AB|2r2.热点二参数方程及其应用【例 2】(2014全国卷)已知曲线C：x24y291，直线l：x2t，y22t(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任一点P作与l夹角为 30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.解(1)曲线C的参数方程为x2cos，y3sin(为参数).直线l的普通方程为 2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos，3sin)到l的距离为d55|4cos3sin6|.则|PA|dsin 302 55|5sin()6|，其中为锐角，且 tan43.当 sin()1 时，|PA|取得最大值，最大值为22 55；当 sin()1 时，|PA|取得最小值，最小值为2 55.探究提高1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件.2.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.【训练 2】(2017郴州三模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x2cos，y22sin(为参数)，直线l的参数方程为x122t，y22t(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程；(2)若直线l与曲线C的两个交点分别为M，N，直线l与x轴的交点为P，求|PM|PN|的值.解(1)直线l的参数方程为x122t，y22t(t为参数)，消去参数t，得xy10.曲线C的参数方程为x2cos，y22sin(为参数)，利用平方关系，得x2(y2)24，则x2y24y0.令2x2y2，ysin，代入得C的极坐标方程为4sin.(2)在直线xy10 中，令y0，得点P(1，0).把直线l的参数方程代入圆C的方程得t23 2t10，t1t23 2，t1t21.由直线参数方程的几何意义，|PM|PN|t1t2|1.热点三极坐标与参数方程的综合应用【例 3】(2016全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x 3cos，ysin(为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin4 2 2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.解(1)C1的普通方程为x23y21，曲线C2的直角坐标方程为xy40.(2)由题意，可设点P的直角坐标为( 3cos，sin).因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值.又d()| 3cossin4|2 2|sin3 2|，当且仅当2k6(kZ Z)时，d()取得最小值，最小值为 2，此时点P的直角坐标为32，12 .探究提高1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.2.数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用和的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.【训练 3】(2017哈尔滨模拟)已知曲线C的参数方程为x22cos，y2sin(为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 直线l的极坐标方程为sin64.(1)写出曲线C的极坐标方程和直线l的普通方程；(2)若射线3与曲线C交于O，A两点， 与直线l交于B点， 射线116与曲线C交于O，P两点，求PAB的面积.解(1)由x22cos，y2sin(为参数)，消去.普通方程为(x2)2y24.从而曲线C的极坐标方程为24cos0，即4cos，因为直线l的极坐标方程为sin6 4，即32sin12cos4，直线l的直角坐标方程为x 3y80.(2)依题意，A，B两点的极坐标分别为2，3 ，4，3 ，联立射线116与曲线C的极坐标方程得P点极坐标为2 3，116，|AB|2，SPAB1222 3sin36 2 3.1.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.2.要熟悉常见曲线的参数方程、极坐标方程，如：圆、椭圆、及过一点的直线，在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答.3.过定点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线参数方程的标准形式为xx0tcos，yy0tsin(t为参数)，t的几何意义是P0P的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分.使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|t1t2|，P1P2的中点对应的参数为12(t1t2).1.(2017江苏卷)在平面坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x8t，yt2(t为参数)，曲线C的参数方程为x2s2，y2 2s(s为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.解由x8t，yt2消去t.得l的普通方程为x2y80，因为点P在曲线C上，设点P(2s2，2 2s).则点P到直线l的距离d|2s24 2s8|52（s 2）245，当s 2时，d有最小值454 55.2.(2017贵阳调研)以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为21sin.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|3|OQ|，求直线l的极坐标方程.解(1)x2y2，siny，21sin化为sin2，曲线的直角坐标方程为x24y4.(2)设直线l的极坐标方程为0(R R)，根据题意，不妨设P(0，0)，则Q(，1)，且031，即21sin0321sin（0），解得06或056，直线l的极坐标方程6(R R)或56(R R).3.(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为x2t，ykt(t为参数)，直线l2的参数方程为x2m，ymk(m为参数).设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cossin) 20，M为与C的交点，求M的极径.解(1)由l1：x2t，ykt(t为参数)消去t，化为l1的普通方程yk(x2)，同理得直线l2的普通方程为x2ky，联立，消去k，得x2y24(y0).所以C的普通方程为x2y24(y0).(2)将直线l3化为普通方程为xy 2，联立xy 2，x2y24得x3 22，y22，2x2y2184245，与C的交点M的极径为 5.4.(2017新乡三模)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为4cos，曲线M的直角坐标方程为x2y20(x0).(1)以曲线M上的点与点O连线的斜率k为参数，写出曲线M的参数方程；(2)设曲线C与曲线M的两个交点为A，B，求直线OA与直线OB的斜率之和.解(1)由x2y20（x0） ，ykx得x22k1，y2k2k1.故曲线M的参数方程为x22k1，y2k2k1k为参数，且k12 .(2)由4cos，得24cos，x2y24x.将x22k1，y2k2k1代入x2y24x整理得k24k30，k1k24.故直线OA与直线OB的斜率之和为 4.5.(2016全国卷)在直角坐标系xOy中， 曲线C1的参数方程为xacost，y1asint(t为参数，a0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos.(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足 tan02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解(1)消去参数t得到C1的普通方程x2(y1)2a2，C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆.将xcos，ysin代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin1a20.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组22sin1a20，4cos.若0，由方程组得 16cos28sincos1a20，由已知 tan2，可得 16cos28sincos0，从而 1a20，解得a1(舍去)，a1.a1 时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上.所以a1.6.(2017乐山二模)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x1tcos，ytsin(t为参数，0)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4cos，圆C的圆心到直线l的距离为32.(1)求的值；(2)已知P(1，0)，若直线l与圆C交于A，B两点，求1|PA|1|PB|的值.解(1)由直线l的参数方程为x1tcos，ytsin(t为参数， 0)， 消去参数t， 得xsinycossin0.圆C的极坐标方程为4cos，即24cos.可得圆C的普通坐标方程为x2y24x0，可知圆心为(2，0)，圆C的圆心到直线l的距离为d|2sinsin|sin2cos23sin.由题意：d32，即 3sin32，则 sin12，00，t1，t2是同号.1|PA|1|PB|1|t1|1|t2|t1|t2|t1t2|t1t2|t1t2|3 35.