版高考数学二轮复习分层设计全国通用第四层热身篇：专题检测二十导数的几何意义及简单应用

专题检测（二十）专题检测（二十）导数的几何意义及简单应用导数的几何意义及简单应用A 组“633”考点落实练一、选择题1.已知函数 f(x)的导函数 f(x)满足下列条件：f(x)0 时，x2；f(x)0 时，1x2；f(x)0 时，x1 或 x2.则函数 f(x)的大致图象是()解析：选 A根据条件知，函数 f(x)在(1，2)上是减函数.在(，1)，(2，)上是增函数，故选 A.2.设函数 f(x)xex1，则()A.x1 为 f(x)的极大值点B.x1 为 f(x)的极小值点C.x1 为 f(x)的极大值点D.x1 为 f(x)的极小值点解析：选 D由题意得，f(x)(x1)ex，令 f(x)0，得 x1，当 x(，1)时，f(x)0，当 x(1，)时，f(x)0，则 f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以 x1 为 f(x)的极小值点，故选 D.3.已知直线 ykx2 与曲线 yxln x 相切，则实数 k 的值为()A.ln 2B.1C.1ln 2D.1ln 2解析：选 D由 yxln x 知 yln x1，设切点为(x0，x0ln x0)，则切线方程为 yx0ln x0(ln x01)(xx0)，因为切线 ykx2 过定点(0，2)，所以2x0ln x0(ln x01)(0 x0)，解得 x02，故 k1ln 2，选 D.4.若 x 2 是函数 f(x)(x22ax)ex的极值点，则函数 yf(x)的最小值为()A.(22 2)e2B.0C.(22 2)e 2D.e解析：选 Cf(x)(x22ax)ex，f(x)(2x2a)ex(x22ax)exx22(1a)x2aex，由已知得，f(2)0，所以 22 22a2 2a0，解得 a1.所以 f(x)(x22x)ex，所以 f(x)(x22)ex，所以函数的极值点为 2，2，当 x( 2， 2)时，f(x)0；所以函数 yf(x)是减函数，当 x(， 2)或 x(2，)时，f(x)0，函数 yf(x)是增函数.又当 x(，0)(2，)时，x22x0，f(x)0，当 x(0，2)时，x22x0，f(x)0，所以 f(x)min在 x(0，2)上，又当 x(0， 2)时，函数 yf(x)递减，当 x(2，2)时，函数 yf(x)递增，所以 f(x)minf(2)(22 2)e 2.5.已知函数 f(x)(2xln xa)ex在(0，)上单调递增，则实数 a 的最大值是()A.5ln 2B.52ln 2C.2ln 2D.52ln 2解析：选 Af(x)(2xln xa)ex，f(x)(2xln x1x2a)ex，x(0，).依题意，知 x(0，)时，f(x)0 恒成立，即 a2xln x1x2 在(0，)上恒成立.设g(x)2xln x1x2，则 g(x)21x1x22x2x1x2（2x1） （x1）x2，x(0，).令g(x)0，得 x12或 x1(舍去).令 g(x)0，则 0 x12，令 g(x)0，则 x12，当 x12时，函数 g(x)取得最小值，g(x)ming12 5ln 2，a5ln 2，即实数 a 的最大值是 5ln 2.故选 A.6.已知函数 f(x)为偶函数， 当 x0 时， f(x) x4x， 设 af(log30.2)， bf(30.2)， cf(31.1)，则()A.cabB.abcC.cbaD.bac解析： 选 A因为函数 f(x)为偶函数， 所以 af(log30.2)f(log30.2)， cf(31.1)f(31.1).因为 log319log30.2log313，所以2log30.21，所以 1log30.22，所以 31.13log30.2130.2.因为 y x在(0，)上为增函数，y4x在(0，)上为增函数，所以 f(x)在(0，)上为增函数，所以 f(31.1)f(log30.2)f(30.2)，所以 cab，故选 A.二、填空题7.(2019江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 yln x 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点(e，1)(e 为自然对数的底数)，则点 A 的坐标是_.解析：设 A(m，n)，则曲线 yln x 在点 A 处的切线方程为 yn1m(xm).又切线过点(e，1)，所以有 n11m(me).再由 nln m，解得 me，n1.故点 A 的坐标为(e，1).答案：(e，1)8.若函数 f(x)xaln x 不是单调函数，则实数 a 的取值范围是_.解析：由题意知 f(x)的定义域为(0，)，f(x)1ax，要使函数 f(x)xaln x 不是单调函数，则需方程 1ax0 在(0，)上有解，即 xa，a0.答案：(，0)9.设定义在 R 上的函数 yf(x)的导函数为 f(x).如果存在 x0a， b， 使得 f(b)f(a)f(x0)(ba)成立，则称 x0为函数 f(x)在区间a，b上的“中值点”.那么函数 f(x)x33x 在区间2，2上的“中值点”为_.解析：由 f(x)x33x 求导可得 f(x)3x23，设 x0为函数 f(x)在区间2，2上的“中值点”，则 f(x0)f（2）f（2）2（2）1，即 3x2031，解得 x02 33.答案：2 33三、解答题10.已知函数 f(x)x2axaln x.(1)若曲线 yf(x)在 x2 处的切线与直线 x3y20 垂直，求实数 a 的值；(2)若函数 f(x)在2，3上单调递增，求实数 a 的取值范围.解：(1)f(x)2xaax2x2axax(x0)，依题意有 f(2)8a23，a2.(2)依题意有 2x2axa0 在 x2， 3上恒成立， 即 a2x2x1在2， 3上恒成立， 2x2x1 2x24x（x1）20(x2，3), y2x2x1在2，3上单调递减，当 x2，3时，2x2x1max8，实数 a 的取值范围为8，).11.(2019重庆市七校联合考试)设函数 f(x)1xeex，g(x)a(x21)ln x(aR R，e 为自然对数的底数).(1)证明：当 x1 时，f(x)0；(2)讨论 g(x)的单调性.解：(1)证明：f(x)ex1xxex1，令 s(x)ex1x，则 s(x)ex11，当 x1 时，s(x)0，所以 s(x)在(1，)上单调递增，又 s(1)0，所以 s(x)0，从而当 x1 时，f(x)0.(2)g(x)2ax1x2ax21x(x0)，当 a0 时，g(x)0，g(x)在(0，)上单调递减，当 a0 时，由 g(x)0 得 x12a.当 x0，12a 时，g(x)0，g(x)单调递减，当 x12a，时，g(x)0，g(x)单调递增.12.已知函数 f(x)asin xbcos x(a，bR R)，曲线 yf(x)在点3，f3处的切线方程为 yx3.(1)求 a，b 的值；(2)求函数 g(x)fx3x在0，2 上的最小值.解：(1)由切线方程知，当 x3时，y0，所以 f3 32a12b0.因为 f(x)acos xbsin x.所以由切线方程知，f3 12a32b1，所以 a12，b32.(2)由(1)知，f(x)12sin x32cos xsinx3 ，所以函数 g(x)sin xx0 x2 ，g(x)xcos xsin xx2，设 u(x)xcos xsin x0 x2 ，则 u(x)xsin x0，故 u(x)在0，2 上单调递减，所以 u(x)u(0)0，即 g(x)0 在0，2 上恒成立，所以 g(x)在0，2 上单调递减，所以函数 g(x)在0，2 上的最小值为 g2 2.B 组大题专攻强化练1.设 f(x)xln xax2(2a1)x，aR R.(1)令 g(x)f(x)，求 g(x)的单调区间；(2)已知 f(x)在 x1 处取得极大值，求实数 a 的取值范围.解：(1)由 f(x)ln x2ax2a，可得 g(x)ln x2ax2a，x(0，).则 g(x)1x2a12axx.当 a0 时，x(0，)时，g(x)0，函数 g(x)单调递增；当 a0 时，x0，12a 时，g(x)0，函数 g(x)单调递增，x12a，时，g(x)0，函数 g(x)单调递减.所以当 a0 时，g(x)的单调增区间为(0，)，当 a0 时，g(x)的单调增区间为0，12a ，单调减区间为12a，.(2)由(1)知，f(1)0.当 a0 时，f(x)单调递增，所以当 x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递减；当 x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递增.所以 f(x)在 x1 处取得极小值，不符合题意.当 0a12时，12a1，由(1)知 f(x)在0，12a 内单调递增，可得当 x(0，1)时，f(x)0，x1，12a 时，f(x)0.所以 f(x)在(0，1)内单调递减，在1，12a 内单调递增，所以 f(x)在 x1 处取得极小值，不符合题意.当 a12时，12a1，f(x)在(0，1)内单调递增，在(1，)内单调递减，所以当 x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，不符合题意.当 a12时，012a1，当 x12a，1时，f(x)0，f(x)单调递增，当 x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减，所以 f(x)在 x1 处取得极大值，符合题意.综上可知，实数 a 的取值范围为 a12.2.已知函数 f(x)x2axln x(aR R).(1)若函数 f(x)是单调递减函数，求实数 a 的取值范围；(2)若函数 f(x)在区间(0，3)上既有极大值又有极小值，求实数 a 的取值范围.解：(1)f(x)2xa1x2x2ax1x(x0)，因为函数 f(x)是单调递减函数，所以 f(x)0 在(0，)恒成立，所以2x2ax10 在(0，)恒成立，即 a2x1x对(0，)恒成立，因为 2x1x22x1x2 2当且仅当 2x1x，即 x22时取等号，所以 a2 2.(2)因为函数 f(x)在(0，3)上既有极大值又有极小值，所以 f(x)2x2ax1x0 在(0，3)上有两个相异实根，即 2x2ax10 在(0，3)上有两个相异实根，令 g(x)2x2ax1，则0，0a43，g（0）0，g（3）0，得a2 2或 a2 2，0a12，a193，即 2 2a193.所以实数 a 的取值范围是2 2，193 .3.(2019全国卷)已知函数 f(x)2x3ax22.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 0a0，则当 x(，0)a3，时，f(x)0，当 x0，a3 时，f(x)0，故 f(x)在(，0)，a3，单调递增，在0，a3 单调递减；若 a0，f(x)在(，)单调递增；若 a0，当 xa3，0时，f(x)0，故 f(x)在，a3 ，(0，)单调递增，在a3，0单调递减.(2)当 0a3 时，由(1)知，f(x)在0，a3 单调递减，在a3，1单调递增，所以 f(x)在0，1的最小值为 fa3 a3272，最大值为 f(0)2 或 f(1)4a.于是 ma3272，M4a，0a2，2，2a3.所以 Mm2aa327，0a2，a327，2a3.当 0a2 时，可知 2aa327单调递减，所以 Mm 的取值范围是827，2.当 2a3 时，a327单调递增，所以 Mm 的取值范围是827，1.综上，Mm 的取值范围是827，2.4.已知常数 a0，f(x)aln x2x.(1)当 a4 时，求 f(x)的极值；(2)当 f(x)的最小值不小于a 时，求实数 a 的取值范围.解：(1)由已知得 f(x)的定义域为 x(0，)，f(x)ax2a2xx.当 a4 时，f(x)2x4x.当 0 x2 时，f(x)2 时，f(x)0，即 f(x)单调递增.f(x)只有极小值，且在 x2 时，f(x)取得极小值 f(2)44ln 2.(2)f(x)a2xx，当 a0，x(0，)时，f(x)0，即 f(x)在 x(0，)上单调递增，没有最小值；当 a0 得，xa2，f(x)在a2，上单调递增；由 f(x)0 得，xa2，f(x)在0，a2 上单调递减.当 a0 时，f(x)的最小值为 fa2 alna2 2a2 .根据题意得 fa2 alna2 2a2 a，即 aln(a)ln 20.a0，ln(a)ln 20，解得 a2，实数 a 的取值范围是2，0).