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层级二 专题五 第3讲限时60分钟满分60分解答题(本大题共5小题，每小题12分，共60分)1已知椭圆C：1(ab0)经过点M(2,1)，且离心率e.(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B分别是椭圆C的上顶点、右顶点，点P是椭圆C在第一象限内的一点，直线AP，BP分别交x轴，y轴于点M，N，求四边形ABMN面积的最小值解析：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的基本性质以及直线方程，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算(1)由离心率及c2a2b2得a，b的关系，再把已知点代入即可求出标准方程；(2)设出点P的坐标，得到直线AP，BP的方程，从而表示出点M，N的坐标，进而得到|AN|BM|，最后利用S四边形ABMNSOMNSOAB及基本不等式求面积的最小值(1)由椭圆的离心率为得，又c2a2b2，a2b.又椭圆C经过点(2,1)，1，解得b22，椭圆C的方程为1.(2)由(1)可知，A(0，)，B(2，0)，设P(x0，y0)(0x02，0y0)，则直线AP：yx，从而M.直线BP：y(x2)，从而N.1，|AN|BM|8.S四边形ABMNSOMNSOAB(|OM|ON|OA|OB|)(|BM|2|AN|8)(|BM|2|AN|)44244(O为坐标原点)，当且仅当|BM|4，|AN|2时取得最小值2已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，上顶点M到直线xy40的距离为3.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l过点(4，2)，且与椭圆C相交于A，B两点，l不经过点M，证明：直线MA的斜率与直线MB的斜率之和为定值解：本题主要考查椭圆与直线的交汇，考查考生的数形结合能力、推理论证能力以及运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算(1)由题意可得，解得，所以椭圆C的方程为1.(2)易知直线l的斜率恒小于0，设直线l的方程为y2k(x4)，k0且k1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得，得(14k2)x216k(2k1)x64k(k1)0，则x1x2，x1x2，因为kMAkMB，所以kMAkMB2k(4k4)2k4(k1)2k(2k1)1(为定值)3(2019淮南三模)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，直线4x3y50与以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆相切(1)求椭圆C的标准方程；(2)若A为椭圆C的下顶点，M，N为椭圆C上异于A的两点，直线AM与AN的斜率之积为1.求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标；若O为坐标原点，求的取值范围解析：(1)由题意可得离心率e，又直线4x3y50与圆x2y2b2相切，所以b1，结合a2b2c2，解得a，所以椭圆C的标准方程为x21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由题意知A(0，)，又直线AM与AN的斜率之积为1，所以1，即有x1x2y1y2(y1y2)3，由题意可知直线MN的斜率存在且不为0，设直线MN：ykxt(k0)，代入椭圆方程，消去y可得(3k2)x22ktxt230，所以x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)2t2t，y1y2k2x1x2kt(x1x2)t2k2ktt2，所以3，化简得t23t60，解得t2(舍去)，则直线MN的方程为ykx2，即直线MN恒过定点，该定点的坐标为(0，2)由可得x1x2y1y2，由(3k2)x22ktxt230，可得4k2t24(t23)(3k2)48k236(3k2)0，解得k29.令3k2m，则m12，且k2m3，所以3，由m12，可得33.则的取值范围是.4(2019浙江卷)如图，已知点F(1,0)为抛物线y22px(p0)的焦点过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧记AFG，CQG的面积分别为S1，S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点G的坐标解：(1)由题意得1，即p2.所以，抛物线的准线方程为x1.(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xc，yc)，重心G(xG，yG)令yA2t，t0，则xAt2.由于直线AB过F，故直线AB的方程为xy1，代入y24x，得y2y40，故2tyB4，即yB，所以B.又由于xG(xAxBxC)，yG(yAyByC)及重心G在x轴上，故2tyC0，得C，G.所以，直线AC的方程为y2t2t(xt2)，得Q(t21,0)由于Q在焦点F的右侧，故t22.从而2.令mt22，则m0，2221.当m时，取得最小值1，此时G(2,0)5(2019北京卷)已知拋物线C：x22py经过点(2，1)(1)求拋物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过拋物线C的焦点作斜率不为0的直线l交拋物线C于两点M，N，直线y1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点解析：本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力(1)将点(2，1)代入抛物线方程：222p(1)可得：p2，故抛物线方程为：x24y，其准线方程为：y1.(2)很明显直线l的斜率存在，焦点坐标为(0，1)，设直线方程为ykx1，与抛物线方程x24y联立可得：x24kx40.故：x1x24k，x1x24.设M，N，则kOM，kON，直线OM的方程为yx，与y1联立可得：A，同理可得B，易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，且：2k，22，则圆的方程为：(x2k)2(y1)24(k21)，令x0整理可得：y22y30，解得：y13，y21，即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0，3)，(0,1)
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