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第五章三角函数5.1任意角和弧度制5.1.1任意角核心知识目标核心素养目标1. 结合实例，了解角的概念的推广及其实际意义.2. 理解象限角的概念，并掌握终边相同角的含义及其表示.1. 通过角的概念的推广过程，经历由具体到抽象，重点发展学生的数学抽象、直观想象的核心素养.2. 通过象限角及终边相同角的应用，加强逻辑推理、数学运算的核心素养.嬴知识探究-素养启迪知识探究1.角的概念与加减运算问题1-1当钟表慢了（或快了）一点时，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确，在调整的过程中,分针转动的方向是否相同？提示:不同，当钟表慢了，要顺时针转动分针，当钟表快了，要逆时针转动分针.问题1-2在跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻转两周半”等动作，做上述动作时,运动员转体多少度?转过的度数还能用0到360的角表示吗？y寸方法总结(1) 象限角的判定方法根据图象判定.利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的概念. 将角转化到0360范围内，在直角坐标平面内，0360范围内没有两个角终边是相同的.(2) a,2Q,:等角的终边位置的确定方法不等式分类讨论法：a. 利用象限角的概念或已知条件,写出角a的范围.b. 利用不等式的性质，求出2。等角的范围.C.利用“旋转”的观点，确定角终边的位置.例如，如果得到kX120。阵kX120。+30。可画出0。阵1。所表示的区域|,33再将此区域依次逆肘针或顺时针转动120(如图所示).(注意由a的范围确定2a的范围时不要忽视终边在坐标轴上的情况.)y/9/等分象限法：XX对于竺的范围问题，可采用等分象限法，即把每个象限平均分成n份，n从第一象限X轴正半轴的上方起按逆时针循环标注象限序号（如图以!为例），则标注序号与a所在象限序号相同的区域即为C所在的区域.3n斌备用例题例1下列说法中，正确的是（填序号）. 终边落在第一象限的角为锐角；锐角是第一象限角； 第二象限角为钝角；始边和终边重合的角是零角； 角a与-a的终边关于x轴对称.解析:终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400。的角是第一象限角，但不是锐角，故的说法是错误的；同理第二象限角也不一定是钝角，故的说法也是错误的；360角的始边和终边也重合，故的说法是错误的.答案:例2（1）已知角0的终边与角a的终边关于x轴对称，则9+a若角Y的终边与角a的终边关于y轴对称，则Y+a解析：设角B与角a的终边相同，贝【J-。与B关于x轴对称，根据终边相同角的表示，可得a=3+ki360,kiZ,0=-3+k2360,k2eZ,故0+q二(一B+k2,360)+(8+虹360)=(ki+k2)360=k360,keZ.设角B与角a的终边相同，则180-B与B关于y轴对称，根据终边相同角的表示，可得a=3+k3*360,k3Z,y=180+k4360,k4ez.故y+a=(180-+k4360)+(0+k3360)=2(k3+k4)+l180=(2k+l)180,kez.答案：(l)k360,kez(2k+l)180,keZ例3写出与75角终边相同的角B的集合，并求在360080范围内与75角终边相同的角.解:与75角终边相同的角的集合为S二邙|k360+75,keZ).当360WB1080时，即360Wk360+751080,解2424又kUZ,所以k=l或k=2.当k=l时，B=435;当k=2时，B=795.综上所述，与75角终边相同且在360W81080范围内的角为435角和795角.例4写出终边在直线y=-V3x上的角的集合.解:终边在y=-V3x(x0)上的角的集合是Sf(a|ct=120+ki360,kiEZ;终边在y-V3x(xNO)上的角的集合是S2=(a|a=300+k2360,k2eZ.因此，终边在直线yV5x上的角的集合是S=SiUS2=(a|a=120+k360,kUZU(a|a=300+k2360,k2eZ=(a|a=120+2ki180,kEZUq|a=120+(2k2+l)180,k2eZ=a|a=120+n-180,nZ).故终边在直线y-V3x上的角的集合是S二a|a=120+n180,nZ).:例5已知，如图所示.(1) 分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合；写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.解：(1)终边落在OA位置上的角的集合为a|a=90+45+k360,kZ=q|a二135+k-360,keZ),终边落在OB位置上的角的集合为q|q=-30+k360,kez.(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于一3到135之间的及与之终边相同的角组成的集合，故可表示为M-30+k360WaW135+k360,kZ.课堂达标1. 若角a的终边经过点M(0,-3),则角a(D)是第三象限角(A) 是第四象限角(0既是第三象限角，又是第四象限角(D)不是任何象限的角解析:因为点M(0,-3)在y轴负半轴上,所以角Q的终边不在任何象限.故选D.2. (2020吉林省实验中学高一检测)将-880化为a+kX360(0Wa360,kZ)的形式是(D)(A) 160+(-3)X36O0200+(-2)X36O0(0-160+(-2)X3600(D)200+(-3)X36O0解析：-880=200+(-3)X3600，故选D.3. 1112角是第象限角.解析：因为1112二360X3+32。，所以1112角与32角的终边相同，均为第一象限角.答案:一终边在直线y=-x上的角的集合S=.解析：由于直线y=-x是第二、四象限的角平分线，在0。360间所对应的两个角分别是135和315,从而S二a|a=k360+135,keZU(a|a=k360+315,kZ)=a|a=2k180+135,keZU(a|a二(2k+l)180+135,kez=(a|qf180+135,nZ.答案：a|a=n180+135,nWZ提示:因为运动员转体方向有顺时针、逆时针的不同，因此运动员“转体两周”的度数可以是顺时针旋转720或逆时针旋转720,“向前翻转两周半”可以是顺时针旋转900或逆时针旋转900.显然这些角都不在0到360之间，不能用0。到360的角表示.梳理1角的概念与加减运算角的概念角的概念:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.角的分类:按旋转方向可将角分为如下三类:名称定义图形正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转形成的角OA(B相等角：把角的概念推广到了任意角(anyangle),包括正角、负角和雯鱼.设角Q由射线OA绕端点。旋转而成角B由射线(TA，绕端点0旋转而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称a二B.相反角：射线绕其端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角互为相反角.(2)角的加减法运算设。B是任意两个角.我们规定，把角a的终边旋转角B,这时终边所对应的角是Q+B.引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即a-8可以化为a+().这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和.2. 象限角与终边相同的角问题2-1角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，如何借助象限来定义角？提示:角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角：分别为第一象限角、第二象限角、第三象限角和第四象限角.如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限.问题2-2终边落在射线y=x(x30)上的角有多少个?它们之间具有怎么样的关系？提示:无数个，它们相差360的整数倍.梳理2象限角与终边相同的角象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.(1) 终边相同的角所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S=B|B=a+k-360,kZ,即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和.小试身手1. 角120的终边所在象限是(C)第一象限(B)第二象限(B) 第三象限(D)第四象限解析：因为-120=-360+240,又因为角240终边在第三象限，所以角T20的终边在第三象限.故选C.2. 与-60角的终边相同的角是(A)(A)300(B)240(0120(D)60解析：因为-60二-360+300,所以与-60角的终边相同的角是300.故选A.3. 射线0A绕端点0逆时针旋转120。到达0B位置，由0B位置顺时针旋转270到达0C位置，则ZA0C等于.解析:各角和的旋转量等于各角旋转量的和所以120+(-270)二-150.答案：-15012点过:小时的时候，时钟分针与时针的夹角是4解析:时钟上每个大刻度为30,12点过:小时，分针转过-90,时针4转过-7.5，故时针与分针的夹角为82.5.答案:82.5赢课堂探究-素养培育三Q探究点一角的概念辨析例1下列命题正确的是()(A) 第一象限的角一定不是负角小于90的角一定是锐角(B) 钝角一定是第二象限的角终边相同的角一定相等解析：-300是第一象限角，且是负角，故选项A错;-4590,但-45不是锐角，故选项B错;钝角的集合是Q|90a180),是第二象限角，故选项C正确;-45与315是终边相同的角，但不相等,故选项D错.故选C.即时训练1T：已知集合A=第一象限角,B=锐角。小于90。的角，则下面的关系正确的是()(A)A=B=C(B)AcC(C)AnC=B(D)(BUC)cC解析：第一象限角可表示为k360ak-360+90,keZ;锐角可表示为0B90;小于90的角可表示为y90;由三者之间的关系可知，选D.寸方法总结判断角的概念问题的关键与技巧关键:正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念；(1) 技巧:判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反丽
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