三年高考（2014-2016）数学（理）真题分项版解析—— 专题08 直线与圆

三年高考（2014-2016）数学（理）试题分项版解析第八章 直线与圆 一、选择题1. 【2015高考广东，理5】平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ） A或 B. 或 C. 或 D. 或【答案】【解析】依题可设所求切线方程为，则有，解得，所以所求切线的直线方程为或，故选【考点定位】直线与圆的位置关系，直线的方程【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，利用点到直线距离求直线的方程及转化与化归思想的应用和运算求解能力，根据题意可设所求直线方程为，然后可用代数方法即联立直线与圆的方程有且只有一解求得，也可以利用几何法转化为圆心与直线的距离等于半径求得，属于容易题2.【2016高考新课标2理数】圆的圆心到直线的距离为1，则a=（ ）（A） （B） （C） （D）2【答案】A考点： 圆的方程、点到直线的距离公式.【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断若dr，则直线与圆相离；若dr，则直线与圆相切；若dr，则直线与圆相交(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断如果0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法3.【2015高考山东，理9】一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）（A）或 （B） 或 （C）或 （D）或【答案】D【考点定位】1、圆的标准方程；2、直线的方程；3、直线与圆的位置关系.【名师点睛】本题考查了圆与直线的方程的基础知识，重点考查利用对称性解决直线方程的有关问题以及直线与圆的位置关系的判断，意在考查学生对直线与直线、直线与圆的位置关系的理解与把握以及学生的运算求解能力.4.【2015高考新课标2，理7】过三点，的圆交y轴于M，N两点，则( )A2 B8 C4 D10【答案】C【解析】由已知得，所以，所以，即为直角三角形，其外接圆圆心为，半径为，所以外接圆方程为，令，得，所以，故选C【考点定位】圆的方程【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦的长，属于中档题5. 【2015高考重庆，理8】已知直线l：x+ay-1=0（aR）是圆C：的对称轴.过点A（-4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A、2 B、 C、6 D、【答案】C【解析】圆标准方程为，圆心为，半径为，因此，即，.选C.【考点定位】直线与圆的位置关系.【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点到圆的距离为，圆的半径为，则由点所作切线的长6. 【2014福建,理6】直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（ ）充分而不必要条件 必要而不充分条件 充分必要条件 既不充分又不必要条件【答案】A考点：1.直线与圆的位置关系.2.充要条件.【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、三角形的面积及充分条件与必要条件等基础知识，意在考查转化划归能力及运算能力，充分条件与必要条件多以客观题形式出现.相关结论是：若 ,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.7. 【2014福建,理9】设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（ ）A. B. C. D.【答案】D考点：1.直线与圆的位置关系.2.数形结合的思想.【名师点睛】本题主要考查圆与椭圆的基础知识，及划归思想.本题解法的关键是把两点间的最大距离转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径，注意与圆锥曲线有关的试题，一般运算量比较大，要注意运算的准确性.二、填空题1.【2014江苏，理9】在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 .【答案】【解析】圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为，所求弦长为【考点】直线与圆相交的弦长问题【名师点晴】求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2r2d2.(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：|AB|x1x2|.注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题2. 【2015江苏高考，10】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 【答案】【解析】由题意得：半径等于，当且仅当时取等号，所以半径最大为，所求圆为【考点定位】直线与圆位置关系【名师点晴】利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题当半径表示为关于m的函数后，利用基本不等式求最值，需注意一正二定三相等的条件.3. 【2015高考陕西，理15】设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 【答案】【考点定位】1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系【名师点晴】本题主要考查的是导数的几何意义和两条直线的位置关系，属于容易题解题时一定要注意考虑直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：切点在曲线上；切点在切线上；切点处的导数值等于切线的斜率4. 【2014高考陕西版文第12题】若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_.【答案】【解析】试题分析：因为圆心与点关于直线对称，所以圆心坐标为，所以圆的标准方程为：，故答案为考点：圆的标准方程.【名师点晴】本题主要考查的是圆的标准方程，点关于直线的对称，属于容易题解题时利用对称性求出圆心坐标，就可以写出圆的标准方程5. 【2014新课标，理16】设点M（,1），若在圆O:上存在点N，使得OMN=45，则的取值范围是_.【答案】【解析】由题意知：直线MN与圆O有公共点即可，即圆心O到直线MN的距离小于等于1即可，如图，过OAMN，垂足为A，在中，因为OMN=45，所以=，解得，因为点M（,1），所以，解得，故的取值范围是.【考点定位】直线与圆的位置关系【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一6. 【2014四川，理14】设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是 .【答案】【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要注意“一正，二定，三相等”.7.【2014高考重庆理第13题】已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数_.【答案】【解析】试题分析：由题设圆心到直线的距离为解得：所以答案应填：.考点：1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离公式.【名师点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，等边三角形的性质，本题属于基础题，注意仔细分析题目条件，将等边三角形这一条件等价转化为圆心到直线的距离是非常关键的.8.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷12】直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则 .【答案】2【解析】试题分析：依题意，设与单位圆相交于两点，则.如图，当时满足题意，所以.考点：直线与圆相交，相等弧的概念，容易题.【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系，夯实基础，注重基础知识的运用，充分体现了数形结合的数学思想在数学问题中的应用，能较好的考查学生动手作图能力、基本知识的识记能力和灵活运用能力，锻炼学生的严密地逻辑推理能力.9. 【2015高考湖北，理14】如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方）， 且（）圆的标准方程为 ；（）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：； ； 其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）【答案】（）；（） 【解析】（）依题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为.（）联立方程组，解得或，因为在的上方，所以，令直线的方程为，此时，所以，因为，所以.所以，正确结论的序号是.【考点定位】圆的标准方程，直线与圆的位置关系.【名师点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略. 常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等10.【2016高考新课标3理数】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则_.【答案】4考点：直线与圆的位置关系11.【2016高考上海理数】已知平行直线，则的距离_.【答案】【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得.考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.三、解答题1. 【2015高考广东，理20】已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，（1）求圆的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹的方程；（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点：若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由得， 圆的圆心坐标为；（2）设，则 点为弦中点即， 即， 线段的中点的轨迹的方程为；（3）由（2）知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），且，又直线：过定点，当直线与圆相切时，由得，又，结合上图可知当时，直线：与曲线只有一个交点【考点定位】圆的标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识与数形结合思想等应用【名师点睛】本题主要考查圆的普通方程化为标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识，转化与化归，数形结合思想和运算求解能力，属于中高档题，本题（1）（2）问相对简单，但第（2）问需注意取值范围（），对于第（3）问如果能运用数形结合把曲线与直线的图形画出求解则可轻易突破难点2. 【2013江苏，理17】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y2x4.设圆C的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.【答案】(1) y3或3x4y120.；(2) 【解析】解：(1)由题设，圆心C是直线y2x4和yx1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为ykx3，由题意，1，解得k0或，故所求切线方程为y3或3x4y120.(2)因为圆心在直线y2x4上，所以圆C的方程为(xa)2y2(a2)21.设点M(x，y)，因为MA2MO，所以，化简得x2y22y30，即x2(y1)24，所以点M在以D(0，1)为圆心，2为半径的圆上由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|21|CD21，即.由5a212a80，得aR；由5a212a0，得0a.所以点C的横坐标a的取值范围为.【考点定位】本小题主要考查直线与圆的方程，考查直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，等基础知识，考查运用数形结合、待定系数法等数学思想方法分析解决问题的能力.【名师点晴】1圆的切线问题(1)过圆x2y2r2(r0)上一点M(x0，y0)的切线方程为x0xy0yr2；(2)过圆x2y2DxEyF0外一点M(x0，y0)引切线，有两条，求方程的方法是待定系数法，圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题2两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法 3. 【2013课标全国，理20】(本小题满分12分)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.【解析】：由已知得圆M的圆心为M(1,0)，半径r11；圆N的圆心为N(1,0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为(x2)(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以R2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若l的倾斜角为90，则l与y轴重合，可得|AB|.所以|AB|.当时，由图形的对称性可知|AB|.综上，|AB|或|AB|.【名师点睛】本题考查椭圆的定义、弦长公式、直线的方程，考查考生的运算能力、化简能力以及数形结合的能力.4【2014天津，理18】设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为已知（）求椭圆的离心率；（）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切，求直线的斜率【答案】（）；（）直线的斜率为或【解析】试题解析：（）设椭圆的右焦点的坐标为由，可得，又，则，椭圆的离心率（）由（）知，故椭圆方程为设由，有，由已知，有，即又，故有又点在椭圆上，故由和可得而点不是椭圆的顶点，故，代入得，即点的坐标为设圆的圆心为，则，进而圆的半径设直线的斜率为，依题意，直线的方程为由与圆相切，可得，即，整理得，解得直线的斜率为或考点：1椭圆的标准方程和几何性质；2直线和圆的方程；3直线和圆的位置关系【名师点睛】本题考查求离心率和待定系数法求椭圆方程，属于中偏难题目，解决直线与圆锥曲线问题，首先求离心率就是根据题目所给条件列出一个关于的等式，就能求出离心率;其次解决直线与圆锥曲线问题，要求学生要学会设而不求的解题思想，先设出直线方程，设出直线与椭圆的交点，把直线方程和椭圆方程联立方程组，消元后，简单方程直接求解，而大多借助一元二次方程的根与系数关系，通过的关系及题目的要求解题.直线与圆锥曲线问题为每年高考必考问题，也是备考重点.7.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。【答案】（1）（2）（3）【解析】试题分析：（1）求圆的标准方程，关键是确定圆心与半径：根据直线与x轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径（2）本题实质已知弦长求直线方程，因此应根据垂径定理确定等量关系，求直线方程（3）利用向量加法几何意义建立等量关系，根据圆中弦长范围建立不等式，解对应参数取值范围试题解析：解：圆M的标准方程为，所以圆心M(6，7)，半径为5,.（1）由圆心在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切，所以，于是圆N的半径为，从而，解得.因此，圆N的标准方程为. (3)设 因为,所以 因为点Q在圆M上，所以 .将代入，得.于是点既在圆M上，又在圆上，从而圆与圆有公共点，所以 解得.因此，实数t的取值范围是. 考点：直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算【名师点睛】直线与圆中三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以为主元，揭示在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆位置关系.