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5.6函数y=Asin（3x+。）5.6.1匀速圆周运动的数学模型5.6.2函数y=Asin（3x+s）的图象云知识探究二素养启迪核心知识目标核心素养目标1.会用“五点法”画出y二Asin（3x+。）的图象.2. 掌握y=sinx与y=Asin（3x+e）图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.3. 能根据y=Asin（3x+Q的部分图象确定其解析式.4. 整体把握函数y=Asin（3x+伊）的图象与性质，并能解决有关问题.1. 通过整体代换和图象的变换提升学生的直观想象、逻辑推理和数学抽象的核心素养.2. 通过函数图象能抽象出数学模型，并能研究函数的性质，逐步提升学生的数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模的核心素养.情境导入在物理中，简谐运动中单摆相对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y二Asin（3x+3）的函数.如图所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象(B) 向左平移?个单位长度向右平移普个单位长度(C) 向右平移?个单位长度6解析：因为y=2cos2x=2cos(-2x)=2sin(；+2x),又2(x+m孕X+；,故只需将f(x)=2sin(2x-?)的图象向左平移捋个单位长度即可得到OJL乙y=2cos2x的图象.故选A.方法总结对于异名三角函数图象变换问题,首先要利用诱导公式sina=cos(a-=cos(a-a?),将不同名函数转换成同名函数，另外，在进行图象变换时，要记住每一个变换总是对变量X而言.二Q探究点一函数y=Asin(3x+o)的图象探究角度1“五点法”作图例4用“五点法”作出函数y=|sin(ix-)的简图.解：函数y=|sin(ix-=)的周期仁彳6n,先用“五点法”作它在长度3为一个周期上的图象.列表如下：XJT5tt4兀117T7JiT217T-x330n2ji3汗T2313./I7T、芒ng)0320320描点、连线，如图所示,利用该函数的周期性，把它在一个周期上的图象分别向左、右扩展,从而得到函数y4sin(V=)的简图.即时训练4T:作出函数y=V2sin(2x-)在xE芋上的图象.484解:令X=2x-p列表如下：4描点连线得图象如图所示.X07T2ji3ttT2JiX7183tt5ttT7n89ttTy0V20-V20方法总结(1)“五点法”作图的实质利用“五点法”作函数f(x)=Asin(3x+Q的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象.用“五点法”作函数f(x)=AsinSx+Q图象的步骤第一步：列表.TI13x+01011I112”1第三步:用光滑曲线连接这些点，形成图象.X一3n(p2CO37T_(p3337i_(p2CO327i_(p33f(x)0A0-A0第二步:在同一坐标系中描出各点.探究角度2根据函数图象确定函数的解析式例5如图是函数y=Asin（3x+o）（A0,（。0,|少|；）的图象的一部分,求此函数的解析式.解:法一（五点作图法）.由图象知A二3,T（一?）=兀，所以s二?=2,所以y=3sin（2x+。）.因为点（三,0）在函数图象上，6所以0=3sin（Mx2+。）.6所以-：X2+e=k兀,6得甲=+k兀（k仁Z）.3因为静|,所以所以y=3sin（2x+-）.3法二（待定系数法）由图象知A=3.因为图象过点（?,0）和（三0）,36HO)；+叩=5iro)+(p=所以2IT,o)=2,解得？=二、3所以y=3sin(2x+?).法三(图象变换法)由A=3,T=n,点(-?,0)在图象上，可知函数图象是由y=3sin2x向左6平移！个单位长度而得到的，所以y二3sin2(x+?),66即y=3sin(2x+-).3即时训练5-1:函数f(x)=Asin(3x+e)(A0,w0,(P0,30,|。|0时可利用最高点的纵坐标,A+k二yax,最低点纵坐标kf二尸心求A,k.而3,伊|的求解方法同y二Asin（3x+jM）的求解方沃？点探究点三匀速圆周运动的数学模型例6如图所示，摩天轮的半径为40m,0点距地面的高度为50m,摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每2min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点.试确定点P距离地面的高度h（单位:m）关于旋转时间t（单位:min）的函数解析式；(2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间点P距离地面超过70m?解:(1) 建立平面直角坐标系，如图所示.设。(0WvW2兀)是以x轴正半轴为始边,OP(Po表示点P的起始位置)为终边的角，由题意知0P在t(min)内转过的角为*，即兀t,所以以x轴正半轴为始边,0P为终边的角为(兀t+伊)，即点P的纵坐标为40sin(Jit+o),由题意知。专所以点P距离地面的高度h关于旋转时间t的函数解析式为h=50+40sin(jtt+),化简得h=50+40cosnt.(2) 当50+40cosnt70时，解得2k-|t2k+|(kEZ),又0WtW2,所以符合题意的时间段为OWtd或汶tW2,3 3即在摩天轮转动一圈内，有：niin内P点距离地面超过70m.即时训练6-1:如图，一个水轮的半径为4m,水轮圆心0距离水面2m,已知水轮每分钟转动5圈，如果从水轮上点P从水中浮现时(图中点P。)开始计算时间.将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数;(1) 点P第一次到达最高点大约需要多长时间？解：(1)建立如图所示的平面直角坐标系.设角90,|伊|n）的图象向左平移:个单6位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象解析式为y=sinx,则（）（A）3=2,e二兰（B）3=2,（p-63（C）3W，伊二:（D）3三，（P=&解析:法一（逆向变换）将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的?（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为y=sin2x,再将此函数图象向右平移;个单位长度，所得图象的函数解析式为y=sin62（x-：）,即y二sin（2x-；）,所以3=2,故选B.法二（正向变换）将y=sin（3x+伊）的图象向左平移!个单位长度后,得到y二sin（3x+m+。）的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即得疙sin（：3x+m+。）的图象，又26sin（-wx+）=sinx,30,|伊|兀，从而二3二1,竺=0,解得32626=2,故选B.例3为了得到函数y=4sin（x-=）的图象，只要把函数y=3cos（普-x）的图象上所有的点（）（A）纵坐标缩短到原来的:倍，再向左平移：个单位长度4 5（B）纵坐标伸长到原来的:倍，再向右平移：个单位长度（C）横坐标缩短到原来的:倍,再向左平移!个单位长度45（D）横坐标伸长到原来的:倍，再向右平移彳个单位长度解析：由题得函数y二3cos（苔x）=3cos（x-ji）二3cos（-；+x+?Ji）=3sin（x+-兀）.函数y=4sin（x-=）=3X：sin（x-|心+口所以需要把纵坐标伸长到原来的:倍，再向右平移m个单位长度故选b.例4函数f（X）=cos（3x+9）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）(kn-ikji+J,keZ(A) (2kn-i2kn+),keZ(c)(k-ik+|),kez(D)(2k-i2k+|),kez解析:法一由题图可知?二：-手1,244所以T=2,g)=k,又由题图知f(i)=O,4即-+=-+2kn,kEZ,42得9工+2kn,kZ,4此时f(x)=cos(nx+：+2kn)=cos(nx+j),kUZ.由2kJinx+-2kn+ji,keZ,4得2k-x0,-nW冰只)的部分图象如图所示，贝U甲=.0-12ir3宣解析：由题中图象知函数y二sinOx+Q的周期为2(2n-y)号所以竺二件，O)2所以3彳因为当X二手时,y有最小值T,所以-X+(p=2kJi-(kEZ).542因为-n兀，所以。二藉.10答案卷3. (2020浙江杭州高一期末)将函数y=3sin(2x+-)的图象向右平移？46个单位长度，则平移后函数图象的解析式为,平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是.解析:将函数y=3sin(2x+;)的图象向右平移?个单位长度，46可得f(x)=3sin2(X-：)+：=3sin(2x-),即平移后函数图象的解析式为f(x)=3sin(2x-).令2x-=-+kJT,keZ,122解得xf+,kEZ,242当k二。时,xf;24当k二-1时，X。务，24所以平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是X。芸.24答案：f(x)二3sin(2x-%)x=-|JLV2. 参数9,3,A对y=Asin(3x+。)图象的影响问题2-1观察下面如图所示的函数图象，比较函数y=sin(x+;)与函数y=sinx的图象的形状和位置，你有什么发现？提示:两图象形状完全相同，只是位置不同，函数疙sin(x+；),xUR的图象可看作是把正弦曲线y=sinx上所有的点向左平移:个单位长度而得到.问题2-2观察下面如图所示的函数图象，比较函数y=sin(2x+;)与函数y=sin(x+?)的图象的形状和位置，你有什么发现？提示：函数y=sin(2x+?)的图象是由函数y=sin(x+；)的图象上各点的横坐标缩短为原来的;，纵坐标不变而得到的.问题2-3观察下面如图所示的函数图象，比较函数y=3sin(2x+?)与函数y=sin(2x+；)的图象的形状和位置，你有什么发现？提示：函数y=3sin（x+）的图象是由y=sin（2x+;）的图象上各点的纵坐标变为原来的3倍,横坐标不变得到的.梳理2参数（。，0,A对函数y=Asin（G）x+o）图象的影响（1）。对y=sin（x+e）,xCR图象的影响一般地，当动点M的起点位置Q所对应的角为。时,对应的函数是y二sin（x+QO70）,把正弦曲线上的所有点向左（当。0时）或向五（当冰0时）平移心个单位长度，就得到函数y二sin（x+Q的图象.如图所示./zy=nxy=sin(x+)（2）3（30）对y=sin（3x+。）图象的影响一般地，函数y=sin（o）x+Q的周期是竺，把y二sin（x+o）图象上所有0）点的横坐标缩短（当31时）或伸长（当0Ox45P)A(A0)对y=Asin(3x+v)图象的影响一般地，函数y=Asin（qx+Q的图象可以看作是把y=sin（sx+Q图象上所有点的纵坐标俚长（当A1时）或缩短（当OA1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到.如图所示.梳理3由函数y-sinx的图象变换得到函数y=Asin(3x+)的图象一般地，函数y=Asin(3x+9)(A0,30)的图象，可以用下面的方法得到:先画出函数y=sinx的图象;再把正弦曲线向左(或向右)平移伊个单位长度，得到函数y=sin(x+e)的图象;然后把曲线上各点的横坐标变为原来的土倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(3x+0)的图象;0)最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的&倍(横坐标不变)，这时的曲线就是函数y=Asin(3x+9)的图象.小试身手1. 为了得到函数y=sin(x+l)的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点(A)向左平行移动1个单位长度(A) 向右平行移动1个单位长度向左平行移动n个单位长度(B) 向右平行移动n个单位长度解析：因为由y=sinx到y二sin(x+l),只是横坐标由x变为x+1,所以要得到函数y=sin(x+l)的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度，故选A.2. 用“五点法”作函数f(x)=sin(2x)在x0,兀上的图象时，下列所给点可以是“五点法”中的点的坐标为(B)(0,-y)(B)(若,1)(B) (：,l)(D)s-乎)解析:因为f(三)-sin(2X若-：)二sin写-令)=sin号】所以(若,1)是“五点”中的一个最大值点.而f(7)=0.故当时,y=0.即点弓,0)666满足，而非弓,1).D错误，故选B.6函数y=Asin(3x+)+k的部分图象如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是(D)A=3,T丹6A=3,3A=|,T守(A) A=-,胃2 3解析：由题图可知A=(3-0)设周期为T,则二乒(日)二?，得T=.3故选D.4. 要得到函数y=sin(2x-=)的图象，只需将函数y=sin2x的图象(A)(A) 向右平移:个单位长度6(B) 向左平移?个单位长度6(0向右平移?个单位长度向左平移?个单位长度解析:因为函数y=sin(2x-2)=sin2(x-2),所以只需将函数y=sin2x的图象向右平移?个单位长度即可.故选A.6扁慝堂探究_素_仙肖.迎探究点一三角函数图象的变换探究角度1三角函数图象的平移变换例1要得到函数y=sin(2x-J的图象只需将函数y=sin(2x-J的图象()向左平移?个单位长度(A) 向左平移三个单位长度向右平移!个单位长度(B) 向右平移湛个单位长度解析：由于y二sin(2x-：)二sin2(x-%)以及y=sin(2x-?)=sin2(x-?),结合x-Rx-三)-三,故只需将函数3661212疙sin(2x-?)的图象沿着x轴向右平移三个单位长度就可得到函数612y=sin(2x-)的图象，故选D.即时训练1-1:将函数y=V2cos(2x+J)的图象向左平移?个单位长度，则所得图象的解析式为.解析:将函数y二扼cos(2x+;)的图象向左平移?个单位长度，所得图象对应的函数为y=V2cos2(x+-)+-=V2cos(2x+n)=V2cos2x.33答案:y=V2cos2x方法总结函数y=sin(3x+e)图象的平移变换，要明确变换量的大小,特别是个单位,个单位,平移变换中，函数y=Asinx到y=Asin(x+9)的变换量是|(P而将函数y=Asin(3x+)(A0,30)的图象向左平移m(m0)个单位后,得到y=Asin3(x+m)+=Asin(G)x+(om+).(向右平移类似)寸易错警示三角函数图象的平移变换要弄清变换的方向，即变换的是哪个疯而图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向探究角度2三角函数图象的伸缩变换例2将函数f(x)=sin(2x-=)的图象向左平移?个单位长度,再将图象上各点横坐标压缩到原来的m则所得到的图象的解析式为()(A)y=sinx(B)y=sin(4x+-)3y二sin-争)(D)y=sin(x+?)解析:将函数f(x)=sin(2x-=)的图象向左平移?个单位长度后，得到y=sin2(x+sin(2x+;)的图象，再将图象上各点横坐标缩短到原来的:，得到y=sin(4x+;)的图象，故选B.变式训练2-1把函数f(x)=sin(2x-J)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为解析：函数f(x)=sin(2x-?)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到y=sin(x-),因此g(x)=sin(x-?).答案:g(x)=sin(x-)方法总结将函数y=Asin(3x+9)(A0,。0)的图象上各点横坐标缩短到原来的”成1)倍,纵坐标不变,得到y-Asin(箱少(横坐标伸长类似).即将y=sin(x+。)图象上所有点的横坐标伸缩3后得到的是函数y二sin(3x+Q的图象而不是广，让(处+3仞寸易错警示|函数y二Asin(x+|(P)变换为y二Asin(3x+(P)变化的只是3,伊的值不探究角度3异名三角函数图象的图象变换例3(2020重庆巴蜀中学高一期末)要得到函数y=2sin2x的图象，只需要将函数f(x)=2cos(2x-?)的图象()(A) 向左平移土个单位长度向左平移:个单位长度6向右平移土个单位长度(B) 向右平移?个单位长度6解析：由y=2sin2x=2cos(2x-)=2cos2,即要得到函数y=2sin2x的图象，只需要将函数f(x)=2cos(2x-H)的图象向右平移三个单位长度，故选C.即时训练3-1:要得到函数y=2cos2x的图象，只需要将函数f(x)=2sin(2x-2)的图象()(A)向左平移芸个单位长度
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