三年高考（2014-2016）数学（理）真题分项版解析—— 专题11 排列组合、二项式定理

三年高考（2014-2016）数学（理）试题分项版解析第十一章 排列、组合、二项式定理 一、选择题1. 【2016高考新课标2理数】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）（A）24 （B）18 （C）12 （D）9【答案】B【解析】试题分析：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短有条路，再从F处到G处最短共有条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为条，故选B.考点： 计数原理、组合.【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的2. 【2016年高考四川理数】设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为（A）15x4 （B）15x4 （C）20i x4 （D）20i x4【答案】A考点：二项展开式，复数的运算.【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可二项式的展开式可以改为，则其通项为，即含的项为3. 【2014高考广东卷.理.8】设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为( ) A. B. C. D.【答案】D【考点定位】本题考查分类计数原理，属于拔高题【名师点晴】本题主要考查的是分类计数原理，属于难题解题时一定要注意选出的元素是否与顺序有关，否则很容易出现错误利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要做到不重不漏，防止出现错误4. 【 2014湖南4】的展开式中的系数是（ ）A. B. C.5 D.20【答案】A【解析】根据二项式定理可得第项展开式为,则时, ,所以的系数为,故选A.【考点定位】二项式定理【名师点睛】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题，解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式的展开式的通项是，然后令n选取恰当的值得到结果.5. 【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A）24 （B）48 （C）60 （D）72【答案】D【解析】试题分析：由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5中之一，其他位置共有随便排共种可能，所以其中奇数的个数为，故选D.考点：排列、组合【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置.6. 【2015高考陕西，理4】二项式的展开式中的系数为15，则（ ）A4 B5 C6 D7【答案】C【考点定位】二项式定理【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题解题时一定要抓住重要条件“”，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式的展开式的通项是7. 【2016高考新课标3理数】定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有（ ）（A）18个 （B）16个 （C）14个 （D）12个【答案】C【解析】试题分析：由题意，得必有，则具体的排法列表如下：00001111101110110100111011010011010001110110100110考点：计数原理的应用【方法点拨】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果8. 【2014四川，理2】在的展开式中，含项的系数为（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：，所以含项的系数为15.选C【考点定位】二项式定理.【名师点睛】常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心，运算是保证；比较复杂的问题要回到最本质的计数原理去解决，而不是一味利用公式.另外，概念不清，涉及幂的运算出现错误，或者不能从最本质的计数原理出发解决问题，盲目套用公式都是考试中常犯的错误.10. 【2014四川，理6】六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）A种 B种 C种 D种【答案】B【解析】试题分析：最左端排甲，有种排法；最左端排乙，有种排法，共有种排法.选B.【考点定位】排列组合.【名师点睛】涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理11. 【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A）144个 （B）120个 （C）96个 （D）72个【答案】B【考点定位】排列组合.【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类.12.【2015高考新课标1，理10】的展开式中，的系数为( )（A）10 （B）20 （C）30 （D）60【答案】C【解析】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C.【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.14. 【2014年.浙江卷.理5】在的展开式中，记项的系数为，则 （ ）A.45 B.60 C.120 D. 210答案：C解析：由题意可得，故选C考点：二项式系数.【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题求二项展开式中的项的方法：求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k0,1,2，n)(1)第m项：此时k1m，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解15.【2014高考重庆理第9题】某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72 B.120 C.144 D.168【答案】B考点：1、分类加法计数原理；2、排列.【名师点睛】本题考查了综合应用排列与组合知识解决实际的计数问题，属于中档题目，根据条件将分类，然后用分类计数原获得结果.16. 【2014湖北卷2】若二项式的展开式中的系数是84，则实数（ ）A.2 B. C. 1 D. 【答案】C【解析】试题分析：因为，令，得，所以，解得，故选C.考点：二项式定理的通项公式，容易题.【名师点睛】本题考查了二项式定理的运用，其解题的关键是根据已知建立方程关系，属容易题.充分体现了方程思想在数学解题中的应用，能较好的考查学生对教材中的基本概念、基本规律和基本操作的识记能力和运算能力.17. 【2015高考湖北，理3】已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A. B C D【答案】D【解析】因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式中奇数项的二项式系数和为.【考点定位】二项式系数，二项式系数和.【名师点睛】二项式定理中应注意区别二项式系数与展开式系数，各二项式系数和：，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等.18. 【2014辽宁理6】把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）A144 B120 C72 D24【答案】C考点：排列组合. 【名师点睛】本题考查简单排列组合应用问题.从近几年高考对这部分内容的考查看，基本是排列与组合相结合，多可以结合图表分析解题途径.本题首先将座位编号，分析任何两人都不相邻的情况，再安排人员就坐，现实背景熟悉，分析形象直观，易于理解.本题是一道基础题，考查排列组合基础知识，同时考查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力.19. 【2015湖南理2】已知的展开式中含的项的系数为30，则（ ）A. B. C.6 D-6【答案】D.【解析】试题分析：，令，可得，故选D.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握的二项展开式的通项第项为，即可建立关于的方程，从而求解.二、填空题1. 【2016年高考北京理数】在的展开式中，的系数为_.（用数字作答）【答案】60.【解析】试题分析：根据二项展开的通项公式可知，的系数为，故填：.考点：二项式定理.【名师点睛】1.所谓二项展开式的特定项，是指展开式中的某一项，如第项、常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项.求解时，先准确写出通项，再把系数与字母分离出来(注意符号)，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式来求解即可；2、求有理项时要注意运用整除的性质，同时应注意结合的范围分析.2. 【2016高考新课标1卷】的展开式中,x3的系数是 .（用数字填写答案）【答案】考点:二项式定理3. 【2016高考天津理数】的展开式中x2的系数为_.(用数字作答)【答案】【解析】试题分析：展开式通项为，令，所以的故答案为 考点：二项式定理【名师点睛】1.求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且nr)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项2有理项是字母指数为整数的项解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解4. 【2016高考山东理数】若（ax2+）5的展开式中x5的系数是80，则实数a=_.【答案】-2【解析】试题分析：因为，所以由，因此考点：二项式定理【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项公式，往往是考试的重点.本题难度不大，易于得分.能较好的考查考生的基本运算能力等.5. 【2015高考天津，理12】在 的展开式中，的系数为 .【答案】【考点定位】二项式定理及二项展开式的通项.【名师点睛】本题主要考查二项式定理及二项展开式的通项的应用.应用二项式定理典型式的通项，求出当时的系数，即可求得结果，体现了数学中的方程思想与运算能力相结合的问题.6. 【2013高考北京理第12题】将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_【答案】96【解析】试题分析：连号有4种情况，从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，则不同的分法有496(种)考点：排列组合.名师点睛：本题考查排列、组合及计数原理有关问题，本题属于中等难度问题，高考每年都会考查这个问题，题目或简或难，由于命题可以很灵活，可以考查简单的计数，也可以考查具体的排列组合基本方法如：相邻问题捆绑法、不邻插空法、分排问题直排法、有序问题用除法、隔板法等，本题为先选后排问题，从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，而得连号有四种可能情况发生，解决这样的问题需要学生不但要有扎实的基本功，还要有分析问题和解决问题的能力.7. 【2014高考北京理第13题】把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻， 且产品与产品不相邻，则不同的摆法有 种.【答案】36考点：排列组合，容易题.【名师点睛】本题考查排列、组合及计数原理有关问题，本题属于中等难度问题，高考每年都会考查这个问题，题目或简或难，由于命题可以很灵活，可以考查简单的计数，也可以考查具体的排列组合基本方法如：相邻问题捆绑法、不邻插空法、分排问题直排法、有序问题用除法、隔板法等，需要学生不但要有扎实的基本功，还要有分析问题和解决问题的能力.8. 【2015高考北京，理9】在的展开式中，的系数为（用数字作答）【答案】40【解析】利用通项公式，令，得出的系数为【考点定位】本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.【名师点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求出指定项的系数，本题属于基础题,要求正确使用通项公式，准确计算指定项的系数.9. 【2014高考广东卷.理.11】从.中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是的概率为 .【答案】.【解析】上述十个数中比小的数有个，比大的数有个，要使得所选的七个数的中位数为，则应该在比大的数中选择个，在比大的数中也选择个，因此所求事件的概率为.【考点定位】本题考查排列组合与古典概型的概率计算，属于能力题.【名师点晴】本题主要考查的是排列组合和古典概型，属于中等题解题时要抓住重要字眼“中位数是”，否则很容易出现错误用排列组合列举基本事件一定要做到不重不漏，防止出现错误解本题需要掌握的知识点是古典概型概率公式，即10. 【2015高考广东，理9】在的展开式中，的系数为 .【答案】【考点定位】二项式定理【名师点睛】本题主要考查二项式定理和运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟记二项展开式的通项即展开式的第项为：11. 【2015高考广东，理12】某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言（用数字作答）【答案】【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从人中任选两人的排列数，所以全班共写了条毕业留言，故应填入【考点定位】排列问题【名师点睛】本题主要考查排列问题，属于中档题，解答此题关键在于认清人两两彼此给对方仅写一条毕业留言是个排列问题12.【2014山东.理14】 若的展开式中项的系数为20，则的最小值 .【答案】【名师点睛】本题考查二项式定理及其通项公式、基本不等式.从近几年高考对二项式定理的考查看，基本是以通项公式为解题的突破口，本题对有理指数幂的运算要求较高，容易出现计算不准而使解答陷入误区.本题是一道小综合题，重点考查二项式定理及其通项公式、基本不等式等基础知识，同时考查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力.13.【2014新课标，理13】 的展开式中，的系数为15，则a=_.(用数字填写答案)【答案】【解析】因为，所以令，解得，所以=15，解得.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的通项公式，属于基础题，利用通项公式写出特定项的系数，是二项式题目的最常见题目.14.【2015高考新课标2，理15】的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则_【答案】【解析】由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，其系数之和为，解得【考点定位】二项式定理【名师点睛】本题考查二项式定理，准确写出二项展开式，能正确求出奇数次幂项以及相应的系数和，从而列方程求参数值，属于中档题15. 【2015高考四川，理11】在的展开式中，含的项的系数是 （用数字作答）.【答案】.【解析】，所以的系数为.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.16. 【2016高考上海理数】在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_.【答案】【解析】试题分析：因为二项式所有项的二项系数之和为，所以，所以，二项式展开式的通项为，令，得，所以.考点：1.二项式定理；2.二项展开式的系数.【名师点睛】根据二项式展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项式展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.17. 【2014课标，理13】的展开式中的系数为_.（用数字填写答案）【答案】【考点定位】二项式定理【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查考生的记忆能力和计算能力.18. 【2014年.浙江卷.理14】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种（用数字作答）.答案：解析：不同的获奖分两种，一是有一人获两张将卷，一人获一张，共有，二是有三人各获得一张，共有，因此不同的获奖情况有种考点：排列组合.【名师点睛】本题考查排列、组合的应用，关键在于明确事件之间的关系，同时要掌握分类讨论的处理方法；解决排列问题的主要方法(1)“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置(2)解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看做一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列(3)解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中(4)对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列(5)若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”两类组合问题的解法(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法或间接法都可以求解通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理19. 【2015高考重庆，理12】的展开式中的系数是_(用数字作答).【答案】【解析】二项展开式通项为，令，解得，因此的系数为.【考点定位】二项式定理【名师点晴】的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指，它仅是与二项式的幂的指数n及项数有关的组合数，而与a，b的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的系数有关在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别.20. 【2014，安徽理13】设是大于1的自然数，的展开式为若点的位置如图所示，则【答案】考点：1二项展开式的应用【名师点睛】二项式常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心，运算是保证；比较复杂的问题要回到最本质的计数原理去解决，而不是一味利用公式.另外，概念不清，涉及幂的运算出现错误，或者不能从最本质的计数原理出发解决问题，盲目套用公式都是考试中常犯的错误.本题要结合图形给定的条件与二项式展开中各项的表示.21.【2015高考安徽，理11】的展开式中的系数是 .（用数字填写答案）【答案】【解析】由题意，二项式展开的通项，令，得，则的系数是.【考点定位】1.二项式定理的展开式应用.【名师点睛】常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心，运算是保证；比较复杂的问题要回到最本质的计数原理去解决，而不是一味利用公式.另外，概念不清，涉及幂的运算出现错误，或者不能从最本质的计数原理出发解决问题，盲目套用公式都是考试中常犯的错误.22.【2015高考福建，理11】 的展开式中，的系数等于 （用数字作答）【答案】【解析】 的展开式中项为，所以的系数等于【考点定位】二项式定理【名师点睛】本题考查二项式定理的特定项问题，往往是根据二项展开式的通项和所求项的联系解题，属于基础题，注意运算的准确度23.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）（1）求 的值；（2）设m，nN*，nm，求证： （m+1）+（m+2）+（m+3）+n+（n+1）=（m+1）.【答案】（1）0（2）详见解析试题解析：解：（1）（2）当时，结论显然成立，当时又因为所以因此考点：组合数及其性质【名师点睛】本题从性质上考查组合数性质，从方法上考查利用数学归纳法解决与自然数有关命题，从思想上考查运用算两次解决二项式有关模型. 组合数性质不仅有课本上介绍的、，更有，现在又有，这些性质不需记忆，但需会推导，更需会应用.