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1 1大题冲关集训(一)1.(20xx高考安徽卷)设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性;(2)当x0,1时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.解:(1)f(x)的定义域为(-,+),f(x)=1+a-2x-3x2.令f(x)=0,得x1=-1-4+3a3,x2=-1+4+3a3,x1x2.所以f(x)=-3(x-x1)(x-x2).当xx2时,f(x)0;当x1x0.故f(x)在(-,-1-4+3a3)和(-1+4+3a3,+)内单调递减,在(-1-4+3a3,-1+4+3a3)内单调递增.(2)因为a0,所以x10.当a4时,x21.由(1)知,f(x)在0,1上单调递增.所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.当0a4时,x21.由(1)知,f(x)在0,x2上单调递增,在x2,1上单调递减.所以f(x)在x=x2=-1+4+3a3处取得最大值.又f(0)=1,f(1)=a,所以当0a1时,f(x)在x=1处取得最小值;当a=1时,f(x)在x=0处和x=1处同时取得最小值;当1a0时,f(x)单调增区间为(0,1c),f(x)单调减区间为(1c,+).(2)f(x)x2恒成立,即ln x-cxx2恒成立,clnxx-x,当x(0,+)时恒成立.设g(x)=lnxx-x,g(x)=1-lnx-x2x2,g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减.g(x)max=g(1)=-1,c-1.即c的取值范围为(-1,+).3.(20xx凉州一诊)已知函数f(x)=(ax-2)ex在x=1处取得极值.(1)求a的值;(2)求函数f(x)在m,m+1上的最小值;(3)求证:对任意x1,x20,2,都有|f(x1)-f(x2)|e.(1)解:f(x)=aex+(ax-2)ex=(ax+a-2)ex.由已知得f(1)=0,即(2a-2)e=0,解得a=1.当a=1时,在x=1处函数f(x)=(x-2)ex取得极小值,所以a=1.(2)解:由(1)知f(x)=(x-2)ex,f(x)=ex+(x-2)ex=(x-1)ex.所以函数f(x)在(-,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增.当m1时,f(x)在m,m+1上单调递增,f(x)min=f(m)=(m-2)em.当0m1时,m1m+1,f(x)在m,1上单调递减,在1,m+1上单调递增,f(x)min=f(1)=-e.当m0时,m+11,f(x)在m,m+1上单调递减,f(x)min=f(m+1)=(m-1)em+1.综上,f(x)在m,m+1上的最小值f(x)min=(m-2)em,m1,-e,0m1,(m-1)em+1,m0.(3)证明:由(1)知f(x)=(x-2)ex,f(x)=(x-1)ex.令f(x)=0得x=1.因为f(0)=-2,f(1)=-e,f(2)=0,所以当x0,2时,f(x)max=0,f(x)min=-e,所以,对任意x1,x20,2,都有|f(x1)-f(x2)|f(x)max-f(x)min=e.4.(20xx临沂市质检)已知函数f(x)=ln x.(1)若直线y=x+m与函数f(x)的图象相切,求实数m的值;(2)证明曲线y=f(x)与曲线y=x-1x有唯一的公共点;(3)设0ab,比较f(b)-f(a)2与b-ab+a的大小,并说明理由.(1)解:f(x)=1x,设切点为(x0,y0),则k=1x0=1,x0=1,y0=ln x0=ln 1=0,代入y=x+m,得m=-1.(2)证明:令h(x)=f(x)-(x-1x)=ln x-x+1x,则h(x)=1x-1-1x2=-x2+x-1x2=-(x-12)2-34x20,h(x)在(0,+)上单调递减.又h(1)=ln 1-1+1=0,x=1是函数h(x)唯一的零点,故点(1,0)是两曲线唯一的公共点.(3)解:lnb-lna2-b-ab+a=12ln ba-ba-1ba+1,0a1.构造函数 (x)=12ln x-x-1x+1(x1),则(x)=12x-x+1-(x-1)(x+1)2=12x-2(x+1)2=(x-1)22x(x+1)20, (x)在(1,+)上单调递增,又当x=1时, (1)=0,x1时, (x)0,即12ln xx-1x+1,则有12ln baba-1ba+1成立,即lnb-lna2b-ab+a.即f(b)-f(a)2b-ab+a.5.(20xx湖北省八市联考)定义在R上的函数g(x)及二次函数h(x)满足g(x)+2g(-x)=ex+2ex-9,h(-2)=h(0)=1且h(-3)=-2.(1)求g(x)和h(x)的解析式;(2)对于x1,x2-1,1,均有h(x1)+ax1+5g(x2)-x2g(x2)成立,求a的取值范围;(3)设f(x)=g(x),x0,h(x),x0,讨论方程ff(x)=2的解的个数情况.解:(1)g(x)+2g(-x)=ex+2ex-9,g(-x)+2g(x)=e-x+2e-x-9,即g(-x)+2g(x)=2ex+1ex-9, 由联立解得g(x)=ex-3.h(x)是二次函数,且h(-2)=h(0)=1,可设h(x)=ax(x+2)+1,由h(-3)=-2,解得a=-1.h(x)=-x(x+2)+1=-x2-2x+1.g(x)=ex-3,h(x)=-x2-2x+1.(2)设(x)=h(x)+ax+5=-x2+(a-2)x+6,F(x)=ex-3-x(ex-3)=(1-x)ex+3x-3,依题意知,当-1x1时,(x)minF(x)max.F(x)=-ex+(1-x)ex+3=-xex+3在-1,1上单调递减,F(x)min=F(1)=3-e0,F(x)在-1,1上单调递增,F(x)max=F(1)=0,(-1)=7-a0,(1)=a+30,解得-3a7,实数a的取值范围为-3,7.(3)f(x)的图象如图所示.令T=f(x),则f(T)=2.T1=-1,T2=ln 5,f(x)=-1有两个解,f(x)=ln 5有3个解.ff(x)=2有5个解.6.已知函数f(x)=ax-1-ln x(aR).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)在x=1处取得极值,不等式f(x)bx-2对x(0,+)恒成立,求实数b的取值范围;(3)当xye-1时,证明不等式exln(1+y)eyln(1+x).(1)解:函数的定义域是(0,+),且f(x)=a-1x=ax-1x.当a0时,ax-10,从而f(x)0时,若0x1a,则ax-10,从而f(x)eyln(1+x)成立,只需证ex+1ln(x+1)ey+1ln(y+1).构造函数h(x)=exlnx,则h(x)=exlnx-exxln2x=ex(lnx-1x)ln2x,h(x)在(e,+)上单调递增,h(x)h(e)0,则h(x)在(e,+)上单调递增.由于xye-1,所以x+1y+1e,所以ex+1ln(x+1)ey+1ln(y+1),即exln(1+y)eyln(1+x).
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