管理数量方法与分析串讲讲义

管理数量方法与分析串讲讲义第一章 数据分析的基础一、数据集中趋势的度量：平均数： n个数据的算术平均数= ，其中数据为分组数据的加权平均数 ， 其中m为组数，yi为第i组的组中值，vi为第i组频数。 优点：平均数容易理解，计算；它不偏不倚地对待每一个数据；是数据集的“重心”缺点：对极端值十分敏感。 【例题】如果一组数据分别为10,20,30和x，若平均数是30，那么x应为A30B50C60D80【答案】选择C【解析】考察的知识点为平均数的计算方法。【例题】某企业辅助工占80，月平均工资为500元，技术工占20，月平均工资为700元，该企业全部职工的月平均工资为 【 】A520元 B540元 C550元 D600元【答案】选择B【解析】考察的知识点为加权平均数的计算方法。中位数：将数据按从小到大顺序排列,处在中间位置上的一个数或最中间两个数的平均数。若n为奇数，则位于正中间的那个数据就是中位数，即 就是中位数。若n为偶数，则中位数为就是中位数。优点：中位数对极端值不像平均数那么敏感缺点：没有充分地利用数据所有信息【例题】八位学生五月份的伙食费分别为(单位：元)360 400 290 310 450 410 240 420则这8位学生五月份伙食费中位数为 【 】A360 B380 C400 D420【答案】B【解析】共有偶数个数，按从小到大排列后，第4位数360与第5位数400求平均为380众数：数据中出现次数最多的数。优点：它反映了数据中最常见的数值，不仅对数量型数据(数值)有意义，对分类型数据也有意义；它能够告诉我们最普遍、最流行的款式、尺寸、色彩等产品特征。缺点：一组数据可能没有众数，也可能众数不唯一。【例题】对于一列数据来说，其众数( )A.一定存在B.可能不存在C.是唯一的D.是不唯一的【答案】B【例题】数列2、3、3、4、1、5、3、2、4、3、6的众数是_。平均数，中位数和众数的大小关系：频率直方图是单峰对称：平均数=中位数=众数频率直方图是左偏分布：众数中位数平均数频率直方图是右偏分布：平均数中位数众数众 数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标 。平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和。中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标。四、数据离散趋势的度量： 极差R=max-min。 优点：容易计算缺点：容易受极端值的影响四分位极差=Q3-Q1。第2四分位点Q2=全体数据的中位数；第1四分位点Q1=数据中所有Q2的那些数据的中位数；第3四分位点Q3=数据中所有Q2的那些数据的中位数。优点：四分位极差不像极差R那样容易受极端值的影响缺点：没有充分地利用数据所有信息方差：反映数据离开平均数远近的偏离程度。n个数据的方差：分组数据的方差：其中m, yi, vi同上, n 是数据的个数,是分组数据的加权平均数。标准差： (方差的算术平方根，与原来数据的单位相同)变异系数：v(%) (反映数据相对于其平均数的分散程度)两组数据的平均数不同或两组数据的单位不同时用。【例题】为了调查常富县2002年人均收入状况，从该县随机抽取100人进行调查，得到年人均收入的数据如下（单位：万元）： 年人均收入人数00.5以下360.51.0以下231.01.5以下211.52.0以下102.02.5以下52.53.0以下33.03.5以下2 根据上述分组数据，回答下面的问题：画出收入分布的直方图，并说明分布的形状（5分）计算该样本的年人均收入及标准差（6分）收入最高的20%的人年均收入在多少以上？（3分）【答案】1.人数频数40200 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 年人均收入2. 由直方图，可见随着年人均收入的增加，人数在逐渐下降。年人均收入人数组中值00.5以下360.250.51.0以下230.751.01.5以下211.251.52.0以下101.752.02.5以下52.252.53.0以下32.753.03.5以下23.25 年人均收入 =0.96 方差=0.5559 标准差=0.753. 收入最高的20%的人年均收入在1.5万元以上 【解析】本题考察的知识点为第一章的基本知识：直方图的画法，分组数据的均值和方差的求法。【例题】在一次知识竞赛中，参赛同学的平均得分是80分，方差是16，则得分的变异系数是( )A.0.05B.0.2C.5D.20【答案】A.【解析】根据变异系数公式：v，得出4/80=0.05四、相关分析：相关关系：变量之间存在不确定的数量关系 1.线性相关：变量的关系近似线性函数； 不完全正线性相关不完全线性相关 不完全负线性相关完全正线性相关完全线性相关 完全负线性相关 1. 非线性相关：变量的关系近似非线性函数； 完全非线性相关不完全非线性相关 3.不相关：变量之间没有任何规律。简单相关系数：(x1,y1),(xn,yn)是总体(X,Y)的n对观察值 或 r反映两个变量之间线性相关的密切程度，|r|1。r=-1完全负相关r=1完全正相关-1r0负相关00.8高度线性相关17若变量Y与变量X有关系式Y=3X+2，则Y与X的相关系数等于( )A一1B0C1D310当所有观察点都落在回归直线y=a+bx上，则x与y之间的相关系数为（ ）Ar=0Br2=1C-1r1D0r0）5.乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)，P(A)0；6.全概公式：设事件A1, A2, An两两互斥, A1+An,且P(A1)0, , P(An)0, 则对任意事件B，有 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(An)P(B|An)；7.贝叶斯公式：条件同上,则对任意事件B (P(B)0),有P(Ai|B)=, i=1,2,n,（分母中的 P(B) 用全概公式求）。【例题】北方大学统计系06级3班共有60名同学，至少有2名同学生日相同的概率为（一年按 365天计算）（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】（互逆概率公式）可设A=所有同学生日均不相同，则利用古典概型概率计算方法： P至少有2名同学生日相同=1-P(A）=【例题】如果事件A的概率为，事件B的概率为，下列陈述中一定正确的是【答案】B【解析】利用概率的加法公式因为， ，故 ，选B。【例题】如果事件A发生的概率，事件B发生的概率，并且已知，则（ ）0.6B0.4C1D0【答案】C【解析】，所以AB=B，利用条件概率公式，【例题】天地公司下属3家工厂生产同一种产品，3家公司的次品率分别为0.01,0.02,0.015，而3家工厂的日产量分别为2000,1000,2000，则天地公司该产品的总次品率是（ ）A0.015B0.014C0.01D0.02【答案】B【解析】全概率公式。 设3家公司分别为=任取一产品为第i家公司产品，i=1,2,3 B=产品为次品 则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2) +P(A3)P(B|A3) 六、事件的独立性若A，B两事件中不论哪一个事件发生与否并不影响另一个事件发生的概率，则称两个事件相互独立。P(AB)=P(A)P(B)若，独立，则P()（），（）（）性质：若与独立，则与B、与、A与也独立。一、 随机变量取值带有随机性，但取值具有概率规律的变量称为随机变量。 可以分为：离散型随机变量和连续型随机变量；一元随机变量和多元随机变量。二、离散型随机变量：取值可以逐个列出。分布律 P(xi)=pi, i=1,2,或 Xx1x2pp1p2 性质：，【例题】离散型随机变量X的分布律为 X1 0 1概率 a 则a等于（ ） A. B. C. D. 1【答案】C【解析】考察离散型随机变量概率分布的性质。数学期望：1.定义：EX=xipi (以概率为权数的加权平均数) ；2.性质：Ec = c (常数期望是本身)E(aX)= aEX (常数因子提出来)E(aX+b) =aEX+b (一项一项分开算)方差：1.定义：DX=E(X-EX)2=(xi-EX)2pi=E(X2)-(EX)2；(方差=平方的期望-期望的平方）2.性质：Dc =0 (常数方差等于0） D(aX)=a2DX (常数因子平方提) D(aX+b)=a2DX (一项一项分开算) 例：设X的分布律为X123p0.10.30.6则E（X）=0.1+0.6+1.8=2.5 D（X）= E(X2)-(EX)2=0.1+1.2+5.4-(2.5)2=6.7-6.25=0.45【例题】若某学校有两个分校，一个分校的学生占该校学生总数的60%，期末考试的平均成绩为75分，另一个分校的学生占学生总数的40%，期末考试的平均成绩为77分，则该校学生期末考试的总平均成绩为（ ）分。A76 B.75.8 C.75.5 D.76.5【答案】B【解析】该校学生期末考试的总平均成绩为75*0.6+77*0.4=75.8【例题】若随机变量Y与X的关系为Y3X2，并且随机变量X的方差为2，则Y的方差D（Y）为（ ）A6B12C18D36【答案】C【解析】考察方差的性质。DY(3X2)=9DX=18 常用离散型随机变量： 名称记法概率分布律EXDX(0-1)分布XB(1,p)P(X=1)=p, P(X=0)=1-pp1-p二项分布XB(n,p)P(X=k)=k=0,1,2,nnpnp(1-p)泊松分布XP()P(X=k)=,k=0,1,2,0 【例题】一个二项分布随机变量的方差与数学期望之比为，则该分布的参数应为（ ）【答案】D【解析】考察二项分布数学期望与方差。EX=np, DX=np(1-p)，【例题】某保险业务员每六次访问有一次成功地获得签单（即签单成功的概率是），在一个正常的工作周内，他分别与36个客户进行了联系，则该周签单数的数学期望是A. 3 B. 4 C. 5 D.6【答案】D 【解析】 考察二项分布的数学期望。设该业务员本周签单数为X，X服从二项分布B(36,),则EX=。 三、连续型随机变量：取某个范围内的一切实数。X的密度函数f(x)：1) 对任意实数x, f(x)0；2) 对任意实数ab, P(a0正态分布XN(,2)2标准正态 分 布XN(0,1)01正态分布的密度曲线y=p(x)是一条关于直线x=的对称的钟形曲线，在x=处最高，两侧迅速下降，无限接近x轴；越小(大)，曲线越尖(扁)。标准正态分布的密度曲线 y=(x) 是关于y轴对称的钟形曲线。当ZN(0,1)时，对给定的，有，称为上分为点。标准化定理：设XN(,2), 则 Z=N(0,1)。服从正态分布的随机变量的线性组合，仍服从正态分布。 如XN(,2),Y=aX+bN(a+b,a22)【例题】数学期望和方差相等的分布是（ ）A二项分布B泊松分布C正态分布D指数分布【答案】B 【解析】若X服从参数为泊松分布，E(X)=D(X)=【例题】如果X服从标准正态分布，已知则ABCD【答案】A 【解析】 【例题】若随机变量X服从正态分布N（0,4），则随机变量Y=X-2的分布为（ ）AN(-2,4) B.N(2,4) C.N(0,2) D.N(-2,2) 【答案】A 【解析】Y依然服从正态分布,EY=EX-2=-2,DY=DX=4四、 二维随机变量：二维随机变量的联合分布律： 或 性质：，X,Y的协方差：cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)=E(XY)-(EX)(EY)X,Y的相关系数：rXY= (-1rXY1)相关系数rXY反映X,Y之间的线性相关的程度。rXY越接近1， 表明X,Y之间的正线性相关程度越强；rXY越接近-1，表明X,Y之间的负线性相关程度越强；rXY=0，X与Y不相关。【例题】若两个随机变量X与Y的简单相关系数r=0，则表明这两个变量之间（ ）A存在非线性相关关系 B。相关关系很低C不存在线性相关关系 D。不存在任何关系【答案】C【解析】rXY=0，X与Y不相关，即不线性相关。随机变量的线性组合的期望与方差：1. E(aX+bY)=aEX+bEY2. D(aX+bY)=a2DX+2abcov(X,Y)+b2DY X与Y相互独立时，cov(X,Y)=0，D(aX+bY)=a2DX+b2DY五、决策准则与决策树：对不确定的因素进行估计，从几个方案中选择一个，这个过程称为决策；决策三准则：1.极大极小原则:将各种方案的最坏结果(极小收益)进行比较,选择极小收益最大的方案；2.最小期望损失原则：选择期望损失最小的方案；3.最大期望收益原则：选择期望收益最大的方案。决策树：把不确定因素下的决策过程用图解的形式表示出来，简单、直观。 小方块表示需要进行决策的地方； 小圆圈表示各种状况可能发生的地方，需要计算期望收益或期望机会损失。【例题】康美化妆品公司计划开发一种新的化妆品，研发费用约为30万人民币。研发成功与失败的概率约各占一半。如果研发成功，康美公司可以转让研究成果，预期可获得利润50万元（已扣除研发费用）；康美公司也可以自行生产并推向市场，预期收益依赖于市场需求。假设市场需求有3种可能，具体数据如下：需求状况市场需求量大市场需求量一般市场需求量小概率0.30.50.2预期利润（万元）12050-10注：上述数据已扣除研发费用。请根据上述背景资料回答下列问题：1.根据问题需要，画出决策树（5分）2.假设研发成功并自行生产，计算期望利润（3分）3.请你帮助康美公司做出决策，并在决策树上画出决策过程（6分）4.当研发成功的概率低于多少时，康美公司应当改变其决策？（6分）【答案】1.2. 研发成功并自行生产的期望利润为： 3.康美公司应研发新产品，若研发成功，则自行生产并投放市场。设研发成功的概率为p，则研发失败的概率为1-p。 若研发，期望收益为59p+(1-p)(-30)=89p-300时，即时，就研发新产品。 当时，康美公司就应该改变决策。【解析】本题考察的是决策准则与决策树的相关知识点。 1题考察的是决策树的画法。2题考察的是期望收益的求法。 3题考察的利用决策树做决策。4题考察的是决策树的敏感度分析。六、简单抽样分布与中心极限定理：三大分布（1）总体分布：研究对象这一总体中各个单元标志值所形成的分布。（2）样本分布：从总体中抽取容量为n的样本，这些样本标志值所形成的分布。（3）抽样分布：统计量的分布叫做抽样分布。统计量：不含任何未知参数的样本的函数称作统计量。常用的统计量1.样本均值：；2.样本方差：；(注意是除以n-1,其中n是样本容量)3.样本标准差：。样本均值的期望与方差：设随机变量X1,Xn独立同分布,且EXi=,DXi=2,i1,2,n, ,则，即：样本均值的期望=总体均值, 样本均值的方差=总体方差/样本容量。中心极限定理：大样本(样本容量n30),不论原来总体服从什么分布,样本均值都近似服从正态分布。七、常用的抽样分布1.样本均值的分布：总体分布样本容量的分布正态分布大样本正态分布小样本正态分布非正态分布大样本正态分布小样本非正态分布样本均值的期望与方差：总 体总体参数抽样方式有限 重复抽样不重复抽样无限任意当有限总体不放回抽样5% 时,修正系数1,样本均值的方差可以简化为。2.样本比例的分布：大样本时，样本比例的期望与方差总 体抽样方式EPDP有限总体有放回抽样不放回抽样无限总体任意当有限总体不放回抽样0; 若x与y是负相关的，则b2.4469，故拒绝原假设。 即回归系数不为0，人均生产总值对人均消费水平有影响。 5.【解析】本题考察的是一元线性回归的各知识点。二、可线性化的非线性回归：名 称方 程变量代换线性回归双曲函数y=a+bx=y=a+bx对数函数y=a+blogxx=logxy=a+bx幂函数y=Axby=logy, x=logx, a=logAy=a+bx多项式函数y=b0+b1x1+bkxkx1=x,x2=x2,xk=xky=b0+b1x1+bkxk第四章 统计指数（一）、常见考点1.指数的性质，指数的主要类型，有关指数编制的两个基本问题2.权数的确定，加权综合指数拉氏指数和帕氏指数，加权平均指数基期总量加权平均指数和报告期总量平均指数3.总量指数，指数体系4.零售价格指数，消费价格指数，股票价格指数（二）、重难点串讲一、指数的概念与分类：指数的概念：测定总体各变量在不同场合下综合变动的一种特殊的相对数。指数的分类：1. 按项目多少分个体指数、综合指数；2. 按反映内容分数量指数、质量指数。1) 数量指数：反映物质数量的变动水平，如产量指数、销售量指数。2) 质量指数：反映物质内含数量的变动水平，如成本指数、价格指数。3. 按计算方法分简单指数、加权指数；4. 按对比场合分时间性指数、区域性指数。二、加权指数：1. 确定权数的原则：1) 求数量指数，用质量做权数；求质量指数，用数量做权数；2) 计算指数时，相对数的分子、分母的权数必须是同一时期的；3) 有时把权数固定在某一特定时期。2. 拉氏指数：（以基期变量做为权数）拉氏质量指数； 拉氏数量指数；（常用）3. 派氏指数：（以报告期变量做为权数）派氏价格指数；（常用）派氏数量指数；【例题】若价格用表示，销售量用表示，下列指数中属于拉氏价格指数的是ABCD【答案】A【解析】本题是拉氏价格指数，以基期数量为权数。【例题】设p为商品价格，q为销售量，指数综合反映了（ ）A商品价格的变动程度B. 商品价格的变动对销售额的影响程度C商品销售量的变动对销售额的影响程度D商品价格和销售量的变动对销售额的影响程度。【答案】C【解析】综合反映了商品销售量的变动对销售额的影响程度。3总量指数=；4.常用的变量关系： 销售额=价格销售量, 总成本=单位成本产量, 生产总值=出厂价格产量, 生产总值=劳动生产率职工人数三、指数体系： 总量指数等于各因素指数的乘积：其中两个因素指数中数量与质量指数各一个，指数中权数必须是不同时期的。 总量的变动差额等于各因素指数的变动差额之和1.加权综合指数体系：:p1q1-p0q0=(p1q1-p0q1)+(p0q1-p0q0)；2.加权平均指数体系：:3.个体指数体系： :p1q1-p0q0=(p1q1-p0q1)+( p0q1-p0q0) 【例题】某百货公司2000年比1999年的商品平均销售额增长了15%，平均销售量增长了18%，则平均销售价格增减变动的百分比为（ ）A16.7% B.-16.7% C.2.5% D.-2.5%【答案】D【解析】销售额=价格销售量,由，即115%=118% 则，可知平均销售价格减少了2.5%。【例题】为保持产品的市场竞争力，安康家具制造公司在保证产品质量的同时尽可能降低生产成本，为此，公司一方面在降低管理费用上下功夫，另一方面致力于提高产品产量。下面是公司2002年和2003年三种主要家具的生产数据：产品名称总生产成本（万元）2003年比2002年产量增长百分比（%）2002年2003年甲1151025乙11011210丙1801818根据上面的数据分析以下问题：1计算2003年比2002年总生产成本变动的指数（用百分比表示）以及总生产成本变动的金额。（6分）2根据指数体系，以2002年的总生产成本以为权数，计算三种产品的产量综合指数以及由于产量变动对总生产成本影响的金额。（7分）3根据指数体系，以2003年的总生产成本为权数，计算三种产品的单位成本综合指数以及由于单位成本变动对总生产成本影响的金额。（7分）【答案】产品名称总生产成本（万元）产量增长百分比（%）2002年2003年甲1151025乙11011210丙1801818总成本变动指数=总生产成本变动的金额=395-405= -102.以2002年的总生产成本以为权数，三种产品的产量综合指数由于产量变动对总生产成本影响的金额= 3. 由于 甲产品： 乙产品：丙产品：三种产品的单位成本综合指数由于单位成本变动对总生产成本影响的金额=395-422.28=-27.28【解析】本题中用到的关系： 总生产成本=单位成本产量1题考查的总成本变动指数是总量指数2题产量综合指数是以基期总量为权数的加权数量平均指数。3题单位成本综合指数是以报告期总量为权数的加权质量平均指数。 已知、和，利用个体指数体系，求出后利求出加权质量平均指数。第五章 线性规划介绍运输问题求解采用表上作业法，即用列表的方法求解线性规划问题中的运输模型的计算方法，实质上是单纯形法。最小元素法的基本思想是就近供应，即从单位运价表中最小的运价开始确定产销关系，依此类推，一直到给出基本方案为止.基本步骤：| 找出最小运价，确定供求关系，最大量的供应 ；| 划掉已满足要求的行或 (和) 列，如果需要同时划去行和列，必须要在该行或列的任意位置填个“0”；| 在剩余的运价表中重复1、2两步，直到得到初始基可行解。最小元素法各步在运价表中划掉的行或列是需求得到满足的列或产品被调空的行。一般情况下，每填入一个数相应地划掉一行或一列，这样最终将得到一个具有m+n-1个数字格（基变量）的初始基可行解。为了使在产销平衡表上有m+n-1个数字格，这时需要在第行或第列此前未被划掉的任意一个空格上填一个“0”。填“0”格虽然所反映的运输量同空格没有什么不同；但它所对应的变量却是基变量，而空格所对应的变量是非基变量。闭合回路法就是对于代表非基变量的空格（其调运量为零），把它的调运量调整为1，由于产销平衡的要求,我们必须对这个空格的闭回路的顶点的调运量加上或减少1。最后我们计算出由这些变化给整个运输方案的总运输费带来的变化。如果所有代表非基变量的空格的检验数也即非基变量的检验数都大于等于零，则已求得最优解，否则继续迭代找出最优解。举例：从表4-6给定的初始方案的任一空格出发寻找闭合回路，如对于空格（A，甲）在初始方案的基础上将A生产的产品调运一个单位给甲，为了保持新的平衡，就要依次在（A，丙）处减少一个单位、（B，丙）处增加一个单位、（B，甲）处减少一个单位；即要寻找一条除空格（A，甲）之外其余顶点均为有数字格（基变量）组成的闭合回路。表4-24中用虚线画出了这条闭合回路。闭合回路顶点所在格括号内的数字是相应的单位运价，单位运价前的“+”、“-”号表示运量的调整方向。如果检验数表中所有数字均大于等于零，这表明对调运方案做出任何改变都将导致运费的增加，即给定的方案是最优方案图上作业法由于相关方法涉及图形较多，直接参考书本P173-P182第六章 统计决策分析1. 统计决策的要素和程序统计决策三个基本要素：可能状态集、可行集、收益函数统计决策的程序：确定决定目标；拟订可行方案；比较得出最佳行动方案；执行决策 2. 非概率型决策 非概率型决策准则4) 大中取大准则（乐观准则）5) 小中取大准则（悲观准则）6) 折中准则7) 大中取小准则3. 概率型决策，包括先验概率型决策和后验概率型决策先验概率（prior probability）是指根据以往经验和分析得到的概率,如全概率公式,它往往作为由因求果问题中的因出现.先验概率型决策的准则1) 期望损益准则（引申出决策树）2) 最大可能准则3) 渴望水平准则决策树： 为生产某产品，计划建厂，建大厂，投资300万元，小厂投资160万元，都是使用10年。每年的损益值如下表所示。自然状态概率建大厂建小厂销路好销路差0.70.3100-204010 问应选择哪个方案？边际分析决策根据边际平衡公式：EMR=MQp+ML(1-p)得出临界概率：p=MLMQ+ML后验概率是在一个通信系统中，在收