新版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6讲抛物线知能训练轻松闯关理北师大版

11第第 6 6 讲讲 抛物线抛物线1(20 xx合肥质量检测)抛物线x212y的焦点坐标为()A.12，0B.0，12C.18，0D.0，18解析：选 D.抛物线x212y的焦点坐标是0，18 .2若抛物线y22x上一点M到它的焦点F的距离为32，O为坐标原点，则MFO的面积为()A.22B.24C.12D.14解析：选 B.由题意知，抛物线准线方程为x12.设M(a，b)，由抛物线的定义可知，点M到准线的距离为32，所以a1，代入抛物线方程y22x，解得b 2，所以SMFO1212 224.3若抛物线y22x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A.14，22B.14，1C.12，22D.12，1解析：选 A.设抛物线的顶点为O，焦点为F，P(xP，yP)，由抛物线的定义知，点P到准线的距离即为点P到焦点的距离，所以|PO|PF|，过点P作PMOF于点M(图略)，则M为OF的中点，所以xP14，代入y22x，得yP22，所以P14，22 .4直线l过抛物线y22px(p0)的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是 2，则此抛物线的方程是()Ay212xBy28xCy26xDy24x解析：选 B.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可得|x1|x2|p8，又AB的中点到y轴的距离为 2，即|x1|x2|4，所以p4，所以y28x.故选 B.5(20 xx云南省第一次检测)已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A，B两点， 如果OAOB12， 那么抛物线C的方程为()Ax28yBx24yCy28xDy24x解析： 选 C.由题意， 设抛物线方程为y22px(p0)， 直线方程为xmyp2， 联立得y22pmyp20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，得OAOBx1x2y1y2my1p2my2p2 y1y2m2y1y2pm2(y1y2)p24y1y234p212p4，即抛物线C的方程为y28x.6(20 xx衡水调研)已知等边ABF的顶点F是抛物线C1：y22px(p0)的焦点，顶点B在抛物线的准线l上且ABl，则点A的位置()A在C1开口内B在C1上C在C1开口外D与p值有关解析：选 B.设Bp2，m，由已知有AB中点的横坐标为p2，则A3p2，m，ABF是边长|AB|2p的等边三角形，即|AF|3p2p22m22p，所以p2m24p2，所以m 3p，所以A3p2， 3p，代入y22px中，得点A在抛物线上，故选 B.7(20 xx资阳模拟)顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点P(4，2)的抛物线方程是_解析：设抛物线方程为x2my，将点P(4，2)代入x2my，得m8.所以抛物线方程是x28y.答案：x28y8(经典考题)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面 2 m，水面宽 4 m水位下降 1 m 后，水面宽_m.解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)，则A(2，2)，将其坐标代入x22py，得p1.所以x22y.当水面下降 1 m，得D(x0，3)(x00)，将其坐标代入x22y，得x206，所以x0 6.所以水面宽|CD|2 6 m.答案：2 69(20 xx南昌质检)已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，若点A(3，2)，则|PA|PF|取最小值时，点P的坐标为_解析：将x3 代入抛物线方程y22x，得y 6.因为 62，所以A在抛物线内部如图，设抛物线上点P到准线l：x12的距离为d，由定义知|PA|PF|PA|d，当PAl时，|PA|d有最小值，最小值为72，即|PA|PF|的最小值为72，此时点P的纵坐标为 2，代入y22x，得x2，所以点P的坐标为(2，2)答案：(2，2)10(20 xx豫东、豫北十校联考)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线 5x2y220 的两条渐近线围成的三角形的面积为 4 5，则抛物线方程为_解析：由双曲线方程 5x2y220 知其渐近线方程为y 5x，由题意可设抛物线方程为y22px(p0)，故其准线方程为xp2，设准线与双曲线的两条渐近线的交点为A，B，则不妨令Ap2，52p，Bp2，52p，故SABO12 5pp254p24 5，解得p216，又因为p0，所以p4，故抛物线方程为y28x.答案：y28x11顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y2x4 所得的弦长|AB|3 5，求此抛物线方程解：设所求的抛物线方程为y2ax(a0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线y2x4 代入y2ax，得 4x2(a16)x160，由(a16)22560，得a0 或a0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为 4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于 5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px的准线为xp2，于是 4p25，所以p2.所以抛物线方程为y24x.(2)因为点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)又因为F(1，0)，所以kFA43，因为MNFA，所以kMN34.又FA的方程为y43(x1)，MN的方程为y234x，联立，解得x85，y45，所以点N的坐标为85，45 .1(20 xx四川省成都七中一诊)已知抛物线y24x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，若点A(1，0)，则|PF|PA|的最小值是()A.12B.22C.32D.2 23解析：选 B.抛物线y24x的准线方程为x1，如图，过P作PN垂直x1 于N，由抛物线的定义可知|PF|PN|，连接PA，在 RtPAN中，sinPAN|PN|PA|，当|PN|PA|PF|PA|最小时，sinPAN最小，即PAN最小，即PAF最大，此时，PA为抛物线的切线，设PA的方程为yk(x1)，联立yk（x1） ，y24x，得k2x2(2k24)xk20，所以(2k24)24k40，解得k1，所以PAFNPA45，|PF|PA|PN|PA|cosNPA22，故选 B.2已知抛物线x22y，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为_解析：由x22y，得y12x2，所以yx.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以抛物线在P，Q两点处的切线的斜率分别为x1，x2，所以过点P的抛物线的切线方程为yy1x1(xx1)，又x212y1，所以切线方程为yx1xx212，同理可得过点Q的切线方程为yx2xx222，两切线方程联立解得xAx1x22，yAx1x22.又抛物线焦点F的坐标为0，12 ，易知直线l的斜率存在，可设直线l的方程为ymx12，由ymx12，x22y，得x22mx10，所以x1x21，所以yA12.答案：123已知圆C过定点F14，0，且与直线x14相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：yk(x1)(kR R)相交于A，B两点(1)求曲线E的方程；(2)当OAB的面积等于 10时，求k的值解：(1)由题意，点C到定点F14，0和直线x14的距离相等，故点C的轨迹E的方程为y2x.(2)由方程组y2x，yk（x1） ，消去x后，整理得ky2yk0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系有y1y21k，y1y21.设直线l与x轴交于点N，则N(1，0)所以SOABSOANSOBN12|ON|y1|12|ON|y2|，12|ON|y1y2|121 （y1y2）24y1y2121k24.因为SOAB 10，所以121k24 10，解得k16.4(20 xx石家庄一模)在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点12，0且与直线x12相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设P是曲线E上的动点，点B，C在y轴上，PBC的内切圆的方程为(x1)2y21，求PBC面积的最小值解：(1)由题意可知圆心到12，0的距离等于到直线x12的距离，由抛物线的定义可知圆心的轨迹方程为y22x.(2)设P(x0，y0)，B(0，b)，C(0，c)，直线PB的方程为(y0b)xx0yx0b0，又圆心(1，0)到PB的距离为 1，|y0bx0b|（y0b）2x201，整理得(x02)b22y0bx00，同理可得(x02)c22y0cx00，所以b，c是方程(x02)x22y0 xx00 的两根，所以bc2y0 x02，bcx0 x02，依题意得bc2，则(bc)24x204y208x0（x02）2，因为y202x0，所以|bc|2x0 x02|，所以S12|bc|x0|(x02)4（x02）48，当x04 时，不等式等号成立，所以PBC面积的最小值为 8.