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1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定核心知识目标核心素养目标1. 能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.2. 能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.3. 会判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假.1. 通过全称量词命题与存在量词命题的否定的学习，发展数学抽象、逻辑推理的核心素养.2. 通过全称量词命题与存任量词命题的否定的应用，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.知识探究二素养启迪情境导入一位探险家被抓住，其首领说：“如果你说真话，你将被烧死，说假话,将被五马分尸请问探险家该如何保命？提示:探险家应该说“我将被五马分尸”.如果土人首领将探险家五马分尸，那就说明探险家说的就是真话，而说真话应该被烧死;如果土人首领将探险家烧死，那就说明探险家说的就是假话，而说假话应该被五马分尸.所以，土人首领怎么处置探险家都不行，只能让他活着.知识探究1. 全称量词命题的否定问题1下列各命题是全称量词命题吗?你能写出它们的否定吗？(1) 所有矩形都是平行四边形；每一个素数都是奇数；4.命题“X/x-3,妒9”的否定是，是命题（填“真”或“假”）.解析：由于该命题是一个全称量词命题，因此其否定是存在量词命题，因为原命题中Vx-3时,营9”是假命题，故其否定为真命题.答案:3x-3,x29真(2) VxeR,x-2x+10.提示:它们都是全称量词命题.命题(1)的否定是“存在一个矩形不是平行四边形”；命题(2)的否定是“存在一个素数不是奇数”；命题(3)的否定为FxSR,x2-2x+l0.梳理1全称量词命题的否定全称量词命题全称量词命题的否定结论VxEM,P(x)kCM,f(x)全称量词命题的否定是存在量词命题2. 存在量词命题的否定问题2下列各命题是全称量词命题还是存在量词命题?你能写出它们的否定吗？(1) 有些实数的绝对值是正数；某些平行四边形是菱形；(2) 3xeR,x2+l0.提示:它们是存在量词命题.其中(1)的否定为:所有实数的绝对值都不是正数，(2)的否定是“每一个平行四边形都不是菱形”，(3)的否定是“VxURX+imO梳理2存在量词命题的否定存在量词命题存在量词命题的否定结论小试身手3xEM,p(x)p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题1. (2020辽宁葫芦岛高一期中)命题“VxW0,x2T，T”的否定是(C)(A)VxO,x2-l-l(B)Vx0,x2-l-l(C)3x0,x2-l-l(D)3x0,x2-l-l解析:所给命题为全称量词命题，故其否定为存在量词命题，同时要否定结论，所以所给命题的否定为3x0,x2-l0,x+i3的否定是(C)X(A)3x0,x+i3(B)3x0,x+-0,x+-0,x+yXX解析:原命题为存在量词命题，因此其否定为全称量词命题，选C.3. 若命题p是真命题,则命题一p是命题,若命题一p是真命题，则命题P是命题.解析：由于原命题和其否定的真假性相反，因此所填两空均为假命题.答案:假假麻心一探一究素靠培一育一点探究点一全称量词命题的否定与真假判断例1写出下列全称量词命题的否定，并判断所得命题的真假.(l) p:VxR,xNT;q:VxE(1,2,3,4,5),-x;Xs:一切分数都是有理数；(2) t:对任意实数m,点(m,m)都在一次函数y=x的图象上.解：(1)p:3xR,x2p是假命题.(2) -q:3xG(l,2,3,4,5,-x.将集合中的元素逐个验证，当x=l时X不等式成立，因此q是真命题.(3) S：存在一个分数不是有理数.由于所有分数都是有理数，因此原命题正确，故S是假命题.(4) t:存在一个实数mo,点(mo,m)不在一次函数y=x图象上，由于在y=x图象上点的横、纵坐标相等.故是假命题.即时训练1-1:写出下列全称量词命题的否定,并判断真假.(1) 所有矩形的对角线相等；不论m取什么实数,x2+x-m=0必有实数根；(2) 等圆的面积相等，周长相等.解：(1)该命题的否定:有的矩形对角线不相等假命题.(2) 该命题的否定:存在实数m,使得x2+x-m=0没有实数根.当=1+4成0,即niC；时，方程没有实数根,故为真命题.4该命题的否定:存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等.假命题.孑方法总结对全称量词命题否定的两个步骤 改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词；否定结论:原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等.(1) 全称量词命题否定后的真假判断方法若全称量词命题为真命题,其否定就是假命题;若全称量词命题为而命题，其否定就是真命题.寸易错警示对于全称量词命题中省略量词的要在其否定中添加相应的量词.一三Q探究点二存在量词命题的否定与真假判断例2写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假.(1) p:3aER,一次函数y=x+a的图象经过原点；q:至少有一个直角三角形不是等腰三角形；(2) s:有些三角形是锐角三角形；t:存在一个最大的内角小于60的三角形.解：p:VaR,一次函数y=x+a的图象不经过原点.因为当宓0时,一次函数y二x+a的图象经过原点，所以p是假命题.(2) q:所有直角三角形都是等腰三角形.因为有一个内角为30的直角三角形不是等腰三角形，所以q是假命题.(3) s:所有三角形都不是锐角三角形(或任意三角形都不是锐角三角形)，假命题.(4) t:所有三角形的最大内角都大于或等于60,真命题.即时训练2T:判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定.(1) 某些梯形的对角线互相平分；3xe(x|x是无理数,x2是无理数；(2) 存在keR,函数y=kx+b随x值的增大而减小.解：(1)假命题.任意一个梯形的对角线都不互相平分.(2)真命题.Vxe(x|x是无理数,妒不是无理数.真命题.任意kR,函数y=kx+b不随x值的增大而减小.孑方法总结对存在量词命题否定的两个步骤 改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词；否定结论:原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等.(1) 存在量词命题否定后的真假判断要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可.存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反点探究点三根据命题的否定求参数的取值范围例3已知命题p:VxR,ax2+2x+170,q:3xR,ax+ax+lWO.(1) 若P为真命题,求实数a的取值范围；若q为真命题,求实数a的取值范围.解:(1)因为命题p:VxGR,ax+2x+lN0,所以一p:mx6R,ax2+2x+l=0.因为P为真命题，所以a=0,或&%解得a=0,或aWl且a尹0,所以aWl,即实数a的取值范围为a|aWl(2)因为命题q:3xER,axax+lW0.所以q:VxR,ax2+ax+l0.因为q为真命题,所以a=0,解得a=0,或0a4,所以0Wa4,即实数a的取值范围为（a10Wa4变式训练3-1本例条件不变，若p与q同时为真命题，求实数a的取值范围.解:由本例解题过程可知a|alna|0Wa4=（a10WaW1,即实数a的取值范围为a|0WaWl.即时训练3T:若命题：mxoR,使得4m品+4mx（）-330成立”是假命题,则实数m的取值范围是.解析：问题等价于“VxGR,4inx2+4mx-30成立”是真命题.当m=0时，原不等式化为-30”,VxER显然成立;当mO时，只需当mO时，只需m0,.4=16m2+48mV综上，得-3mW0.答案：m|-3l,使x2-2x3=0;p:有些素数是奇数；(2) Va,bGR,方程ax=b都有唯一解;可以被5整除的整数,末位是0.解：(1)-.p:Vxl,x2-2x-30.假命题，如x=3时，x2-2x-3=0.(2) p:任意素数不是奇数.假命题,如素数3为奇数.(3) 是全称命题,其否定：3a,beR,使方程ax=b的解不唯一或不存在.真命题，如a=0,b=0时,xR；a=O,b乂0,解不存在.(4) 是全称命题，其否定:存在被5整除的整数，末位不是0.真命题，如15.例3已知集合M=x|aWxWa+l,且“VxWM,x+l0”是真命题，求实数a的取值范围.解:VxeM,x+l0恒成立，则只需x|a+lWx+1Wa+2中的a+l0即可，即aT.所以实数a的取值范围为a|aT.课堂达标1. (2020湖南长沙雅礼中学高一期中)命题FxUR,品+xo+l0”的否定为(C)mx()ER,品+xo+lNO(A) 3x0R,品+xo+lWOVxR,x2+x+lNO(B) VxR,x2+x+10解析：由题意得原命题的否定为VxeR,x+x+lNO.故选C.2. (2020-辽宁辽阳高一期中)命题“VxEZ,xR”的否定是(D)(A)VxeZ,x住R(B)3xeZ,xeR(C)Vx任Z,xR(D)3xeZ,xR解析：因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以，命题:Vxez,xR的否定是命题：3xez,x任R.故选D.3. 命题FxR,|x|+x二0”的否定是,是命题(填“真”或“假”).答案:VxeR,|x|+xO假
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