新版广东省广州市高考数学一轮复习 专项检测试题：24 不等式恒成立问题的处理方法

新版-新版数学高考复习资料-新版 1 1 精编数学高考复习资料不等式恒成立问题的处理方法1、转换为求函数的最值恒成立的最大值；恒成立的最小值。例1、已知函数在处取得极值，其中为常数。（1）试确定的值； （2）讨论函数的单调区间；（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围。解：（1）（2）略（3）由（2）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值。要使恒成立，只需，即，从而，解得或，的取值范围为。例2、已知对任意恒成立，试求实数的取值范围。解：等价于对任意恒成立，又等价于时，的最小值成立。由于在上为增函数，则，所以。例3、函数在上既是奇函数又是减函数，且当时，有恒成立，求实数的取值范围。解：由得到：因为为奇函数，故有恒成立，又因为为减函数，从而有对恒成立；设，则对于恒成立，函数，对称轴为。当时，即，又当，即时，即，又，当时，恒成立。故由可知：。2、主参换位 精编数学高考复习资料例4、若不等式对恒成立，求实数的取值范围。 例5、若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围。解：例6、已知函数，其中为实数。若不等式对任意都成立，求实数的取值范围。解：由题设知，对任意，不等式都成立，即，都成立。设（），则是一个以为自变量的一次函数。恒成立，则，为上的单调递增函数。所以对任意，恒成立的充分必要条件是，于是的取值范围是。3、分离参数 精编数学高考复习资料（1）将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式；（2）求在上的最大（或最小）值；（3）解不等式（或），得的取值范围。适用题型：参数与变量能分离；函数的最值易求出。例7、当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 。解：当时，由得。令，则易知在上是减函数，所以时，则。例8、已知函数，其中。（1）当满足什么条件时，取得极值；（2）已知，且在区间上单调递增，试用表示出的取值范围。解：（1）（2）在区间上单调递增在上恒成立恒成立，；设，令得或（舍），当时，当时，单调增函数；当时，单调减函数，；当时，此时在区间恒成立，所以在区间上单调递增，。综上，当时， ；当时，。4、数形结合例9、若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 。解：，不等式恒成立，则由一次函数性质及图象知，即。例10、当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。例11、已知关于的函数，其中，若当在区间内任意取值时，的值恒为正，求实数的取值范围。解：，令，则，则有，于是问题转化为： 精编数学高考复习资料当时，恒成立，求实数的取值范围。因为是关于的一次函数，则当时，恒成立的充要条件是，解得。所以当时，；当时，。