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【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1.【20xx新课标全国】已知函数f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)，若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y4x+2（）求a，b，c，d的值（）若x2时，f(x)kg(x)，求k的取值范围.【解析】（1）利用导数的几何意义进行求解；（2）构造函数“”，对k的取值范围进行分类讨论，进而得到答案.2.【20xx新课标全国】已知函数，曲线在点处切线方程为.（）求的值；（）讨论的单调性，并求的极大值.【答案】（1），故，解得；（2），；令，所以或，所以当变化时，、变化如下表所示：+0-0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以极大值.3.【20xx高考全国1】设函数，曲线在点处的切线方程为（I）求（II）证明：4.【20xx高考全国1文】设函数，曲线处的切线斜率为0（1） 求b;（2） 若存在使得，求a的取值范围.【解析】（1），由题设知，解得.（2）的定义域为，由（1）知，5.【20xx全国卷1理】已知函数() 当为何值时，轴为曲线的切线；() 用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数【解析】（）设曲线y=f(x)与x轴相切于点，则，即 解得，因此，当时，x轴为曲线y=f(x)的切线方程（）当时，从而，无零点当时，（）若，则，故是的零点；（）若，则，故不是的零点当，所以只需考虑在的零点个数（）若或，则在无零点，故在单增，所以时，在有一个零点；当时，在没有零点（）若，则在单调递减，在单调递增，故在中，当时，有最小值，最小值为若，即，在没有零点；若，即，在有唯一零点；若，即，由于，所以当时，在有两个零点；当时，在有一个零点综上，当或时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点6.【20xx全国卷1文】已知函数() 讨论的导函数零点个数；() 证明：当时，7.【20xx全国卷2理】设函数() 证明：在单调递减，在单调递增；() 若对于任意，都有，求m的取值范围【解析】（）若，则当时，；当时，；若，则当时，；当时，所以，在单调递减，在单调递增（）由（）知，对任意的在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值，所以对于任意的充要条件是即 设函数，则当时，；当时，故在单调递减，在单调递增.又，故当时，当时，即式成立；当时，由的单调性，即；当时，即综上，的取值范围是8.【20xx全国卷2文】已知函数() 讨论函数的递增性；() 当有最大值，且最大值大于时，求a的取值范围【热点深度剖析】20xx年高考理科考查导数的几何意义、导数与函数的最值、导数与函数的单调性，考查学生的分类讨论能力以及化归与转化思想；文科考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与函数的极值，考查学生的基本推理能力. 20xx年理科高考考查了导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性，利用导数求函数的最值，.突出考查综合运用数学知识和方法分析问题、解决问题的能力；文科考查了求曲线的切线方程，导数在研究函数性质中的运用，考查学生的分类讨论能力以及化归与转化思想，突出考查综合运用数学知识和方法分析问题、解决问题的能力.20xx年文理4份试卷分别涉及到切线、零点、单调性、最值、不等式证明、恒成立问题.近三年的高考试题基本上形成了一个模式，第一问求解函数的解析式，以切线方程、极值点或者最值、单调区间等为背景得到方程进而确定解析式，或者给出解析式探索函数的最值、极值、单调区间等问题，较为简单；第二问均为和不等式相联系，考查不等式恒成立问题、证明不等式等综合问题，难度较大. 从近几年的高考试题来看，利用导数来研究函数的单调性和极值问题已成为炙手可热的考点，既有小题，也有解答题，小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，解答题主要考查导数与函数单调性，或方程、不等式的综合应用预测20xx年高考函数大题以对数函数，指数函数，反比例函数以及一次函数，二次函数中的两个或三个为背景，组合成一个函数，考查利用导数研究函数的单调性与极值及切线，与不等式结合考查恒成立问题【重点知识整合】导数的定义：设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即.注意：在定义式中，设，则，当趋近于时，趋近于，因此，导数的定义式可写成.导数的几何意义：导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度. 它的几何意义是曲线上点（）处的切线的斜率.因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为 注意：“过点的曲线的切线方程”与“在点处的切线方程”是不相同的，后者必为切点，前者未必是切点.导数的物理意义：函数在点处的导数就是物体的运动方程在点时刻的瞬时速度，即4几种常见函数的导数：(为常数)；()； ； ； ； . 5.求导法则：法则： ；法则： , ；法则： .6.复合函数的导数：设函数在点处有导数，函数在点的对应点处有导数，则复合函数在点x处也有导数，且 或 7.导数与函数的单调性函数在某个区间内有导数，如果，那么函数在这个区间上是增函数,该区间是函数的增区间；若，那么函数在这个区间上是减函数，该区间是函数的减区间.2.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:求;确定在内符号;若在上恒成立，则在上是增函数；若在上恒成立，则在上是减函数8. 导数与函数的极（最）值1.极大值： 一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作极大值，是极大值点.2.极小值：一般地，设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有就说是函数的一个极小值，记作极小值，是极小值点.3.极值：极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极xs大值或极小值可以不止一个.（）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而.（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.4.当在点连续时，判别是极大、极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值.5.求可导函数的极值的步骤:确定函数的定义区间，求导数；求方程的根；用函数的导数为的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么在这个根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 .9.函数的最大值和最小值: 一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值注意：在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值如函数在内连续，但没有最大值与最小值；函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.10.利用导数求函数的最值步骤:由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：求在内的极值；将的各极值与、比较得出函数在上的最值p.【应试技巧点拨】1.利用导数求切线问题中的“在”与“过”在解决曲线的切线问题时，利用导数求切线的斜率是非常重要的一类方法.在求解过程中特别注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的要切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个.因此在审题时应首先判断是“在”还是“过”.若“在”，利用该点出的导数为直线的斜率，便可直接求解；若“过”，解决问题关键是设切点，利用“待定切点法”,即：设点A（x,y）是曲线上的一点，则以A为切点的切线方程为yy=f,再根据题意求出切点.函数的导数在其单调性研究的作用：(1)当函数在一个指定的区间内单调时，需要这个函数的导数在这个区间内不改变符号(即恒大于或者等于零、恒小于或者等于零)，当函数在一个区间内不单调时，这个函数的导数在这个区间内一定变号，如果导数的图象是连续的曲线，这个导数在这个区间内一定存在变号的零点，可以把问题转化为对函数零点的研究(2)根据函数的导数研究函数的单调性，在函数解析式中若含有字母参数时要进行分类讨论，这种分类讨论首先是在函数的定义域内进行，其次要根据函数的导数等于零的点在其定义域内的情况进行，如果这样的点不止一个，则要根据字母参数在不同范围内取值时，导数等于零的根的大小关系进行分类讨论，最后在分类解决问题后要整合一个一般的结论在利用“若函数单调递增，则”求参数的范围时，注意不要漏掉“等号”利用导数研究函数的极值与最值：(1)确定定义域(2)求导数(3)若求极值，则先求方程的根，再检验在方程根左、右值的符号，求出极值(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内)若已知极值大小或存在的情况，则转化为已知方程根的大小或存在情况，从而求解求函数在上的最大值与最小值的步骤(1)求函数在内的极值；(2)将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.利用导数处理恒成立问题不等式在某区间的恒成立问题，可以转化为求函数在区间上的最值问题来解决，函数的最值问题的求解，利用求导分析函数单调性是常规途径，例如：为增函数（为减函数）.在区间上是增函数在上恒成立；在区间上为减函数在上恒成立.利用导数，如何解决函数与不等式大题在高考题的大题中，每年都要设计一道函数大题. 在函数的解答题中有一类是研究不等式或是研究方程根的情况，基本的题目类型是研究在一个区间上恒成立的不等式(实际上就是证明这个不等式)，研究不等式在一个区间上成立时不等式的某个参数的取值范围，研究含有指数式、对数式、三角函数式等超越式的方程在某个区间上的根的个数等，这些问题依据基础初等函数的知识已经无能为力，就需要根据导数的方法进行解决使用导数的方法研究不等式和方程的基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数因为导数的引入，为函数问题的解决提供了操作工具.因此入手大家比较清楚，但是深入解决函数与不等式相结合的题目时，往往一筹莫展.原因是找不到两者的结合点，不清楚解决技巧.解题技巧总结如下（1）树立服务意识：所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式.（2）强化变形技巧：所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.（3）巧妙构造函数：所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征，构造函数，利用函数的最值进行解决.在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验，体现一个“巧妙”.【考场经验分享】1利用导数讨论函数的单调性需注意的几个问题(1)确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点(3)注意在某一区间内(或)是函数在该区间上为增(或减)函数的充分条件2可导函数的极值(1)极值是一个局部性概念，一个函数在其定义域内可以有许多个极大值和极小值，在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系(2)若在内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值3.如果一个函数单调性相同的区间不止一个，这些区间之间不能用“”连接，只能用逗号或“和”字隔开，如把增区间写为“(，)(1，)”是不正确的，因为“(，)(1，)”不是一个区间，该函数在(，)(1，)上不是单调递增的利用导数解决不等式问题的类型：(1)不等式恒成立：基本思路就是转化为求函数的最值或函数值域的端点值问题(2)比较两个数的大小：一般的解决思路是把两个函数作差后构造一个新函数，通过研究这个函数的函数值与零的大小确定所比较的两个函数的大小(3)证明不等式：对于只含有一个变量的不等式都可以通过构造函数，然后利用函数的单调性和极值解决.函数的解答题，一般放在最后一道题的位置，难度较大，尤其是第二问，与不等式联系，是拉开分数的试题，故关于此题，要端正好心态，对于第一问一般不难，是学生必须带分的部分，做题要仔细，特别是与单调区间有关，首先要考虑定义域，另外，求导要准确，这是基础；对于第二问，往往需要通过不等式等价转化，构造函数，通过求导研究函数的单调性最值，然后达到证明不等式的基本模式.【名题精选练兵篇】1.【20xx届江苏省南师附中等四校高三联考】设，函数，其中是自然对数的底数，曲线在点处的切线方程为（1）求实数的值；（2）求证:函数存在极小值；（3）若，使得不等式成立，求实数的取值范围【解析】（1），由题设得：， （2）由（1）得，函数在是增函数，且函数图像在上不间断，使得， 结合函数在是增函数有：函数存在极小值 ，在内单调递增，结合（*）有，即实数的取值范围为2【20xx届湖北省龙泉中学等校高三9月联考】 定义在上的函数及二次函数满足: ,，且的最小值是.（）求和的解析式;（）若对于，均有成立，求实数的取值范围；（）设讨论方程的解的个数情况. ()设,依题意知:当时, ,在上单调递增, ，解得， 实数的取值范围是； () 图像解法：的图象如图所示: 令,则而有两个解, 有个解. 有个解. 代数解法：令,则3【20xx届陕西省西北工大附中高三第四次适应性考试】已知函数和直线（1）当曲线在点处的切线与直线垂直时，求原点到直线的距离；（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围；（3）求证：【解析】（1），于是，直线的方程为 原点到直线的距离为（3）由（2）知，当时，时，成立，不妨令，所以，累加可得，4【20xx届河南省洛阳市一中高三下学期第二次模拟】设函数为自然对数的底数.（1）若曲线在点 处的切线方程为，求实数的值；（2）当时，若存在 ，使成立，求实数的最小值. 当时，在上为减函数，则，故. 当时，由于在上的值域为.当时，在恒成立，故在上为增函数，于是，不合题意. 当即时，由的单调性和值域知，存在唯一使，且满足：当时，为减函数；当时，为增函数；所以，.所以，与矛盾. 综上得的最小值为.5【20xx届江苏盐城三模】已知函数（）.（1）若函数的最小值为，求的值；（2）设函数，试求的单调区间；（3）试给出一个实数的值，使得函数与的图象有且只有一条公切线，并说明此时两函数图象有且只有一条公切线的理由.（2）由题意，得，则，当时，函数在上单调递增； 当时，由，得或，综上所述，的单调区间如下：当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数的增区间为，减区间为与；当时，函数的增区间为，减区间为与.（3）符合题意. 理由如下：此时.设函数与上各有一点，则以点为切点的切线方程为，以点为切点的切线方程为，6【20xx届湖北省沙市中学高三下第三次半月考】设函数f(x)aln xx2bx(a1)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为0.（1）求b；（2）若存在x01，使得f(x0)，求a的取值范围【解析】（1）(x)(1a)xb.由题设知(1)0，解得b1，（2）f(x)的定义域为(0，)，由(1)知，f(x)aln xx2x，(x)(1a)x1(x1)（i）若a，则1，故当x(1，)时，(x)0，f(x)在(1，)上单调递增所以，存在x01，使得f(x0)的充要条件为f(1)，即1，解得1a1.7【20xx届河北省邯郸一中高三下第一次模拟】已知函数（1）若，求函数的最大值；（2）令，讨论函数的单调区间；（3）若，正实数满足，证明：【解析】（）因为，所以，此时，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，故当时函数有极大值，也是最大值，所以的最大值为 （2），所以当时，因为，所以所以在上是递增函数，当时，令，得，所以当时，当时，因此函数在是增函数，在是减函数综上，当时，函数的递增区间是，无递减区间；当时，函数的递增区间是，递减区间是 8【20xx届辽宁省沈阳东北育才学校高三二模】已知函数：.（）讨论函数的单调性；（）若对于任意的，若函数在区间上有最值，求实数的取值范围. 【解析】（）由已知得的定义域为，且 ， 当时，的单调增区间为，减区间为； 当时，的单调增区间为，无减区间；（）在区间上有最值，在区间上总不是单调函数，又9【20xx届青海省平安一中高三4月月考】已知函数有极小值.（1）求实数的值；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值.【解析】（1），令，令故的极小值为，得(2) 当时，令，令，故在上是增函数.由于存在,使得.则，知为减函数；知为增函数,又.10【20xx届河北省衡水中学高三下学期一模】设为实数，函数.（1）当时，求在上的最大值；（2）设函数当有两个极值点时，总有，求实数的值（为的导函数）.（2）由题意，知，则根据题意，方程有两个不同的实根，即，且，由其中，得所以上式化为又，所以不等式可化为，对任意的恒成立.当，不等式恒成立，；当时，恒成立，令函数显然是内的减函数，当，时，恒成立，即由，当，即11. 【林省实验中学20xx届高三第三次模拟】已知函数（）求的最大值；（）设，是曲线的一条切线，证明：曲线上的任意一点都不可能在直线的上方；（）求证：（其中e为自然对数的底数，nN*） （）由（）知在上恒成立，当且仅当时，等号成立，故当且时，有，又因为，所以，所以12【辽宁省朝阳市三校协作体20xx届高三下学期开学联考】设函数，其中.（1）当时，证明不等式；（2）设的最小值为，证明.13 【江西省九江市20xx年第一次高考模拟】设函数，（其中为自然对数的底数，且），曲线在点处的切线方程为.（1）求的值；（2）若对任意，与有且只有两个交点，求的取值范围.【解析】（1）由，得，由题意得， ，；14【湖南省怀化市20xx届高三上学期期中】已知函数 ()求函数在点处的切线方程；()求函数单调递增区间；()若存在,使得是自然对数的底数),求实数的取值范围.【解析】（）因为函数,所以,又因为,所以函数在点处的切线方程为()由,.令，则，所以当时, 在上是增函数，又,所以不等式的解集为，故函数的单调增区间为；（）因为存在,使得成立,而当时, 所以只要即可.又因为,的变化情况如下表所示:减函数极小值增函数15. 【湖北省黄冈市20xx届高三上学期元月调研】已知函数，其中（）若函数有极值，求实数的值；（）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围；（）证明：【解析】（），当时，递减，无极值；当时，令，得，递增，；（）上是增函数，恒成立，时，恒成立，当时，等价于，设递增，故的取值范围是； 16. 【河南省信阳市20xx届高中毕业班第二次调研】已知函数(a为常数)，曲线yf(x)在与y轴的交点A处的切线斜率为1.()求a的值及函数f(x)的单调区间；()证明：当时，；()证明：当时，.【解析】（）由，得. 又，.，. 由，得. 函数在区间上单调递减，在上单调递增. ()证明：由（）知. ，即，. 令，则. 在上单调递增， . ()首先证明：当时，恒有. 令，则. 由()知，当时，所以，所以在上单调递增， ，所以. ，即. 依次取，代入上式，则 ， ， ， . 以上各式相加，有， ， ， 即【名师原创测试篇】1已知函数（aR）， () 求函数的单调区间； ()已知当时，求证：当时，不等式成立2. 设，且()是否为的极值点？如果是，并求a；()若在上恒成立，求实数a的取值范围；() 使得成立，求的最小值【解析】()由已知，则，令解得a=2， 当时，当时，所以在上单调递增， ，故为的极值点 ；()由，从而在上单调递增，当时，所以在上单调递增，符合题意 ，当时，在上单调递增，且，所以存在，当时，当时，即在递减，在，递增，所以时，不符合题意，综上 ；() ，由()知在上单调递增， 所以，故的最小值为3.3. 已知函数为奇函数.（）若，求函数的解析式；（）当时，不等式在上恒成立，求实数的最小值；（）当时，求证：函数在上至多一个零点.（）证明：，设任取任意实数，因为，所以，因为，所以，所以，又因为，所以，即，所以函数在单调递减，又，结合函数图象知函数在上至多有一个零点.4. 已知函数 .（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在上的最小值是，求的值. 5. 已知函数（）()若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；（）设，（）是图象上的任意两点，若，使得，求证： 【解析】()，由已知得在恒成立，则，即，因为，所以，实数的取值范围是6. 设函数.（）若函数在定义域上为增函数，求实数的取值范围；（）在（）的条件下，若函数，使得成立，求实数的取值范围.【解析】函数的定义域为 （）在其定义域内为增函数，即在上恒成立，恒成立，故有， （当且仅当时取等号），故的取值范围为 （）由使得成立，可知时， ，所以当时，在上单调递增，最小值为 由（）
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