高考理科导学案【第七章】不等式、推理与证明 学案36

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+2019年数学高考教学资料+学案36基本不等式及其应用导学目标: 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题自主梳理1基本不等式(1)基本不等式成立的条件:_.(2)等号成立的条件:当且仅当_时取等号2几个重要的不等式(1)a2b2_ (a,bR)(2)_(a,b同号)(3)ab2 (a,bR)(4)2_.3算术平均数与几何平均数设a0,b0,则a,b的算术平均数为_,几何平均数为_,基本不等式可叙述为:_.4利用基本不等式求最值问题已知x0,y0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当_时,xy有最_值是_(简记:积定和最小)(2)如果和xy是定值p,那么当且仅当_时,xy有最_值是_(简记:和定积最大)自我检测1“ab0”是“ab”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2(2011南平月考)已知函数f(x)x,a、b(0,),Af,Bf(),Cf,则A、B、C的大小关系是()AABC BACBCBCA DCBA3下列函数中,最小值为4的函数是()AyxBysin x(0x)Cyex4exDylog3xlogx814(2011大连月考)设函数f(x)2x1(x0,a恒成立,则a的取值范围为_探究点一利用基本不等式求最值例1(1)已知x0,y0,且1,求xy的最小值;(2)已知x0,b0,ab2,则y的最小值是()A. B4C. D5探究点二基本不等式在证明不等式中的应用例2已知a0,b0,ab1,求证:(1)(1)9.变式迁移2已知x0,y0,z0.求证:8.探究点三基本不等式的实际应用例3(2011镇江模拟)某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层2 000平方米的楼房经测算,如果将楼房建为x(x10)层,则每平方米的平均建筑费用为56048x(单位:元)(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式;(2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少?最少值是多少?(注:平均综合费用平均建筑费用平均购地费用,平均购地费用)变式迁移3(2011广州月考)某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3x与t1成反比例,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件,已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完(1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大?(注:利润销售收入生产成本促销费,生产成本固定费用生产费用)1a2b22ab对a、bR都成立;成立的条件是a,bR;2成立的条件是ab0,即a,b同号2利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件,并且和为定值时,积有最大值,积为定值时,和有最小值3使用基本不等式求最值时,若等号不成立,应改用单调性法一般地函数yax,当a0,b0时,函数在(,0),(0,)上是增函数;当a0时,函数在(,0),(0,)上是减函数;当a0,b0时函数在,上是减函数,在,上是增函数;当a0,b0,b0,若是3a与3b的等比中项,则的最小值为()A8 B4 C1 D.2(2011鞍山月考)已知不等式(xy)9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为()A2 B4 C6 D83已知a0,b0,则2的最小值是()A2 B2 C4 D54一批货物随17列货车从A市以a km/h的速度匀速直达B市,已知两地铁路线长400 km,为了安全,两列车之间的距离不得小于2 km,那么这批货物全部运到B市,最快需要()A6 h B8 h C10 h D12 h5(2011宁波月考)设x,y满足约束条件,若目标函数zaxby (a0,b0)的最大值为12,则的最小值为()A. B. C. D4二、填空题(每小题4分,共12分)6(2010浙江)若正实数x,y满足2xy6xy,则xy的最小值是_7(2011江苏)在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的一条直线与函数f(x)的图象交于P,Q两点,则线段PQ长的最小值是_8已知f(x)32x(k1)3x2,当xR时,f(x)恒为正值,则k的取值范围为_三、解答题(共38分)9(12分)(1)已知0x0)(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大?最大车流量为多少?(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时,则汽车的平均速度应控制在什么范围内?11(14分)某加工厂需定期购买原材料,已知每千克原材料的价格为1.5元,每次购买原材料需支付运费600元,每千克原材料每天的保管费用为0.03元,该厂每天需要消耗原材料400千克,每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管)(1)设该厂每x天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式;(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小,并求出这个最小值学案36基本不等式及其应用自主梳理1(1)a0,b0(2)ab2.(1)2ab(2)2(4)3.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4.(1)xy小2(2)xy大自我检测1A2.A3.C4大215.,)课堂活动区例1解题导引基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化,使用基本不等式求最值时,给定的形式不一定能直接适合基本不等式,往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式),构造出基本不等式的形式再进行求解基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”,“三相等”就是必须验证等号成立的条件解(1)x0,y0,1,xy(xy)1061016.当且仅当时,上式等号成立,又1,x4,y12时,(xy)min16.(2)x0.y4x232 31,当且仅当54x,即x1时,上式等号成立,故当x1时,ymax1.(3)由2x8yxy0,得2x8yxy,1.xy(xy)101021022 18,当且仅当,即x2y时取等号又2x8yxy0,x12,y6.当x12,y6时,xy取最小值18.变式迁移1Cab2,1.()()()2(当且仅当,即b2a时,“”成立),故y的最小值为.例2解题导引“1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到,也会给解决问题提供简捷的方法在不等式证明时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转化是否有误的一种方法证明方法一因为a0,b0,ab1,所以112.同理12.所以(1)(1)(2)(2)52()549.所以(1)(1)9(当且仅当ab时等号成立)方法二(1)(1)111,因为a,b为正数,ab1,所以ab()2,于是4,8,因此(1)(1)189(当且仅当ab时等号成立)变式迁移2证明x0,y0,z0,0,0,0.8.当且仅当xyz时等号成立所以()()()8.例3解题导引1.用基本不等式解应用题的思维程序为:2在应用基本不等式解决实际问题时,要注意以下四点:(1)先理解题意,设变量,一般把要求最值的变量定为函数;(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数最值问题;(3)在定义域内求函数最值;(4)正确写出答案解(1)依题意得y(56048x)56048x (x10,xN*)(2)x0,48x21 440,当且仅当48x,即x15时取到“”,此时,平均综合费用的最小值为5601 4402 000(元)答当该楼房建造15层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值为2 000元变式迁移3解(1)由题意可设3x,将t0,x1代入,得k2.x3.当年生产x万件时,年生产成本年生产费用固定费用,年生产成本为32x3323.当销售x(万件)时,年销售收入为150%t.由题意,生产x万件化妆品正好销完,由年利润年销售收入年生产成本促销费,得年利润y (t0)(2)y5050250242(万元),当且仅当,即t7时,ymax42,当促销费投入7万元时,企业的年利润最大课后练习区1B因为3a3b3,所以ab1,(ab)2224,当且仅当即ab时,“”成立2B不等式(xy)9对任意正实数x,y恒成立,则1aa219,2或4(舍去)正实数a的最小值为4.3C因为22224,当且仅当且 ,即ab1时,取“”号4B第一列货车到达B市的时间为 h,由于两列货车的间距不得小于2 km,所以第17列货车到达时间为8,当且仅当,即a100 km/h时成立,所以最快需要8 h5A618解析由x0,y0,2xy6xy,得xy26(当且仅当2xy时,取“”),即()2260,(3)()0.又0,3,即xy18.故xy的最小值为18.74解析过原点的直线与f(x)交于P、Q两点,则直线的斜率k0,设直线方程为ykx,由得或P(,),Q(,)或P(,),Q(,)|PQ|24.8(,21)解析由f(x)0得32x(k1)3x20,解得k13x,而3x2,k12,k21.9解(1)0x,03x4.x(43x)(3x)(43x)2,(4分)当且仅当3x43x,即x时,“”成立当x时,x(43x)的最大值为.(6分)(2)已知点(x,y)在直线x2y3上移动,x2y3.2x4y2224.(10分)当且仅当即x,y时,“”成立当x,y时,2x4y的最小值为4.(12分)10解(1)y11.08.(4分)当v,即v40千米/小时时,车流量最大,最大值为11.08千辆/小时(6分)(2)据题意有10,(8分)化简得v289v1 6000,即(v25)(v64)0,所以25v64.所以汽车的平均速度应控制在25,64这个范围内(12分)11解(1)每次购买原材料后,当天用掉的400千克原材料不需要保管费,第二天用掉的400千克原材料需保管1天,第三天用掉的400千克原材料需保管2天,第四天用掉的400千克原材料需保管3天,第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x1)天每次购买的原材料在x天内总的保管费用y14000.03123(x1)6x26x.(6分)(2)由(1)可知,购买一次原材料的总费用为6x26x6001.5400x,购买一次原材料平均每天支付的总费用为y(6x26x600)1.54006x594.(9分)y2594714,(12分)当且仅当6x,即x10时,取等号该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最小,且最小为714元(14分)高考数学复习精品高考数学复习精品
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