医用物理学：第一章刚体力学

第一章 刚体力学11-4 1-4 转动定律转动定律1-11-1 质点力学基础质点力学基础1 1- -3 3 转动动能转动动能 转动惯量转动惯量1-51-5 角动量守恒定律角动量守恒定律1-21-2 刚体的转动刚体的转动1-1质点力学基础一、描述质点运动的基本物理概念一、描述质点运动的基本物理概念 21.1.质点质点只有质量没有大小和形状的几何点，只有质量没有大小和形状的几何点，理想化力学模型理想化力学模型2.2.参考系参考系 描述某物体运动时，用来作参考的另描述某物体运动时，用来作参考的另一物体或物体系统一物体或物体系统3.3.坐标系坐标系 用来定量地确定质点的位置，描述其用来定量地确定质点的位置，描述其运动运动4.4.位置矢量位置矢量用来确定质点在空间的位置用来确定质点在空间的位置rxiyjzk一、描述质点运动的基本物理概念一、描述质点运动的基本物理概念35.5.位移位移描述质点空间位置的变化，同时表示描述质点空间位置的变化，同时表示了质点空间位置变化的距离和方向了质点空间位置变化的距离和方向12rrrk k) )z z(z(zj j) )y y(y(yi i) )x x(x(x1 12 21 12 21 12 2kzjyix6.6.速度速度描述质点位置变化的快慢和方向描述质点位置变化的快慢和方向ttrttrtrv)()(平均dtrdtrvt0lim47.7.加速度加速度描述质点速度变化的快慢和速度变化描述质点速度变化的快慢和速度变化的方向的方向tva平均220dtrddtvdtvatlim8.8.运动方程运动方程 位置矢量与时间的函数关系位置矢量与时间的函数关系)(trr5例题例题1 1已知一质点是在已知一质点是在OXOX轴线上运动且满轴线上运动且满足运动方程足运动方程 ，求第求第2 2秒内的平均速度，第秒内的平均速度，第2 2秒末的速秒末的速度和加速度度和加速度)(mttx3612623解：解：)()()(mxxxxx630361212smtxv/6ttdtdxv2418224m/sv2st时，当243622tdtxda2482smast/时，当6二、牛顿运动定律二、牛顿运动定律 1.1.牛顿第一定律牛顿第一定律任何物体都有惯性（惯性定律）任何物体都有惯性（惯性定律）力的作用改变物体的运动状态力的作用改变物体的运动状态2.2.牛顿第二定律牛顿第二定律 物体受到合外力物体受到合外力F的作用，所获的作用，所获得的加速度大小与得的加速度大小与F成正比与物成正比与物体质量体质量m成反比成反比22dvd rFmammdtdt3.3.牛顿第三定律牛顿第三定律作用力与反作用力原理作用力与反作用力原理71-2 刚体的定轴转动1.1.刚体刚体 定轴转动定轴转动刚体：刚体：在任何情况下物体的形状和大小都不变在任何情况下物体的形状和大小都不变化，各部分之间的距离保持不变。化，各部分之间的距离保持不变。定轴转动：定轴转动：运动中各质元均作圆周运动，且各运动中各质元均作圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（圆心都在同一条固定的直线（转轴转轴）上。）上。一、角量与线量的关系一、角量与线量的关系刚体的平动：刚体在运动过程中，刚体上任意两点的连线始终与初始位置平行。82.2.角位移角位移 角速度角速度 角加速度角加速度角坐标（角位置）角坐标（角位置）( ) t()( )ttt 角位移角位移可表达为可表达为 单位：弧度（单位：弧度（rad）AAPr vOx 9角速度角速度t平均角速度平均角速度0dlimdttt （瞬时）（瞬时）角速度角速度单位：单位：rad.s-1-1* *刚体刚体匀速匀速转动时：转动时：tAAPr vOx10转向转向* *角速度方向的规定：角速度方向的规定：沿瞬时沿瞬时轴，与转向成右螺旋关系。轴，与转向成右螺旋关系。* *通常规定逆时针方向转动的通常规定逆时针方向转动的角速度为正，顺时针方向转角速度为正，顺时针方向转动的角速度为负。动的角速度为负。11角加速度角加速度t平均角加速度平均角加速度220ddlimddtttt （瞬时）（瞬时）角加速度：角加速度：单位：单位：rads-2-2* *刚体刚体匀变速匀变速转动时：转动时：0t123.3.角量与线量的关系角量与线量的关系定轴转动的刚体上所有质元定轴转动的刚体上所有质元都在作半径不等的圆周运动；都在作半径不等的圆周运动；各质元作圆周运动的角量相同，各质元作圆周运动的角量相同，线量各不相同。线量各不相同。数学关系：数学关系：vrtar22nvarr线量线量角量角量sr AAPr vOx130220001221ttssv tat00vvatt转动转动平动平动220220002 ()2a()vvs s 转动与平动运动方程的对比（转动与平动运动方程的对比（匀变速匀变速）：）：14二、转动动能和转动惯量1.1. 刚体定轴转动的动能刚体定轴转动的动能刚体可看作由许多质元构成的质点系：刚体可看作由许多质元构成的质点系：222k1 122111222nnEmvm vm v2222221 12 2111222n nm rm rm r22112ni iimr15定义转动惯量：定义转动惯量：21ni iiImr刚体的转动动能：刚体的转动动能：2k12EI22k112ni iiEmr162.2.刚体对转动轴的转动惯量：刚体对转动轴的转动惯量：2i iiImr若质量若质量离散离散分布分布若质量若质量连续连续分布分布2dIr m转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即与刚体与刚体的形状、大小、质量分布以及转轴的位置有关的形状、大小、质量分布以及转轴的位置有关。转动惯量是反映刚体转动惯量是反映刚体转动惯性转动惯性的量度。的量度。17 有一有一质量为质量为m，长为长为L的均匀细棒，求它的均匀细棒，求它通过一端及中心的垂直转轴的转动惯量。通过一端及中心的垂直转轴的转动惯量。ABLxABL/2L/2Cx例题18ABLxABL/2L/2Cx解：建立坐标解：建立坐标( (如图如图) )，取微元，取微元22221d12LLCmIxxmLL2201d3LAmIxxmLLdddmmxxL可以看出：可以看出： 同一刚体对不同的转轴转动惯量也不同。同一刚体对不同的转轴转动惯量也不同。得连续分布刚体的转动惯量得连续分布刚体的转动惯量19例题：求质量为例题：求质量为m，半径为半径为R均匀圆盘的转动惯均匀圆盘的转动惯量，轴与盘平面垂直并通过盘心。量，轴与盘平面垂直并通过盘心。解：解：圆盘的质量面密度为圆盘的质量面密度为d2 dmr r23dd2dIrmr r30d2 dRIIr r2mRRrdr212mR412R取半径为取半径为r，宽为宽为dr的薄圆环的薄圆环202ImRRO212ImR质量均匀的薄圆环对不同转轴的转动惯量：质量均匀的薄圆环对不同转轴的转动惯量：可见：给出可见：给出转动惯量时必须指出转轴的位置。转动惯量时必须指出转轴的位置。21mR质量均匀的空心球壳质量均匀的空心球壳质量均匀的实心球体质量均匀的实心球体223ImR225ImR可知：可知：转动惯量还与物体的转动惯量还与物体的质量分布质量分布有关。有关。22试比较该花样滑冰运动员两种姿势的转动惯量。试比较该花样滑冰运动员两种姿势的转动惯量。23三、力矩和转动定律1.1.力矩的矢量定义力矩的矢量定义MrFsinMFrFlsinlr其中：其中： 称为称为力臂力臂大小：大小：方向：方向：右手螺旋定则右手螺旋定则（伸出右手，拇指与四指（伸出右手，拇指与四指垂直，四指由径矢方向经小于垂直，四指由径矢方向经小于180180的角度转到力的角度转到力的方向，拇指的方向即为力矩的方向）的方向，拇指的方向即为力矩的方向）单位：单位：N mMFrOPl242.2.转动定律转动定律dcosdAFrcosdF rdFldM由动能定理可得：力矩对刚体所做的功由动能定理可得：力矩对刚体所做的功等于刚体动动能的增加等于刚体动动能的增加2k1dd()d()2MEI刚体在力刚体在力 作用下绕轴转过作用下绕轴转过 , ,该力的功该力的功 dFFr ddrlOPF1 25ddMIIt当刚体的转动惯量不变时当刚体的转动惯量不变时刚体的转动定律刚体的转动定律MI或：或：Fr ddrlOPF1 2k1dd()d()2MEI26例题 跳水运动员跃离跳板向前空翻三圈，经跳水运动员跃离跳板向前空翻三圈，经2 2s后后达到最高点，在该点的转动角速度为达到最高点，在该点的转动角速度为7.557.55rads-1-1，他的体重为他的体重为6565kg，设曲体后其转动惯量与实心圆设曲体后其转动惯量与实心圆柱体绕中心转轴的转动惯量相同（柱体绕中心转轴的转动惯量相同（ ），），有有效半径为效半径为3030cm，求求:(1):(1)平均转动力矩；平均转动力矩；（2 2）在最）在最高点的高点的转动动能。转动动能。212Imr27 解：将运动员的转动看作匀变速转动，则平均解：将运动员的转动看作匀变速转动，则平均角加速度为角加速度为0t17.550rad s213.78rad s对应的转动惯量为对应的转动惯量为212Imr222165 0.3 kg m2.93kg m2由转动定律可得由转动定律可得MI2.93 3.78N m 11N m2k12EI在最高点的在最高点的转动动能转动动能为为212.93 7.55 J83.2J228例题 一根轻绳跨过一个半径为一根轻绳跨过一个半径为r，质量为，质量为m0的的定滑轮，绳的两端分别系有质量为定滑轮，绳的两端分别系有质量为m1 1和和m2 2的物的物体体 ，如图所示。假设绳不能伸长，并忽略轴的如图所示。假设绳不能伸长，并忽略轴的摩擦，绳与滑轮也无相对滑动。求：定滑轮转动摩擦，绳与滑轮也无相对滑动。求：定滑轮转动的角加速度和绳两端的张力。的角加速度和绳两端的张力。m2 2m1 1m029m2 2m1 1m0m1 1gFT1T1am2 2gFT2T2aFT2T2FT1T1解：分别对物体和滑轮进行解：分别对物体和滑轮进行受力分析，如图受力分析，如图对对m2 21T11m gFm aT222Fm gm a对对定滑轮定滑轮对对m1 12T1T2012F rF rm r且有且有: :ar30联立方程，可得联立方程，可得12012()()2mm gmmmr0121T1012(2)22mmmmgFmmm0122T2012(2)22mmmmgFmmm31四、刚体的角动量1.1.质点对定点的角动量质点对定点的角动量质点在该圆周上某一点的动量与径矢的质点在该圆周上某一点的动量与径矢的乘积乘积叫做质点对该点的角动量叫做质点对该点的角动量2LmvrmrLri miviO * *角动量是矢量，与角速度方向一致。角动量是矢量，与角速度方向一致。2.2.刚体（质点系）定轴转动的角动量刚体（质点系）定轴转动的角动量i i iiLmvr2()i iimrLI 32冲量矩冲量矩3.3.转动定律的角动量陈述转动定律的角动量陈述ddMIItd()dItddLt微分形式：微分形式：ddM tL或：或：积分形式：积分形式：ddM tL4.4.角动量守恒定律角动量守恒定律: :0MI，恒 量例题 一转台绕竖直轴转动，每分钟转一周，转台对一转台绕竖直轴转动，每分钟转一周，转台对轴的转动惯量为轴的转动惯量为 ，质量为，质量为80kg80kg的人，开的人，开始站在台的中心，随后沿半径向外跑去，问当人始站在台的中心，随后沿半径向外跑去，问当人离转台中心离转台中心2m2m时，转台的角速度是多少？时，转台的角速度是多少？3321200kg m解：人在中心时的角速度解：人在中心时的角速度02/60rads222=1200kgm =mr =320kgmII人台0+III人台台根据角动量守恒 0=/+38Irad sII台人台质点的直线运动公式质点的直线运动公式（刚体的平动）（刚体的平动）刚体的定轴转动公式刚体的定轴转动公式速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度匀速直线运动匀速直线运动匀变速直线运动匀变速直线运动匀角速转动匀角速转动匀变速转动匀变速转动34drvdtdvadt0 xxvt02002200122 ()vvatxxv tatvva xx35质点的直线运动公式质点的直线运动公式（刚体的平动）（刚体的平动）刚体的定轴转动公式刚体的定轴转动公式力力F F，质量，质量mm牛顿第二定律牛顿第二定律力矩力矩M, M, 转动惯量转动惯量 I I转动定律转动定律动量动量mvmv, ,冲量冲量 （恒力）；（恒力）；动量原理动量原理角动量角动量 冲量矩冲量矩 角动量原理角动量原理 动量守恒定律动量守恒定律平动动能平动动能恒力的功恒力的功动能定理动能定理角动量守恒定律角动量守恒定律转动动能转动动能恒力矩的功恒力矩的功动能定理动能定理FmaF t0F tmvmv mv 恒量212kEmvAFs222111-22Amvmv质点的直线运动公式质点的直线运动公式（刚体的平动）（刚体的平动）刚体的定轴转动公式刚体的定轴转动公式速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度匀速直线运动匀速直线运动匀变速直线运动匀变速直线运动匀角速转动匀角速转动匀变速转动匀变速转动36drvdtddtdvadtddt0 xxvt0t02002200122 ()vvatxxv tatvva xx02002200122()ttt 37质点的直线运动公式质点的直线运动公式（刚体的平动）（刚体的平动）刚体的定轴转动公式刚体的定轴转动公式力力F F，质量，质量mm牛顿第二定律牛顿第二定律力矩力矩M,M,转动惯量转动惯量I I转动定律转动定律动量动量mvmv, ,冲量冲量 （恒力）；（恒力）；动量原理动量原理角动量角动量 冲量矩冲量矩 角动量原理角动量原理 动量守恒定律动量守恒定律平动动能平动动能恒力的功恒力的功动能定理动能定理角动量守恒定律角动量守恒定律转动动能转动动能恒力矩的功恒力矩的功动能定理动能定理FmaMIF tIM t0F tmvmv 00M tII mv 恒量=I恒量2/2mv2/2IAFsAM222111-22Amvmv22211122AII