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1.2集合间的基本关系核心知识目标核心素养目标1. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集.2. 在具体情境中，了解空集的含义.3. 会判断集合间的基本关系.4. 能使用Venn图表达集合间的基本关系.1. 通过对集合间基本关系的学习，达成数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.2. 通过Venn图的应用，发展直观想象的核心素养.显)知识探究-素养启迪知识探究1. 子集的概念问题1下面给出的两对集合，集合A中的元素都是集合B中的元素吗？(1) A=(0,l,2),B=(0,1,2,3;(2) A=(x|xl,B=(x|xl.提小:是的.梳理1子集(1)定义:一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,称集合A为集合B的子集.对于两个集合是用列举法或描述法（元素个数有限）表示的集合间的I关系,常转化为方程（组）求解，注意所求参数要满足集合中元素互异I性，若含参数的集合是一个给定集合的子集时,还要注意空集是任何集合子集的特殊情况，如本例中k=0,若忽视，则丢解.探究角度2求参数范围:例5已知集合A=（x|x3;当B云时，根据题意作出如图所示的数轴，I11.laa+3-1X4x可得薯3己、或解得a-4,或2a2.变式训练5-1把集合A换成“A=x|Tx2”，集合B不变，求ACB时，实数a的取值范围.解：因为A二x|-Kx2,B=x|2aWxWa+3.若AWB,如图，2a-12a+3刀所以哗;2,所以实数a的取值范围为al-lWaW-：.变式训练5-2本例中，若将B改为B=(x12ax3,42a+32a)2a4.42a+32a)2a4.当B尹时,根据题意作出如图所示的数轴,可得:I;皓或f解得aW-4或2Wa3.综上,可得实数a的取值范围为a|aW-4或aN2.即时训练5-1:已知A=(x|x3,B=(x|xa).若BCA,求实数a的取值范围;若AWB,求实数a的取值范围.解：因为BWA,B是A的子集，由图得aW3.a3图因为AcB,A是B的子集,由图得aN3.3ax图寸方法总结由含参数的连续数集之间的子集、真子集关系求参数取值范围时常利用数轴法求解，若含参数的集合是确定集合的子集或真子集时，应考虑该集合为空集的特殊情况，并且要注意验证参数的端点值是否满足题意.题备用例题当m-230,即m2时,A公。，由A(B可知1WA或26A: 当16A时，由l-2m+m2-m+2=0可知m2-3m+3=0,该方程无实数解，不成立；当2EA时，由4-4m+m2-m+2=0可知m2-5m+6=0,解得m=2或m二3,而且m二2时,A=2,满足题意,m=3时,A=(2,4,不满足题意.综上可知,m的取值范围是n)|mW2.1. 已知全集U=R,则能表示集合M=-1,0,1)DN=(x|x2+x=0)的关系的韦恩图是(B)解析:x2+x=0的解为T和0,因此集合N是集合M的真子集，故选B.2. (多选题)下列说法中正确的是(BD)空集没有子集(A) 任何集合至少有一个子集空集是任何集合的真子集(B) 若0呈A,则A乂解析:空集的子集是本身且空集只有一个子集，因此A错误;B正确；由于空集是任何非空集合的真子集，因此C错误;D正确.3. 用“呈”或“邈”填空:(DZN;ZQ;QN;RQ.答案：邈呈邈(4)邈若x|xNac(x|xNT,则实数a的取值范围是符号表示:AGB(或BPA).读作“A包含于B”(或“B包含A”).(2) Venn图表示CE)性质 任何一个集合都是它本身的子集，即AUA. 对于集合A,B,C,如果ACB,且BCC,那么AC.2. 集合的相等实例观察下面两个例子：(1) 设C=(x|x是两条边相等的三角形,D=x|x是等腰三角形；C=(1,5,6),D=(6,5,1).问题2-1你能发现两个集合间有什么关系吗？提示：中集合C,D的元素相同，即集合C中任何一个元素都是集合D中的元素，同时，集合D中任何一个元素也都是集合C中的元素.问题2-2与实数中的结论“若aNb,且b，a,则a=b”相类比，在集合中,你能得出什么结论？提示:若两个集合互为子集，则这两个集合相等.梳理2集合相等定义:一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等.也就是说，若ACB,且BWA,则AB.(2) 符号表示:A二B.(3)Venn图表示:4(B)(4)性质:对于集合A,B,C,如果A二B,且B二C,那么AC.3. 真子集的概念问题3对于问题1中给出的两对集合，集合B中的元素都是集合A中的元素吗？提示:不全是.梳理3真子集定义:如果集合AWB,但存在元素xGB,且xA,则称集合A是集合B的真子集.符号表示:A呈B(或B呈A)读作“A真包含于B”(或“B真包含A”).(3) Venn图表示性质：对于集合A,B,C,如果AB,且B呈C,那么A呈C.4. 空集问题4集合A=(x|x-1且x3中有多少个元素？提示:0个.梳理4空集定义:不含任何元素的集合,叫做空集.(1) 符号表示:g.规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.小试身手下列关于0的说法正确的是(D)(A)Oe0(B)0e0(0(Oc0(D)0CO解析：0是不含任何元素的集合，所以0任,00,故选D.1. 集合x|x=l的子集有个.答案：2(人教A教材P8练习T2改编)用“顿“呈，“呈，或“二，填空：(1) 55;a,b,c(a,c;(2) (1,2,33,2,1);00.答案：E呈二呈集合A=(x|x=3m-l,meN)和B=(x|x=3m+2,meN之间的关系是.解析：由A二析1,2,5,8,B=(2,5,8,),知BA.答案:B0点曝堂蹇更.素鑫姓宣/-EQ探究点一子集与真子集的概念探究角度1子集的列举、子集个数例1已知集合M=(x|x2且x6N,N=(x|-2x2且xZ.(1) 写出集合M的子集、真子集；求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数.解:M=(x|x2且xEN=0,1,N=(x|-2x2,且xEZ)=(-1,0,1).(1) 所以M的子集为0,0,1,0,1;其中真子集为o,0,1.(2) N的子集为o,(-1),0,1,(-1,0,(-1,1,(0,1),(-1,0,1).所以N的子集数为8,真子集数为7,非空真子集数为6.即时训练1-1：已知集合M满足1,22,3,4,5),写出集合M所有的可能情况.解：由题意可以确定集合M必含有元素1,2,且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有3个元素:1,2,3,1,2,4,1,2,5;含有4个元素:(1,2,3,4,1,2,3,5),1,2,4,5;含有5个元素：(1,2,3,4,5.故满足条件的集合M为1,2,3,(1,2,4,1,2,5,1,2,3,4,1,2,3,5,1,2,4,5,(1,2,3,4,5).寸方法总结写一个集合的子集时，可按子集中元素的个数多少分类写出，注意要做到不重不漏.(1) n个元素的集合，其子集、真子集的个数讨论： 0的子集只有1个. &的子集有2个. a,b的子集有4个. a,b,c的子集有8个.含有n个元素的集合M有2。个子集，有(21)个非空子集，有(2。-1)个真子集有(22)个非空真子集.多易错警示写一个集合的子集时，不要忘记|。|和其本身.探究角度2集合间关系的判断例2写出下列各对集合之间的关系：(1) A=(x|-lx4,B=(x|x-50;A=(x|x=2n,nZ),B=(y|y=k+2,k6Z;(2) A=(x|x=k+-,kEZ,B二x|x=2k+-,kEZ.2i解：集合B=(x|x-2-1012345式当k,n取整数时,A二,-4,-2,0,2,4,6,B二，-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,故A呈B.(1) 集合A中,x二k+手号(kez),因此kEZ时,2k+l是奇数;集合B中，x=2k+i=(kez),因此kZ时,4k+l只表示部分奇数，故B呈A.即时训练2-1:写出下列每对集合之间的关系：A=1,2,3,4,5,B=1,3,5;(2)Ox|xl,D=x|x|二1;(2) E=-1,1,F=(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1);G=等腰三角形,H=等边三角形.解：因为B的每个元素都属于A,而4A且4B,所以B呈A.因为C和D包含的元素都是1和T,所以C二D.(3) 集合E的代表元素是数，集合F的代表元素是实数对，因此两集合之间无包含关系.(4) 由于等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故G邈H.寸方法总结判断两个集合间的关系时,首先要明确集合的元素特征，分析集合的元素之间的关系，然后根据以下方法判断：(1) 直接法:首先判断一个集合A中的任意一个元素是否属于另一个集合B.若是，则AWB,否则A不是B的子集.其次通过判断另一个集合B中的任意一个元素是否属于集合A来判断它们之间的真子集关系.(2) 对于用列举法表示的集合，只需要观察其元素即可知道它们之间的关系.(3) 对于用描述法表示的集合，要从所含元素的特征来分析;若集合之间可以统一形式，则需要统一形式后判断.(4) 而对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍.三。探究点二集合相等例3己知A=1,x,2x),B=(l,y,y2),若AWB,且AW,求实数x和y的值.解：由AcB,且A2B知,A=B.由集合相等的概念可得g2了21解方程组得X=0,y=0,我或=2,乙，41V=-.】2当x二0,y=0时,A二1,0,0,B二1,0,0不符合集合中元素的互异性，舍去.所以x=2,y=2或x=iy三.42即时训练3-1:设集合A二x,y),B二(0,x2),若A=B,求实数x,y的值.解：因为集合A,B相等，所以x=0或y=0.当x=0时,X?=0,则B=0,0),不满足集合中元素的互异性，故舍去.(2)当y=0时,x=x2,解得x=0或x=l.由(1)知x=0应舍去.综上知，x=l,y=0.寸方法总结根据集合相等求参数,首先分析一个集合中元素与另一集合中哪个元素相等，分几种情况进行讨论，然后通过列方程(组)求解.当集合丽未知元素不止一个时，情况会更复杂,需要多次讨论.求出参数后要根据集合中元素的互异性进行检验,排除不合要求的解.三Q探究点三根据集合间的关系求参数值或取值范围探究角度1求参数值例4集合A=(x|x2=4,xGR,集合B=x|kx二4,xR,若BWA,则实数k=.解析:A=(x|x2=4,xR二-2,2.因为BWA,所以B=0,B=2,B=(-2,B=(-2,2.因为方程kx二4最多有一个实数根或无根，因此分类讨论如下：当B二。时，方程kx=4无实根，所以k=0;当B二2时，则2是方程kx=4的实根，故2k二4nk二2;当B二-2时，则-2是方程kx=4的实根，故-2k二4nk二-2.综上可知实数k=0,2,-2.答案：0,2,-2即时训练4T:已知集合A二1,3,何,B二1,m,BWA,则m等于()(A)0或必(B)0或3(C)1或必或)1或3解析：因为BWA,所以m二3或若m=3,则A=1,3,V3),B=(1,3,满足BWA.若m=y/m,解得m=0或m二1. 若m二0,则A二1,3,0,B二1,0,满足BWA;若m=1,则A,B不满足集合中元素的互异性，舍去.综上,m=0或m=3,故选B.寸方法总结
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