新编全国通用高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题4 函数与方程、函数的应用含解析

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【走向高考】(全国通用)20xx高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题4 函数与方程、函数的应用一、选择题1若x0是方程xx的解,则x0属于区间()A.B.C. D.答案C解析令f(x)xx,f(1)10,f0,f0,f(x)在区间内有零点2利民工厂某产品的年产量在150t至250t之间,年生产的总成本y(万元)与年产量x(t)之间的关系可近似地表示为y30x4000,则每吨的成本最低时的年产量为()A240B200C180D160答案B解析依题意得每吨的成本是30,则23010,当且仅当,即x200时取等号,因此当每吨的成本最低时,相应的年产量是200t,选B.3(文)(20xx山东理,8)已知函数f(x)|x2|1,g(x)kx,若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是()A(0,)B(,1)C(1,2)D(2,)答案B解析作出函数yf(x)的图象如图,当ykx在l1位置时,过A(2,1),k,在l2位置时与l3平行,k1,k1.(理)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数,f (x)是f(x)的导函数当x0,时,0f(x)0.则函数yf(x)sinx在2,2上的零点个数为()A2B4C5D8答案B分析函数yf(x)sinx的零点转化函数f(x)yf(x)与ysinx图象交点f(x)的范围确定f (x)的正负(x)f (x)0.解析(x)f (x)0,x(0,)且x,当0x时,f (x)0,f(x)在(0,)上单调递减当x0,f(x)在(,)上单调递增当x0,时,0f(x)1.当x,2时,02x.又f(x)是以2为最小正周期的偶函数,知f(2x)f(x)x,2时,仍有0f(x)1.依题意及yf(x)与ysinx的性质,在同一坐标系内作出yf(x)与ysinx的简图则yf(x)与ysinx在x2,2内有4个交点故函数yf(x)sinx在2,2内有4个零点4已知a、b1,1,则函数f(x)axb在区间(1,2)上存在一个零点的概率为()A. B.C. D.答案C解析如图,由图形可知点(a,b)所在区域的面积S4,满足函数f(x)axb在区间(1,2)上存在一个零点的点(a,b)所在区域面积S12,故所求概率P.5(20xx天津理,8)已知函数f(x)函数g(x)bf(2x),其中bR.若函数yf(x)g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析考查求函数解析式;函数与方程及数形结合的思想由f(x)得f(2x)所以yf(x)f(2x)即yf(x)f(2x) yf(x)g(x)f(x)f(2x)b,所以yf(x)g(x)恰有4个零点等价于方程f(x)f(2x)b0有4个不同的解,即函数yb与函数yf(x)f(2x)的图象有4个公共点,由图象可知b2. 6(文)已知函数f(x),x1、x2、x3、x4、x5是方程f(x)m的五个不等的实数根,则x1x2x3x4x5的取值范围是()A(0,)B(,)C(lg ,1)D(,10)答案D解析在同一坐标系中作出函数yf(x)的图象与直线ym,设两图象交点横坐标从左向右依次为x1、x2、x3、x4、x5,由对称性知x1x2,x3x4,又x510,x1x2x3x4x5(,10)(理)(20xx百校联考)已知f(x)1x,g(x)1x,设函数F(x)f(x3)g(x4),且F(x)的零点均在区间a,b(a0,f(1)110,当x0时,f(x)0,f(x)0在R上恒成立,f(x)在R上为增函数,又f(1)f(0)0,g(2)120时,g(x)1xx2x3x20xx0,g(x)单调递减,g(x)也只有一个零点,记为x2,x2(1,2),F(x)f(x3)g(x4)有两个不同零点x3、x4,x3(4,3),x4(5,6),又F(x)的零点均在区间a,b内,且ab,bZ,当a4,b6时,ba取最小值10.方法点拨1.求f(x)的零点值时,直接令f(x)0解方程,当f(x)为分段函数时,要分段列方程组求解;2已知f(x)在区间a,b上单调且有零点时,利用f(a)f(b)0,则a的取值范围为()A(2,)B(1,)C(,2)D(,1)答案C解析f (x)3ax26x3x(ax2),若a0,则f(x)在(,0)和(,)上单调递增,在(0,)上单调递减,又f(0)1,f(x)不可能存在唯一零点;由选项知a0不必考虑;a0,应有极小值f()0,即a()33()210,a0时,y可正可负,对应第三个图;yx|cosx|为奇函数,且x0时,y0,对应第四个图;yx2x为增函数,对应第二个图,故选A.8已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(x1)为奇函数,f(0)0,当x(0,1时,f(x)log2x,则在(8,10)内满足方程f(x)1f(1)的实数x为()A.B9C. D.答案C解析由条件知f(x)f(x),f(x1)f(x1),在式中给x赋值x1得f(x)f(x2),将代入得f(x2)f(x),f(x4)f(x),f(x)的周期为4.在中令x0得f(1)0,方程f(x)1f(1),化为f(x)1,由于f(x)的图象关于点(1,0)对称,当0x1时,f(x)log2x0,当1x0,令f(x)1,(0x1)得x,即f()1,f()f(8)f()1,故选C.9(文)已知定义在R上的函数f(x)的对称轴为x3,且当x3时,f(x)2x3.若函数f(x)在区间(k1,k)(kZ)上有零点,则k的值为()A2或7B2或8C1或7D1或8答案A解析f(1)10,f(x)在(1,2)上有零点,又f(x)的图象关于直线x3对称,f(x)在(8,7)上有零点,k2或7.(理)(20xx长沙一模)使得函数f(x)x2x(axb)的值域为a,b(ab)的实数对(a,b)有()A1对B2对C3对D无数对答案B解析配方得f(x)(x2)2,当a2时,函数f(x)在区间a,b上为单调增函数,故有即a,b是方程f(x)x的两根,方程化简得x29x70,易知方程不可能存在两个不小于2的实根;当b2时,函数f(x)在区间a,b上为单调递减函数,故有即消元化简得a2a20,a2或a1,代入原方程组解得满足条件的解为即实数对(2,1)满足条件;当a2b时,若存在实数对(a,b)满足条件,必有af(x)min,故当2bBaCa0时,f(x)没有零点当x0时,f (x)x24,令f (x)0得x2,所以f(x)在(0,2)上递减,在(2,)上递增,因此f(x)在x2处取得极小值f(2)a0,解得a.故选A.(理)已知定义域为(1,1的函数f(x),对任意x(1,0,f(x1),当x0,1时,f(x)x,若在区间(1,1内g(x)f(x)mxm有两个零点,则实数m的取值范围是()A0,)B,)C0,)D(0,答案D解析x(1,0时,x1(0,1,又x0,1时,f(x)x,f(x1)x1,又f(x1),x(1,0时,f(x)1,作出函数f(x)的图象,由于ym(x1)过定点(1,0),要使ym(x1)与yf(x)的图象有两个交点,应有0m,选D.11(文)如果函数y|x|2的图象与曲线C:x2y24恰好有两个不同的公共点,则实数的取值范围是()A1,1)B1,0C(,10,1)D1,0(1,)答案A解析y当1时,曲线C与圆x2y24有三个不同公共点,当01时,不满足;当0时,曲线C为焦点在x轴上的双曲线,其渐近线斜率k,由题意应有1,10,综上知11.(理)已知函数f(x)若方程f(x)t(tR)有四个不同的实数根x1、x2、x3、x4,则x1x2x3x4的取值范围为()A(30,34)B(30,36)C(32,34)D(32,36)答案C解析设四个实数根满足x1x2x3x4,则易知0t2,x12t,x22t,由(x6)22t得x6,x6,x36,x46,x1x2x3x42t2t6636(2t)34t(32,34),故选C.12(20xx石家庄市质检)函数f(x)若f(x0),则x0的取值范围是()A(log2,)B(0,log2,)C0,log2,2D(log2,1),2答案C解析利用分段函数建立不等式组求解f(x0)或解得0x0log2或x02,故选C.二、填空题13已知定义域为R的函数f(x)既是奇函数,又是周期为3的周期函数,当x(0,)时,f(x)sinx,则函数f(x)在区间0,6上的零点个数是_答案7解析易知在(,)内,有f(1)0,f(0)0,f(1)0,即f(x)在一个周期内有3个零点,又区间0,6包含f(x)的2个周期,而两端点都是f(x)的零点,故f(x)在0,6内有7个零点14设函数yx3与y()x2的图象的交点为(x0,y0)若x0所在的区间是(n,n1)(nZ),则n_.答案1解析由函数图象知,1x02,n1.15(文)函数f(x)对一切实数x都满足f(x)f(x),并且方程f(x)0有三个实根,则这三个实根的和为_答案解析函数图象关于直线x对称,方程f(x)0有三个实根时,一定有一个是,另外两个关于直线x对称,其和为1,故方程f(x)0的三个实根之和为.(理)已知f(x)axxb的零点x0(n,n1)(nZ),其中常数a,b满足2a3,3b2,则n等于_答案1解析2a3,3b2,alog23,blog32,f(1)a11blog321log3210,f(x)在(1,0)内存在零点,又f(x)为增函数,f(x)在(1,0)内只有一个零点,n1.三、解答题16(文)设函数f(x)x3x2axa,其中a0.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若方程f(x)0在(0,2)内恰有两个实数根,求a的取值范围;(3)当a1时,设函数f(x)在t,t3(t(3,2)上的最大值为H(t),最小值为h(t),记g(t)H(t)h(t),求函数g(t)的最小值解析(1)f (x)x2(a1)xa(xa)(x1),令f (x)0得,x11,x2a0,f(1)0,解得0a,所以a的取值范围是(0,)(3)当a1时,f(x)x3x1,由(1)知f(x)在(3,1)上单调递增,(1,1)上单调递减所以,当t3,2时,t30,1,1t,t3,所以f(x)在t,1上单调递增,1,t3上单调递减,因此,f(x)在t,t3上的最大值H(t)f(1),而最小值h(t)为f(t)与f(t3)中的较小者f(t3)f(t)3(t1)(t2),当t3,2时,f(t)f(t3),故h(t)f(t),所以g(t)f(1)f(t),而f(t)在3,2上单调递增,因此f(t)f(2),所以g(t)在3,2上的最小值为g(2).即函数g(x)在区间3,2上的最小值为.(理)已知函数f(x)lnxax2bx(其中a、b为常数且a0)在x1处取得极值(1)当a1时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在(0,e上的最大值为1,求a的值解析(1)因为f(x)lnxax2bx,所以f (x)2axb.因为函数f(x)lnxax2bx在x1处取得极值,f (1)12ab0.当a1时,b3,f (x),f (x)、f(x)随x的变化情况如下表:x(0,)(,1)1(1,)f (x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的单调递增区间为(0,)和(1,),单调递减区间为(,1)(2)因为f (x),令f (x)0得,x11,x2,因为f(x)在x1处取得极值,所以x2x11,当0时,x20,当1时,f(x)在(0,)上单调递增,(,1)上单调递减,(1,e)上单调递增,所以最大值1可能在x或xe处取得,而f()lna()2(2a1)ln10,所以f(e)lneae2(2a1)e1,解得a;当1e时,f(x)在区间(0,1)上单调递增,(1,)上单调递减,(,e)上单调递增,所以最大值1可能在x1或xe处取得,而f(1)ln1a(2a1)0,所以f(e)lneae2(2a1)e1,解得a,与1x2e矛盾;当x2e时,f(x)在区间(0,1)上单调递增,在(1,e)上单调递减,所以最大值1可能在x1处取得,而f(1)ln1a(2a1)0,矛盾综上所述,a或a2.
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