资源描述
第六节双曲线A组基础题组1.已知椭圆x2a2+y29=1(a0)与双曲线x24-y23=1有相同的焦点,则a的值为()A.2B.10C.4D.342.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一个焦点与圆x2+y2-10x=0的圆心重合,且双曲线的离心率等于5,则该双曲线的标准方程为()A.x25-y220=1B.x225-y220=1C.x220-y25=1D.x220-y225=13.已知ab0,椭圆C1的方程为x2a2+y2b2=1,双曲线C2的方程为x2a2-y2b2=1,C1与C2的离心率之积为32,则C2的渐近线方程为()A.x2y=0B.2xy=0C.x2y=0D.2xy=04.(20xx课标,5,5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:x22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若0,b0)的左,右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为()A.43B.53C.54D.4146.(20xx北京,12,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(5,0),则a=;b=.7.设中心在原点的双曲线与椭圆x22+y2=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程是.8.已知F1,F2为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q,且F1PQ为正三角形,则双曲线的渐近线方程为.9.已知双曲线的中心在原点,左,右焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为2,且过点(4,-10).(1)求双曲线的方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:=0.10.已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=-2x.(1)求双曲线E的离心率;(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E.若存在,求出双曲线E的方程.B组提升题组11.(20xx安徽江南十校3月联考)已知l是双曲线C:x22-y24=1的一条渐近线,P是l上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若=0,则P到x轴的距离为()A.233B.2C.2D.263ZXXK12.(20xx吉林长春二模)过双曲线x2-y215=1的右支上一点P分别向圆C1:(x+4)2+y2=4和圆C2:(x-4)2+y2=1作切线,切点分别为M,N,则|PM|2-|PN|2的最小值为()A.10B.13C.16D.1913.(20xx北京,13,5分)双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=.14.已知双曲线x2-y23=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则的最小值为.15.已知椭圆C1的方程为x24+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点,O为坐标原点.(1)求双曲线C2的方程;(2)若直线l:y=kx+2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且2,求k的取值范围.16.设A,B分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左,右顶点,双曲线的实轴长为43,焦点到渐近线的距离为3.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=33x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使+=t,求t的值及点D的坐标.答案全解全析A组基础题组1.C因为椭圆x2a2+y29=1(a0)与双曲线x24-y23=1有相同的焦点(7,0),则有a2-9=7,所以a=4.2.A由题意知圆心坐标为(5,0),即c=5,又e=ca=5,所以a=5,所以a2=5,b2=20,所以双曲线的标准方程为x25-y220=1.3.A设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2,则e1=a2-b2a,e2=a2+b2a.因为e1e2=32,所以a4-b4a2=32,即ba4=14,ba=22.故双曲线的渐近线方程为y=bax=22x,即x2y=0.4.A若=0,则点M在以原点为圆心,半焦距c=3为半径的圆上,则x02+y02=3,x022-y02=1,解得y02=13.可知:0点M在圆x2+y2=3的内部y020),P(c,y0),代入双曲线方程得y0=b2a,PQx轴,|PQ|=2b2a.在RtF1F2P中,PF1F2=30,|F1F2|=3|PF2|,即2c=3b2a.又c2=a2+b2,b2=2a2或2a2=-3b2(舍去),a0,b0,ba=2.故所求双曲线的渐近线方程为y=2x.解法二:在RtF1F2P中,PF1F2=30,|PF1|=2|PF2|.由双曲线定义知|PF1|-|PF2|=2a,|PF2|=2a,由已知易得|F1F2|=3|PF2|,2c=23a,c2=3a2=a2+b2,2a2=b2,a0,b0,ba=2,故所求双曲线的渐近线方程为y=2x.9.解析(1)e=2,可设双曲线的方程为x2-y2=(0).双曲线过点(4,-10),16-10=,即=6,双曲线的方程为x2-y2=6.(2)证法一:由(1)可知,双曲线中a=b=6,c=23,F1(-23,0),F2(23,0),kMF1=m3+23,kMF2=m3-23,kMF1kMF2=m29-12=-m23.点M(3,m)在双曲线上,9-m2=6,m2=3,故kMF1kMF2=-1,MF1MF2,即=0.证法二:由证法一知=(-3-23,-m),=(23-3,-m),=(3+23)(3-23)+m2=-3+m2,点M在双曲线上,9-m2=6,即m2-3=0,=0.10.解析(1)因为双曲线E的渐近线方程分别为y=2x,y=-2x,所以ba=2,所以c2-a2a=2,故c=5a,从而双曲线E的离心率e=ca=5.(2)由(1)知,双曲线E的方程为x2a2-y24a2=1.设直线l与x轴相交于点C.当lx轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=4a,又因为OAB的面积为8,所以12|OC|AB|=8,因此12a4a=8,解得a=2,此时双曲线E的方程为x24-y216=1.B组提升题组11.CF1(-6,0),F2(6,0),不妨设l的方程为y=2x,则可设P(x0,2x0),由=(-6-x0,-2x0)(6-x0,-2x0)=3x02-6=0,得x0=2,故P到x轴的距离为2|x0|=2,故选C.12.B由题意可知,|PM|2-|PN|2=(|PC1|2-4)-(|PC2|2-1)=|PC1|2-|PC2|2-3=(|PC1|-|PC2|)(|PC1|+|PC2|)-3=2(|PC1|+|PC2|)-32|C1C2|-3=13,故选B.13.答案2解析由OA、OC所在的直线为渐近线,且OAOC,知两条渐近线的夹角为90,从而双曲线为等轴双曲线,则其方程为x2-y2=a2.OB是正方形的对角线,且点B是双曲线的焦点,则c=22,根据c2=2a2可得a=2.14.答案-2解析由已知可得A1(-1,0),F2(2,0),设点P的坐标为(x,y)(x1),则=(-1-x,-y)(2-x,-y)=x2-x-2+y2,因为x2-y23=1,所以=4x2-x-5,当x=1时,有最小值-2.15.解析(1)设双曲线C2的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),则a2=4-1=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1,故双曲线C2的方程为x23-y2=1.(2)将y=kx+2代入x23-y2=1,得(1-3k2)x2-62kx-9=0.由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得k22,3k2+73k2-12,即-3k2+93k2-10,解得13k23.由得13k20,解得x0=43,y0=3,t=4,点D的坐标为(43,3).
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