资源描述
0“(A)(C)1 yy0dy 0 f (x, y)dx11 -x2dx f(x,y)dy(B)(D)11 -y20dy 0 f (x, y)dx1x-x2dx f (x, y)dy 浙江大学2007-2008学年春季学期微积分H课程期末考试试卷、填空题(每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)1. 点 M( 1, 1,2 )到平面 x_2y 2z_1=0 的距离 d=.2. 已知 a = 2, b =3, a b=3,则 a+b =.3. 设 f(u,v)可微，z = f(xy,yx),则 dz=.A |4. 设f (x)在0 , 1上连续，且 f (x) 0 , a与b为常数.D .x, y 0 x乞1,0乞y乞1 ,则af(x) bf(y)d；=. d f(x) f (y)I h I_I2x2 _2x5. 设f (x, y)为连续函数，交换二次积分次序.dx f(x, y)dy = .二、选择题(每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，把所选字母填入题后的括号内)6.直线I 1：x -1y -5z 5x - y 二 6与直线1 2：7的夹角为1-212y + z = 3,、 nn,、Jt(A)一.(B).(C).(D).23467.设f (x,y)为连续函数，极坐标系中的二次积分COS - If (r cos,r sin日)rdr可以写成直角坐标中的二次积分为仅供个人学习参考8.设 f(x12-2x,学 x E1x, 0 岂 x J2 S(x)为f(x)的以2为周期的余弦级数，则1 133(A)-. (B)(C)? (D)-；.丄_4,(x, y) =(0,0),9.设 f(x,y)二 x4 y4则 f (x, y)在点 0(0,0)处0,(x,y)=(O,O),(A)偏导数存在，函数不连续(B)偏导数不存在，函数连续(C)偏导数存在，函数连续(D)偏导数不存在，函数不连续 三、解答题10.(本题满分10分)求曲线L:2 2 22x 3y z22 丄 2z 3x y=9在其上点M( 1,1, 2)处的切线方程与法平面方程.11.(本题满分10 分)设F可微，z是由F(x-y, y-z,z x) = 0确定的可微函数，并设F2 = F3 ,求z；:x :y12.(本题满分10分)设D是由曲线y = x3与直线y =x围成的两块有界闭区域的并集，求x2i ie sin(x y)d二.D;2 2 213.(本题满分10分)求空间曲线L： x 9y _2z =0上的点到xOy平面的距离最大值与最K + 3y + 3z = 5小值14.(本题满分10分)设平面区域D=(x,y) 0 _x _1,0 一 y_ 1，计算二重积分D15(本题满分5分)设当y 0时u(x,y)可微，且已知du(x, y) =( 2 y 2 xy2)dx ( _ 2 x 2 x2y 2y)dy .求u(x, y). x+ yx + y浙江大学2007-2008学年春季学期1.微积分II课程期末考试试卷答案 、填空题(每小题5分，共25分)124 -1d 二=232.2 =亠4 9 6 =丽.3.dz = f yxy4f2 yx in y dx f/ xy in x f2xyxJ dy4.af x bf y 小= af y bf x 十,1 d f x f 厂 d f y f xX2y2 -1 d 二.仅供个人学习参考.21 二 a b d；丁 二a b, I =1 a b .D2x2 2x2x2 _2x05.0dx 0 f x,y dy= /y 1或一.dy 11 y f x,y dx速- 0 dy 1 二、选择题（每小题5分，共20分） 选 （B ）.丨1的方向7.（D）8.（C）9.（A）取 y =kx,n1yf x,y dxJ1 二1_y-1严f x,y dx.量臼,一21 , l2的方向向量-1,-1,2?,虬-2,1-1,-1,2 316 2.积分区域D = x, y x2.s（-5）=s（-2）=s（1 00.fxW0 ）划=0, y2岂x,y _化成直角坐标后故知选（1 1 1 1 1=尹（厂0）+匕+0）2小f； 0,0 = 0 ,偏导数存在lim f （x, kx ）= lim, k xx 1 k41 k4随k而异，三、解答题（1014每题10分，15题5分，共55分） 10.由L,视x为自变量，有以x,y,z二1,-1,2代入并解出dy ,dz，得dx dx78所以不连续.dy 5 dz dx 4dx 所以切线方程为D）z-27 ，8法平面方程为57x -1 y 1z -2 =0，即卩 8x 10y 7z-12 = 0 .4811 皀FxF1 - Faczex,1.Fz-F； F/ ；:y12. D在第一象限中的一块记为 D，FF；z 十 z _ F3_ F2Fz-F2Fa:x ：y F F2D在第三象限中的一块记为D2,x2I l ex sin x y d；丁二ex d；亠 11DD12ex d，亠isin x y d1 亠 i isin x y d；.D2D1D2所以，原式二e-2.13. L上的点到平面xoy的距离为z，它的最大值点，最小值点与z2的一致，用拉格朗日乘数法，设 F x, y, z, = z2 亠门x2 9y2 一 2z2 亠 | ix 3y 3z -5 ，求偏导数，并令其为零有：=2 . x =0， =18. y 3=0，:xjx：FF22 2z-4，z 3=0， x 9y -2z=0，.:z；x:F订=x 3y 30 .15解之得两组解(x,y,z) =(1,-,1); (x,y,zb =(-5,5).所以当 x=1,331“3时,z二1最小；当5x = -5, y = _时，I314.将分成如图的两块，1的圆记为D，另一块记为D4+ y2 1曲=(1_x2 y2 db +JJ(X2 +y2 -1 dbD1D2.x2D=5最大.15.由 du(x, y)=( +xy2)dx+(_=xx + yx2+y2 xy+2y)dy，yx2 y2xy2，从而知u(x, y )=arct an +1x2y2 y 272 :2 +x2yx y2y，推知一十寸a+x2yx y2y，所以，u(x,y)=arcta n+丄y 2x2y2 y2 C.注：若用凑的办法亦可:所以，ux,y皿叮严2 y2 c.浙江大学 2006 - 2007学年春季学期微积分H课程期末考试试卷开课学院：理学院考试形式：闭卷考试时间：年月日所需时间：120分钟考生姓名：_学号：专业：_题序-一-二二三四五六七总分得分评卷人、 填空题(每小题5分，满分30分)1.直线=上二三三 在平面2x y _2z _5 =0上的投影直线方程为6.设函数f (x)二an1=20f (x)cosn二xdx, n =0,1,2,，则2 36x _y +2zT = 0(满分10分)求直线丿y绕x轴旋转一周所得的旋转曲面方程_2x+y+z_2 = 0四、（满分15分）已知z = z（x, y）由方程yz +xez +1 =0确定，试求 ZX-0y Jex五、（满分15分）设平面兀:x + y =1, d （x, y, z）为曲线2 2 2x y Z 14x y z = 0上的点R的半圆直径上拼上一个矩形，矩形的另一边为h）七、（x, y,z）到平面二的距离，求d（x, y, z）的最大，最小值.六、（满分15分）如图是一块密度为（常数）的薄板的平面图形（在一个半径为已知平面图形的形心位于原点（0,0）.试求：1.长度h； 2.薄板绕x轴旋转的转动惯量（满分5分）求证：当t Z1, sX0时，成立不等式ts兰tl ntt+es.参考解答:1.3x4y+z=0； 2.N3e,e，o, 12x + y-2z-5 = 023. 2fi2 2 2 f22 (3 7 2 ( 2)2) 2f2 (31222)；4. 2; 5.3,1,3x y 1 z -3 = 0; 6. - . 屈-二.直线：x =t, y =1 t, z =1 t曲面上点P(x, y,z)；直线上点(x0, y0,z0),yo = 1 - Xo, Zo = 1 - Xo则旋转曲面方程：y2z2 二 2(1 - x)21 9:e引(1-4y2)dy:dx ； e-2dy = ；dy ：严日 =四.z(0, D = 1, y 3z? + xeexex= 0,. ：zxx=0yd13e五.1d(x, y, z)+ y 11最小距离：d(亠，亠,丄) 3 3 3，最大距离:2d(-言-焉鳥貯丰+斗211xdxdyD=0_ - 1六.形心：y =0, x - xdxdy 二C5 丁|D0R抚R即dx jdy 占。旷 rdr =0七.设 F (t, s)二 tln t -tes -ts, F (1, 0)二 0且对固定的 t 1,当 0：s：lnt, Fs(t,s) ：0,当 s Int, Fs(t,s) 0,所以，s =1 nt取得最小值且为o,则F(t,s) = 0，即1、已知(Td-y2,则 f(x,y)匚x qdx 2、已知，则 J0 X e dx_.223、 函数f(x，y)二xxy y -y 1在点取得极值.4、 已知 f (x, y) =x+(x+arctan y) arctan y ,则 f(1,0)=.3xdx 与(A)f (x,y)二4x22c22, x y 0x y0,在原点间断,7数是因为该函数(b ).(A)在原点无定义(B)在原点二重极限不存在(C)在原点有二重极限 存在,但不等于函数值JJ 寻1 _ x2 _ y2dxdy 12 =#1 _ x2 _ y2 dxdy1童2刊2玄,但无定义(D)在原点二重极限I18、若关系式成立的是( a).x2y2 1.5、y-6yy =0.xP * 1 (B) P :1 (C) 1 P : 2 (D) p 2(1_y)_1、1 y .2、三.3、3211、求由 y =x , X =4y 所围图形 绕y轴旋转的旋转 体的体积.解：3x2X的函数为82n分 V 二。二(4 -y3) dy6(8-0)0 y3dy(3分 )3 77yiO3=128(83 - 0)7512y3,y 0。且 x = 4时，y 二8。于是（6分）12、解:x2y2lim 求二重极限：7 (x2 y2)x2 y2 11) =lim原式 y 02 2x y 1-1(3分)=lim ( x x0 y )o2 y2 11)=2(6分)z13、Z 二 Z(x,y)由z F =xy确定,；:x討解：设 F（x,y,z）= zez -xy，则Fx-yFy二-xFz = 1 - ez：z Fx-y.:z:xFz1ez1ez-yFy-xFz1ez1 ez(3分):x .y1 ez - y(1 ez)2：:yze xy1ez(1 V)2(6 分)2 4 214、用拉格朗日乘数法求x y1在条件x 1下的极值.解:z =x（丄 1）y 1在下的极小值点为 22 ,极小值为2（6 分） +(1 _x)2 +1 =2x2 _2x +21X= z = x2z、4x-2=0,得2, z“=4 0,2 为极小值点.(3 分)1y 一1 dy 2 eydxy15、计算21 y 专 31 -1 = 1 dy eydxee2解：2 y 8 2 （6 分）JJ（x2+y2）dxdy226计算二重积分d，其中D是由y轴及圆周x y 所围成的在第一象限内的区域U（x2+y2）dxdy吕defrdr -,解：D= 00= 8 （6 分）W I17、解微分方程y =y X.p imrrI解：令p =y, y = p,方程化为p = p x,于是= ex-（x 1）e G = -（x 1） Gex 分）1y = pdx 二-（x 1） C1exdx（x 1）2 Gex C2=2（6 分）0 , E （Jn3 +1 _Jn3 _1）18、判别级数心的敛散性.n31 n3 -1 解：“3 1 r n3 -1 （3 分）n、nJn3 +1 _ Jn3 _1Iimlim1n ：1n r n3 T、n3 -1因为19、将函数3 - x展开成x的幕级数，并求展开式成立的区间.解:1 1 1 13-x 3 1 _x =送 xn由于3 ,已知 1 -x n,-1：x：1,（3分）11 00 X001丄（x）n -xn 另”么 3 _x 3n=03n=033X3 （6 分20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料，销售收入R （万元）与电台广告费用为（万元）的及报纸广告费用x2（万元）之间的关系有如下的经验公式2 2R=15 14x132x2 -8x1x2x1 -10x22 2 求最优广告策略解：公司利润为L = R -为- X2 = 15 * 13x1 * 3似2 - 8x1X2 - 2X1 -Lxi =3-8x2 -4x! =0,4xi +8x2 =13,令 Lx2 =31 8X1 20x2 = Q 即 px1 +20x2 = 31,3 5(X1,X2)=(,) =(0.75,1.25)得驻点4 4,而(3分)A = V 0 B = L：X2 = -8 C = L；x2 = -20JJ2D 二 AC -B2 =80 -64 0 所以最优广告策略为：电台广告费用.75（万元）,报纸广告费用25（万元）.（6分）四、证明题（每小题5分，共10分）u；v；乞 2（u； r；）并由题设知n1 与心 都收敛,则nd收敛,Z* 卜、”仝 L .7 10 瓦（比 +Vn）2l_从而n吐收敛。（6分）1、设 gy,XX2 2_y，则 f (x, y)二2、3、2 2f（x,y）=2x ax xy 2y在点（1,-1）取得极值，则常数4、5、设函数已知 f （x, y） = X + y（x + J4 +arctany）,则 f；（1,0） =以yC2ex（ G,C2为任意常数）为通解的微分方程是11:z 133x + y=21、设 z Jn（x y ），证明：汙 3.1 “ -23123:Z3X:Z3 y11 ,1 1dx证：x3y3：yx3y3O00000Z2Un 2Vn、 (UnVn)22、若n 1 与n吕 都收敛,则n吕收敛.2 2 2 2 2证：由于 0 兰(Un+Vn) =Un +Vn +2UnVn E2(Un +Vn), (3 分)严丹 rdx6已知0 e X与1 xlnPx均收敛,则常数p的取值范围是().(A) p 0 (B) p :0 (C) p ：: 1 (D) 0 p :12 27、对于函数 f(x,y) =x -y，点(0,0)().(A)不是驻点(B)是驻点而非极值点(C)是极大值点(D)是极小值h 二(x y)2d二l2 二(xy)3d二228、已知 D, D,其中 D 为(x-2) (y-1)叮，则().(A) h =I2(B) I1 I2(C) I1： I2(D) I1 I29、方程y -5y 6y=xe2x具有特解().(A) y =ax b(B) y =(ax b)e2x(C) y =(ax2 bx)e2x(D) y = (ax3 bx2)e2xQOQO瓦(-1)n2nanZ 务10、级数心收敛，则级数心().(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)敛散性不定311、求 y 二X厂, x=2所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积.1 lim(xsi n ysin) x12、求二重极限y_0x + yz =arcta n213、设1 xy ,求:x .-2:z14、用拉格朗日乘数法求f(x，y)二xy在满足条件x y二1下的极值.15、计算1。血 oxexydy Jx2 +y2dxdy2 丄216、计算二重积分d,其中d是由y轴及圆周x (1)二1所围成的在第一象限内的区域.17、解微分方程xyyJO18判别级数jn的敛散性.19、f （x）=丄/将函数x展开成（X -3）的幕级数.20、某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,若生产x单位甲产品,生产y单位2 2乙产品的总费用为20x 30y 0-1（2x -2xy 3y ） 100,试求出甲、乙两种产品各生产多少时该1 I工厂取得最大利润21、设u小x2 y2 z2 ,证明_2_2亠:u : u r u2 X=x21y2z2oO送b；22、若n1 与心（可能会有错误大家一定要自己核对）一、填空题（每小题3分,共15分）0一 2、ann 1为 a；b；都收敛,则心 收敛.1、设 zf f(x-y)，且当 y =0时,2 2（x -2xy 2y y ）:dx 12、 计算广义积分1 x3 =。（ 2 ）3、设 z 廿，则 dzh=。（e（dx+dy）2x.22x4、微分方程y -5y Pyxe具有形式的特解.（ax bx）e）5、oO送Un设n1un则n壬2。(1)1、选择题（每小题3分,共15分）limx )0y3si n(x2 y2)x2 y2的值为（A）A.3B.0C. 2D.不存在 2、fx（x0, y0）和 fy（x0,y0）存在是函数 f（x, y）在点（X0,y0）可微的（A）A.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件。 仅供个人学习参考2 2 2 23、由曲面z.4-x -y和z = o及柱面x y二1所围的体积是（D ）A.讥叫右石孑击；B.4dGj0Qr2dr2 1 -0 do 4-drM 1 JJo/4dr2x=e，则其4、设二阶常系数非齐次线性方程八py qy = f （x）有三个特解yi = x , y2二ex ,纸通解为（C）。A x+GeX+C2e2x. b C1C2 +C3X.C x C1 (ex -e2x) C2 (x - ex). d G (ex - e2x) C2 (e2x - x)5、无穷级数oOzn 4（p为任意实数）(D)A、收敛B绝对收敛C、发散D无法判断三、计算题（每小题6分,共60分）1、求下列极限:lim旦 ；0 xy 1 -1解:lim、旦im xy( ；xy 1 1)y0 xy 1 -1y-J (xy J-1(3分)2、求由yx与直线XT、x=4、y=所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积-7.5心( 6分):z : z3、求由e = xyz所确定的隐函数z = z（x，y）的偏导数：xl：y 解：方程两边对X求导得：z :z:z :z yzze yz xyex血有 $e xyx（zT）.（ 3分）方程两边对y求导得:.zxzezM 二 xz xyM-创矽，有 cy e -xyy(z1) .( 6分)3 2 24、求函数 f（x,y）二x -4x Jxy-y 的极值。322解：f (x, y)二 x -4x 2xy -y，则2fx(x, y)=3x 8x+2yfy(x, y) =2x _2yfxx(x, y) =6x -8fxy(x, y) =2fyy(x, y) 一2,求驻点，解方程组r 23x -8x+2y=0，2x-2y=0， 得(0,0)和(2,2).( 2分)对(0,0)有 fxx(0,0) 8 :： 0，fxy(0,0)=2fyy(0,0)=-2于是B2-AC =-12 0，所以（0,0）是函数的极大值点，且f（0,0） （4分）对(2,2)有 fxx (2,24，fxy(2,2)=2fyy(2,2)=-2?5于是B2 - AC =12 0 , （2,2）不是函数的极值点。I d&计算积分d x ,其中D是由直线 八x,y=2x及x7x=2所围成的闭区域;解：D x22x yxd.(4分)2xdx=914(6分)7、已知连续函数f（X）满足x(0 f (t)dt = 2xf (X) + X，且 f(1)=0，求 f(x)。解：关系式两端关于x求导得:” 1f(x2f(x) 2xf (x) 1 即 f (x)xf(x) =这是关于f（X）的一阶线性微分方程，其通解为:(-Vx +c)=孚-1=xx ( 5分)f=0,即 c-1 = 0，故 c=1，所以 f（x）仅供个人学习参考y8、求解微分方程2. y解：令八p，则空p空丄仁。dy，于是原方程可化为：dy 1 -y （ 3分）生亠=0 即 dy 1 - y12- dy2，其通解为=G（y-1）.（5分）鴛口心）2即备故原方程通解为：心餐（ 6分）（X9、求级数n二Vn 的收敛区间。oQ * n送 J r解：令t =X _2,幕级数变形为n吕3 n , n an 1= lim n 1 “nn .（3分）QOd当时,级数为y收敛;丄当t 时,级数为nn发散.+ n故心讪的收敛区间是hTT，1）, （ 5分）OC Z送（x那么n#的收敛区间为Ix二1,3）. （ 6分）J： sin（2n x）10、判定级数n壬 n!是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛。解：因为sin（2n x）n! -由比值判别法知nmn!1.（n 1）!门lim0n1收敛（： n!），（4分）sin(2n x)n!QO从而由比较判别法知 心 四、证明题(每小题5分,共10分)/ sin(2n x)收敛，所以级数n - n!绝对收敛.(6分)a迟Un1、设正项级数心收敛,证明级数也收敛。1证：屮n1 违(Un Un1) ,.( 3分)仅供个人学习参考Z而由已知(un un 1)2收敛，故由比较原则,7nUn1也收敛。-( 5分)z 222、设 f (x - y ),其中f(u)为可导函数,证明1 ；z 1 ；z z2:-Xy ；y y .证明：因为汶:z2xyf2，(2分).:z f 2y2f ( 4分)_ 2yf f 2y2f _ 丄 _ _f _ yf1Z 1 理所以 x ：x y ：:y一、填空题(每小题3分,共15分)(5分)1、设 z=x+y +f (y _x)，且当 x=0时,x2 -2xy 2x y2)2、2计算广义积分M x =o ( 1 )3、设 z=ln(1 +x2 + y2)，则 dzl(1,2)12dx dyo ( 33)4、微分方程 3 9厂5(x 1)e3x具有形式的特解.(ax3 bx2)e3x)J5n_5、级数2 9 的和为。(8 )、选择题(每小题3分,共15分)3si n(x2 y2)lim 220 x y1、八0y 的值为(B)A、0B 3CC 2D不存在2、fx（x,y）和fy（x，y）在（x0,y0）存在且连续是函数f（x,y）在点（x0，y0）可微的（B） A必要非充分的条件；B.充分非必要的条件C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件2 2-x - y3、由曲面z二2丄 2确和z = 0及柱面x y4所围的体积是（B ）A.；B.2d 2 .kdrC丑 2;D.4。4 宀4、设二阶常系数非齐次微分方程y py qy = f （x）有三个特解yi = 通解为（D）G（ex -e2x） C2（e2x -x2）C1 x2 C2ex C3e2x；B、；2x2x,2 乂 ,% 乂，则其c、2x2xX Ge C2e .2x 2x2x Ci(e e ) C2(x e；：（-1）n2p无穷级数ni n （无法判断B、绝对收敛C收敛D发散、计算题（每小题6分,共60分）.2 - .xy 4limx0xy1、求下列极限：yT。2 - Jxy +4 limlim.解：X xy :冷（2 .xy 4） .（ 3分）5、A、xyp为任意实数）（A）4 -(xy 4)= lim 1一 1 兀2 xy 4 2 24 .(6分)2、求由在区间0,2上，曲线y=sinx与直线jix = 一2、y=所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积。解：Vx =2 sin2 xdx八( 4分)L、 :Z : z3、求由eZ-xyz二xy所确定的隐函数z=z（x,y）的偏导数：xLy 。(一)令 F(x,y,z)z=e -xyz-xy千.:F:Fzyz-yxz - xe - xy则x ，-y:z利用公式，得.:F；z ex yz y yz y:xFze -xyze - xyjz (3分).:F；z-xz -Xxz x-y.:Fz e xyze xyjz (6分)二)在方程两边同时对X求导，得解出；zyzy-zx e-xy .(3分):zxz x-z同理解出：ye 一xy ( 6分)I. 7334、求函数f(x，y)=x -12xy 8y的极值。解：f (x,y) =x3 12xy+8y3，则2 2fx(x, y)=3x -12yfy(x,y)=24y -12x、fxx(x, y) =6x fxy(x, y) = -12fyy(x, y) =48y ,f 23x2 -12y = 0,2求驻点，解方程组24y 12x = 0,得(0,0)和(2. (2分)对(0,0)有 fxx(0,0)=0，fxy(0,0)=T2，fyy(0,0)=0 ,于是B2 -AC N44 0，所以(0,0)点不是函数的极值点.( 4分)对(2,1)有 fxx(2,1) =12，fxy(2,1)=T2，fyy(2,1)=48，于是B2-AC=141 4 24 =80 ，且A=120，所以函数在(乙1)点取得极小值，f (2,1)=23-12沃2勺+8勺3 = -8 .( 6分)( 5分)仅供个人学习参考I i(2x y)d二y = x,y =16计算二重积分d,其中D是由x及 八2所围成的闭区域;2 yH(2x+y)d = dyb(2x + y)dx解：D彳( 4分)2 2 119=1 (2y -12)dy =1 y6 (6分)x7、已知连续函数 f(x)满足 0f(t)dt 2f(x) 0，求 f(x)。解：关系式两端关于x求导得:f (x) 2f (x) 1 =0 即1 1f(x) 2f(x2 ( 2分)这是关于f(X)的一阶线性微分方程，其通解为:XXx-e 2(e2 c) - -1 ce 2 .( 5分)X又 f(0)=0，即 0 = -1+c，故 c=1，所以 f(x)=e2-1 .( 6分)28、求微分方程(1 x )y 一 2xy = 0的迪御-解这是一个不明显含有未知函数y勺杆虬p作变换令dx，则d2y dpdx，于是原方和降阶为(3分)dx2(1 X2* _2px=0dxdp = 2x2dx，分离变量p 1 xIn p| =1 n(1 +x2) +1 n|C|2、即 p 二G(X ),从jdx再枳分一次得底方觀的通解X3G(x ) C2y=3( 6分)S2) ( 5分)f (x-3)n9、求级数心n 的收敛区间。+ ntRt =lim | nt n-；：: 1解：令t=x-3,幕级数变形为2n,an 1迥爭l(3分)oO0）收敛，证明心n也收敛。cos（n x）n!绝对收敛.（6分）QOz a21、设级数心证：由于I並戶2（a； +亠）n 2 n ，（3分）2n都收敛，故肖收敛，由比较原则知、:並n收敛.。（5分）z =2cos -2. .2: .2:z: Z ： Z: z2 二 -cos(2x-t)2cos(2x-t) 一 -2 2Ct, cx 1.5、y”-6y y=.二、选择题（每小题3分,共15分）& （C）.7、（B） . 8、（A）. 9、（D）.1O、（D）.三、计算题（每小题6分,共60分）3八X2 , X = 4, y = 所围图形绕y轴旋转的旋转体的体积.11、求由解:3X2的反函数为x2=y，y 0。且 x=4 时，y 二8。于是12、解:2lim 2求二重极限y xy 1 _1 .22.；22= |im(x y )GX y 11)x_原式 y 0y22 2x y 1-1(3分)二 lim ( . x2y2 11)=2x_0y 10(6 分)13、z =z(x,y)由 z e 二xy确定,求；x-y.解：设 F（x,y，z）=z e -xy，则Fx = y Fy = -xFz = 1 +eFz1ez1ezyFz-x x1 & 一1 ez (3 分):x .y：:y 1 ezz ：zey -(1ez)21 ez - yze xy厂宁(6分)14、用拉格朗日乘数法求/ 1在条件x y二1下的极值.2 2 2解：z =x (1 -X) 1 =2x -2x 21X =令 z=4x2=0 得 21X =Z” =4 0 ,2为极小值点.（3分）22（丄丄）E故z=x y 1在y-x下的极小值点为2 2 ,极小值为- x展开成x的幕级数，并求展开式成立的区间. （6分）X1 y 7fl dy fv2 e dx15、计算21v -31 1I = 1 dy 2 evdxee2解： 2y82 （6 分）U（x2+y2）dxdy2216、 计算二重积分d，其中d是由y轴及圆周x y二1所围成的在第一象限内的区域.U（x2+y2）dxdy占町佝 -解：D= 00= 8 （6 分）17、解微分方程v“=v + x.|、解：令p T, -Jn3 +1 - Jn3 1lim1j . n3 T * n3 -1（6分）19、将函数3x解:1 :心匚八xn3 ,已知1 _xn =0丄丄: 那么3 -X 3 n卫000J所以最优广告策略为：电台广告费用.75（万元）,报纸广告费用25（万元）.（6分） 证明题（每小题5分,共10分）证:X33x3 + y3兮x3十y3（3分）3xJ3x3y3X3y3x13 x131X3（6分）0Z若n1oO2Un与n T 都收敛,则20、（Unn =1vn）2收敛.证:由于 0 兰（U n *vn） =Un *V n *2U nvn 兰 2（ U n *V n） （3 分）QOCOCOZu二、选择题(每小题3分,共15分) Z v2Z
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