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精品题库试题文数1.(河南省豫东豫北十所名校20xx届高中毕业班阶段性检测(四) 已知双曲线的一条渐近线与曲线相切，且右焦点F为抛物线的焦点，则双曲线的标准方程为 (A) (B) (C) D) 解析 1.因为双曲线的渐近线为，与联立得，由渐近线与曲线相切得，又由的焦点为得，所以，双曲线的方程为.2.(吉林省实验中学20xx届高三年级第一次模拟考试) 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值( ) A. 2B. 3C. D. 解析 2.因为抛物线的方程为，所以焦点坐标, 准线方程为，因为点到的距离为等于点到的距离，如图所示，当，三点共线时，折线段之和最小，其小值等于点点到的距离3.(重庆一中高三下期第一次月考) 若方程没有实数根，则实数的取值范围为（ ）A B C D 解析 3.设，则，所以表示半椭圆，要使方程无解，只需直线半椭圆无交点即可，当与相切时，联立得，由，得，如图所示结合图象知或.4.(山东省潍坊市20xx届高三3月模拟考试) 如图，已知直线l：y=k(x+1) (k 0) 与抛物线C：y2=4x相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|=2|BN|，则k的值是 (A) (B) (C) (D) 2解析 4.设的交点为，因为 ，所以，即为的中点，设，得，由，得，所以，即，得，.5.(河南省郑州市20xx届高中毕业班第一次质量预测) 已知抛物线，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 Ax=l B C D解析 5.设直线，与联立得，由题意知6.（山东省济宁市20xx届高三上学期期末考试）M是抛物线上一点，且在x轴上方，F是抛物线的焦点，若直线FM的倾斜角为，则A. 2B. 3C. 4D. 6解析 6.因为直线的方程为，所以与联立得，解得和（舍），所以7.(重庆一中高三下期第一次月考) 直线过定点且与圆交于点，当最小时，直线恰好和抛物线（）相切，则的值为解析 7.当与定点和连线垂直时，最小，此时直线，此时直线的方程为，即与联立得，由，.8.(江西省红色六校20xx届高三第二次联考) 已知抛物线的焦点为，过点，且斜率为的直线交抛物线于A, B两点，其中第一象限内的交点为A，则 解析 8.设因为抛物线的焦点为，所以直线的方程为，与联立消去得，因为点在第一象限，所以，因此9.（河北省唐山市20xx届高三第一次模拟考试）过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线交抛物线C于A、B两点，若A到抛物线的准线的距离为4，则|AB|= . 解析 9.因为，所以由抛物线的定义可知，不妨设，则直线的斜率，方程为与联立得得，所以.10.(北京市东城区20xx-20xx学年度第二学期教学检测) 定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l: y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4) 2=2到直线l: y=x的距离，则实数a=_.解析 10.由题意知圆心到直线的距离为，所以曲线到直线的距离为，令得，代入得，所以点到的距离为，得或，当时，与相交，不符合题意，故舍去，所以.11.(河北省衡水中学20xx届高三下学期二调) 已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为和，且|=2，点（1，）在该椭圆上（1）求椭圆C的方程；（2）过的直线与椭圆C相交于A，B两点，若AB的面积为，求以 为圆心且与直线相切圆的方程解析 11.（1）椭圆C的方程为 （2）当直线x轴时，可得A（-1，-），B（-1，），AB的面积为3，不符合题意 当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为y=k（x+1）代入椭圆方程得：，显然0成立，设A，B，则，可得|AB|=又圆的半径r=，AB的面积=|AB| r=，化简得：17+-18=0，得k=1，r =，圆的方程为12.（河北省石家庄市20xx届高三第二次教学质量检测）已知动圆C过定点M(0，2) ，且在x轴上截得弦长为4. 设该动圆圆心的轨迹为曲线C.（）求曲线C方程；（）点A为直线：上任意一点，过A作曲线C的切线，切点分别为P、Q，DAPQ面积的最小值及此时点A的坐标.解析 12.（）设动圆圆心坐标为，根据题意得，化简得.（）解法一：设直线的方程为，由消去得设，则，且以点为切点的切线的斜率为，其切线方程为即同理过点的切线的方程为设两条切线的交点为在直线上，解得，即则：，即，代入到直线的距离为当时，最小，其最小值为，此时点的坐标为.解法二：设在直线上，点在抛物线上，则以点为切点的切线的斜率为，其切线方程为即同理以点为切点的方程为设两条切线的均过点，则，点的坐标均满足方程，即直线的方程为：代入抛物线方程消去可得：到直线的距离为当时，最小，其最小值为，此时点的坐标为.13.(江苏省南京市、盐城市20xx届高三第二次模拟) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1(ab0) 的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，一条准线方程为x2P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q（1）求椭圆C的方程；（2）若点P的坐标为(0，b) ，求过P，Q，F2三点的圆的方程；解析 13.解：由题意得解得c1，a22，所以b2a2c21 所以椭圆的方程为y21 （2）因为P(0，1) ，F1(1，0) ，所以PF1的方程为xy10解法二：当PQ斜率不存在时， 在y21中，令x1得y 所以，此时 当PQ斜率存在时，设为k，则PQ的方程是yk(x1) ， 由得(12k2) x24k2x2k220， 韦达定理 设P(x1，y1) ，Q(x2，y2) ， 则 的最大值为，此时14.(河南省豫东豫北十所名校20xx届高中毕业班阶段性检测(四) 如图，已知点F为抛物线的焦点，过点F任作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于A，C，B，D四点，E，G分别为AC，BD的中点( I) 当直线AC的斜率为2时，求直线EG的方程；() 直线EG是否过定点？若过，求出该定点；若不过，说明理由；解析 14.（1）因为为抛物线的焦点，所以的坐标为，设，当直线的斜率为时，直线的方程为，代入抛物线的方程可得，则，则的中点坐标为，由可得直线的方程为，同理可得的中点坐标为，由，可得直线的方程为（2）直线过定点，设直线的方程为，代入抛物线的方程可得，故，则的中点坐标为，由可得直线的中点坐标为，令，得，此时，故直线过点，当时，同理，所以，所以三点共线，直线过定点.15.（广东省汕头市20xx届高三三月高考模拟）如图6，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，又椭圆C上的任一点到椭圆C的两焦点的距离之和为8.（1）求椭圆的标准方程；（2）若平行于y轴的直线与椭圆C相交于不同的两点，过两点作圆心为M的圆，使椭圆C上的其余点均在圆M外。求的面积S的最大值。解析 15.（1）设所求椭圆的标准方程为，由题意得，解得，得，所以所求椭圆方程为.（2）由椭圆的对称性，可设，又设是是椭圆上任意一点，则，所以当时，取得最小值，由题意得是椭圆上任意一点的距离最小点，设，因此当时，取得最小值，又，所以，由对称性知，故，所以，所以当时，的面积取得最大值.16.（江西省重点中学协作体20xx届高三第一次联考）已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于1/2, 它的一个顶点恰好是抛物线的焦点（1）求椭圆C的方程；（2）、是椭圆上两点，A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点，当A、B运动时，满足，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由解析 16.（1）设椭圆C的方程为，则，由，得，所以椭圆C的方程为，（2），则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为，则PB的斜率为，PA的直线方程为，设A（x1、y1），B（x2、y2）由将（1）代入（2）整理得，有同理PB的直线方程为，可得，从而=，所以的斜率为定值17.(吉林省实验中学20xx届高三年级第一次模拟考试) 已知椭圆C: ，经过点, 离心率 , 直线的方程为 .(1) 求椭圆C的方程；(2) AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线l与直线AB相交于点M，记PA、PB、PM的斜率分别为，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 解析 17.（1）由点在椭圆上得， 由 得，故椭圆的方程为（2）假设存在常数，使得.由题意可设 代入椭圆方程并整理得设，则有 在方程中，令得，从而. 又因为共线，则有，即有所以 = 将代入得，又，所以, 故存在常数符合题意18.(重庆一中高三下期第一次月考) 点，是椭圆的左右焦点，过点且不与轴垂直的直线交椭圆于两点.（1）若，求此时直线的斜率；（2）左准线上是否存在点，使得为正三角形？若存在，求出点，不存在说明理由.解析 18.（1）设直线为，联立椭圆方程可得 ，设点，则有，又，可得，即有， 整理可得（2）记的中点为，要使得为正三角形，当且仅当点在的垂直平分线上且, 现作于，则, 根据第二定义可得，则有，显然不成立，即不能存在.19.(山西省忻州一中、康杰一中、临汾一中、长治一中四校20xx届高三第三次联考) 已知椭圆：（）的右焦点，右顶点, 且(1) 求椭圆的标准方程；(2)若动直线：与椭圆有且只有一个交点，且与直线交于点, 问：是否存在一个定点, 使得. 若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.解析 19.（1）由，椭圆C的标准方程为.得：，., , 即P.M.又Q，+=恒成立，故，即. 存在点M（1,0）适合题意.20.(山东省青岛市20xx届高三第一次模拟考试) 已知点在椭圆: 上，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的右焦点，且，其中为坐标原点.（）求椭圆的方程；（）已知点，设是椭圆上的一点，过、两点的直线交轴于点, 若, 求直线的方程;（）作直线与椭圆: 交于不同的两点, , 其中点的坐标为, 若点是线段垂直平分线上一点, 且满足, 求实数的值.解析 20.（）由题意知, 在中, 由得: 设为圆的半径, 为椭圆的半焦距因为所以又, 解得: , 则点的坐标为因为点在椭圆：上, 所以有又, 解得: 所求椭圆的方程为.() 由() 知椭圆的方程为由题意知直线的斜率存在, 故设其斜率为,则其方程为设, 由于, 所以有又是椭圆上的一点, 则解得所以直线的方程为或（）由题意知: : 由, 设根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为, 则直线的方程为把它代入椭圆的方程, 消去, 整理得: 由韦达定理得, 则, 所以线段的中点坐标为(1) 当时, 则有, 线段垂直平分线为轴于是由, 解得: (2) 当时, 则线段垂直平分线的方程为因为点是线段垂直平分线的一点令, 得: 于是由, 解得: 代入, 解得: 综上, 满足条件的实数的值为或.21.（天津市蓟县第二中学20xx届高三第一次模拟考试）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一个顶点为，且其右焦点到直线 的距离为() 求椭圆的方程；() 是否存在斜率为，且过定点的直线，使与椭圆交于两个不同的点，且？若存在，求出直线的方程; 若不存在, 请说明理由解析 21.（）设椭圆的方程为,由已知得.设右焦点为，由题意得 .椭圆的方程为.（）直线的方程，代入椭圆方程, 得 设点则设、的中点为，则点的坐标为.点在线段的中垂线上.化简, 得.由得, 所以, 存在直线满足题意，直线的方程为或22.(广西省桂林中学20xx届高三月考测试题) 已知离心率为的双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点F1、F2在x轴上，双曲线C的右支上存在一点A，使且的面积为1。（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线与双曲线C相交于E、F两点（E、F不是左右顶点），且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标解析 22.（1）由题意知设双曲线的标准方程为，由已知得，解得，因为，且的面积为1，所以，又，所以，所以，双曲线的标准方程为.（2）联立，得，显然，否则直线与双曲线只有一个交点，即，设则，因为以为直径的圆经过双曲线的右顶点，所以，即，所以，即，化简整理得，所以或，均满足，当时，直线的方程为，直线过定点，已知矛盾，当时，直线的方程为，直线过定点，符合题意所以直线过定点.23.(江苏省苏、锡、常、镇四市20xx届高三数学教学情况调查) 如图，在平面直角坐标系中，已知，是椭圆上不同的三点，在第三象限，线段的中点在直线上（1）求椭圆的标准方程；（2）求点C的坐标；（3）设动点在椭圆上（异于点，）且直线PB，PC分别交直线OA于，两点，证明为定值并求出该定值解析 23. （1）由已知，得 解得 所以椭圆的标准方程为 （2）设点，则中点为由已知，求得直线的方程为，从而又点在椭圆上，由，解得（舍），从而 所以点的坐标为 （3）设，三点共线，整理，得三点共线，整理，得点在椭圆上，从而 所以为定值，定值为24.（河北省唐山市20xx届高三第一次模拟考试）P为圆A: 上的动点，点B（1,0）. 线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为 （I）求曲线的方程； （II）当点P在第一象限，且cosBAP=时，求点M的坐标解析 24.（）圆A的圆心为A(1，0) ，半径等于2由已知|MB|MP|，于是|MA|MB|MA|MP|2，故曲线是以A，B为焦点，以2为长轴长的椭圆，a，c1，b1，曲线的方程为y21（）由cosBAP，|AP|2，得P(，) 于是直线AP方程为y (x1) 25.(福建省福州市20xx届高三毕业班质检) 动点到定点与到定直线, 的距离之比为 （）求的轨迹方程；（）过点的直线（与x轴不重合）与（）中轨迹交于两点、. 探究是否存在一定点E(t，0) ，使得x轴上的任意一点(异于点E、F) 到直线EM、EN的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由解析 25.（）由题意得, , 化简得, , 即, 即点的轨迹方程（）若存在点E(t，0) 满足题设条件. 并设M(x1，y1) 、N(x2，y2) ，当x轴时，由椭圆的对称性可知，x轴上的任意一点(异于点E、F) 到直线EM、EN的距离相等， 当与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x1) (k0) ，得，所以根据题意，x轴平分MEN，则直线ME、NE的倾斜角互补，即KMEKNE0设E(t，0) ，则有(当x1t或x2t时不合题意)又k0，所以，将y1k(x11) ，y2k(x21) 代入上式，得又k0，所以，即，将代入，解得t2综上，存在定点E(2，0) ，使得x轴上的任意一点(异于点E、F) 到直线EM、EN的距离相等26.(天津市蓟县邦均中学20xx届高三第一次模拟考试) 如图，在RtABC中，CAB=90，AB=2，AC=。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。 （1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程； （2）设直线l的斜率为k，若MBN为钝角，求k的取值范围。 解析 26.（1）以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A（1，0），B（1，0）由题设可得动点P的轨迹方程为，则曲线E方程为（2）直线MN的方程为由方程有两个不等的实数根MBN是钝角 即 解得：又M、B、N三点不共线 综上所述，k的取值范围是27.（辽宁省大连市高三第一次模拟考试）设离心率的椭圆的左、右焦点分别为，是轴正半轴上一点，以为直径的圆经过椭圆短轴端点，且该圆和直线相切，过点直线椭圆相交于相异两点、（）求椭圆的方程；（）若相异两点关于轴对称，直线交轴与点，求点坐标解析 27.（）设以为直径的圆经过椭圆短轴端点， 是以为直径的圆的圆心，该圆和直线相切，椭圆的方程为：（）法一：设点，则点，设直线的方程为，联立方程组化简整理得，由得则直线的方程为：，令，则点坐标为法二：设点，则点，设直线方程为由 得，由得直线的方程为：，令，则点坐标为，28.(湖北省武汉市20xx届高三2月份调研测试) 如图，矩形ABCD中，|AB|2，|BC|2E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，分别以HF，EG所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，已知，其中01（）求证：直线ER与GR的交点M在椭圆：y21上；（）若点N是直线l：yx2上且不在坐标轴上的任意一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，直线NF1和NF2与椭圆的交点分别为P、Q和S、T是否存在点N，使得直线OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT满足kOPkOQkOSkOT0？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由解析 28.（）由已知，得F(，0) ，C(，1) 由，得R(，0) ，R(，1) 又E(0，1) ，G(0，1) ，则29.(重庆市五区20xx届高三第一次学生学业调研抽测) 已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上的点满足，且的面积（）求椭圆的方程；（）是否存在直线，使与椭圆交于不同的两点、，且线段MN恰被直线平分？若存在，求出的斜率取值范围；若不存在，请说明理由解析 29.（）由题意知：，椭圆上的点满足，且，又椭圆的方程为（）假设这样的直线存在与直线相交，直线的斜率存在.设的方程为，由 得（*）直线与椭圆有两个交点，（*）的判别式，即设、，则 被直线平分，可知， 把代入，得，即，或即存在满足题设条件的直线，且的斜率取值范围是30.(天津市西青区20xx-20xx学年度高三上学期期末考试) 设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.（）求椭圆的标准方程；（）设分别为椭圆的左右顶点， 过点且斜率为的直线与椭圆交于两点. 若, 求的值.解析 30.（I）根据椭圆方程为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，=，离心率为，=，解得b=，c=1，a=椭圆的方程为；（II）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k26=0，x1+x2=，x1x2=，又A（，0），B（，0），=（x1+，y1）（x2y2）+（x2+，y2）（x1y1）=6（2+2k2）x1x22k2（x1+x2）2k2=6+=8，解得k=31.(吉林省长春市20xx届高中毕业班第二次调研测试) 如图，已知点是离心率为的椭圆：上的一点，斜率为的直线交椭圆于，两点，且、三点互不重合（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线，的斜率之和为定值解析 31.由题意，可得，代入得， 又， 解得，所以椭圆的方程. (2) 证明：设直线的方程为，又三点不重合，设，由得所以 设直线，的斜率分别为，则 (*) 将、式代入(*) ，整理得，所以，即直线的斜率之和为定值。 32.(山东省潍坊市20xx届高三3月模拟考试) 已知双曲线的焦距为，其中一条渐近线的方程为，以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为，过原点的动直线与椭圆交于、两点(I) 求椭圆的方程；() 若点为椭圆的左顶点，求的取值范围；(III) 若椭圆上的点满足，求证为定值解析 32.(I) 由双曲线的焦距为，则，所以，因为渐近线的方程为，所以，椭圆的方程为，() 若点为椭圆的左顶点，则，设，由，得，即解得所以，设则，因为，所以，所以的取值范围是，(III) 由，知在线段的垂直平分线上，由椭圆的对称性可知、关于原点对称，若、在椭圆的短轴顶点上，则点在椭圆的长轴顶点上，此时，同理若、在椭圆的长轴顶点上，则点在椭圆的短轴顶点上，此时，当、不是椭圆顶点时，设直线的方程为，则直线的方程为，设，由，解得，所以，用替换，得，所以，综上的定值为.33.（福建省政和一中、周宁一中20xx届高三第四次联考）椭圆C: 的两个焦点为F1, F2, 点P在椭圆C上，且.（）求椭圆C的方程；（）若直线l过圆M：x2+y2+4x-2y=0的圆心，交椭圆C于两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程。解析 33.解法一 () 依题可设椭圆方程为因为点P在椭圆C上，所以 ，则在中， 故,从而， 所以椭圆C的方程为（2）设的坐标分别为，已知圆的方程为，所以圆心的坐标为，从而可设直线的方程为，代入椭圆C的方程得，因为关于点对称，所以，且，所以直线的方程为，解法二 () 同解法一. () 已知圆的方程为，故圆心M为（2，1）. 设A，B的坐标分别为。 由题意 ， ，由得，因为关于点对称，所以，代入得，即直线的斜率，所以直线的方程为，即.34.（河北衡水中学20xx届高三上学期第五次调研）已知椭圆C的左、右焦点分别为，椭圆的离心率为，且椭圆C经过点（1）求椭圆C的标准方程；（2）若线段是椭圆过点的弦，且，求内切圆面积最大时实数的值.解析 34.（1），又, （2）显然直线不与轴重合, 当直线与轴垂直时，|=3，；当直线不与轴垂直时，设直线：代入椭圆C的标准方程，整理，得令所以由上，得所以当直线与轴垂直时最大，且最大面积为3设内切圆半径，则即，此时直线与轴垂直，内切圆面积最大所以，35.(河南省郑州市20xx届高中毕业班第一次质量预测) 已知ABC的两顶点坐标，圆E是ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，（从圆外一点到圆的两条切线段长相等），动点C的轨迹为曲线M(I) 求曲线M的方程；() 设直线BC与曲线M的另一交点为D，当点A在以线段CD为直径的圆上时，求直线BC的方程解析 35.（1）由题知所以曲线是以为焦点，长轴长为的椭圆（挖去与轴的交点），设曲线：，则，所以曲线：为所求.解：注意到直线的斜率不为，且过定点，设，由消得，所以，所以因为, 所以注意到点在以为直径的圆上, 所以, 即,所以直线的方程或为所求.36.（吉林市普通高中20xx20xx学年度高中毕业班上学期期末复习检测）已知圆锥曲线的焦点在轴上，离心率为，其上的动点满足,( I ) 求曲线的标准方程；( II ) 若曲线的一条切线交x、y轴正半轴交于两点，求的最小值和此时直线的方程.解析 36.(1) (2) 由已知直线的斜率存在且不为0，交x、y轴正半轴交于A、B两点可设方程为 消去得 当且仅当时等号成立，此时直线的方程. 37.(南京市、盐城市20xx届高三第一次模拟考试) 在平面直角坐标系中，已知过点的椭圆：的右焦点为，过焦点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点，点关于坐标原点的对称点为，直线，分别交椭圆的右准线于，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点的坐标为，试求直线的方程；（3）记，两点的纵坐标分别为，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.解析 37.（1）由题意，得，即，又，椭圆的标准方程为.（2），又， ，直线：，联立方程组，解得，直线：，即.（3）当不存在时，易得,当存在时，设，则，两式相减，得，令，则， 直线方程：， 直线方程：，又，所以为定值.38.（山东省济宁市20xx届高三上学期期末考试）已知椭圆的离心率为，且经过点A（0，）. （I）求椭圆的方程；（II）若过点的直线与椭圆交于M, N两点（M, N点与A点不重合），求证：以MN为直径的圆恒过A点；解析 38.（1）因为椭圆经过点，所以，因为，解得，所以椭圆的方程为. （2）证明：若过点的直线的斜率不存在，此时两点中有一个点与重合，不满足题目条件，所以直线的斜率存在，设斜率为，则的方程为，把代入椭圆方程得，设，则，因为，所以，所以，故以为直径的圆恒过A点. 39.(兰州市高三第一次诊断考试) 设椭圆的焦点分别为、，直线：交轴于点，且（1）试求椭圆的方程；（2）过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、四点（如图所示） 试求四边形面积的最大值和最小值解析 39.（1）由题意， 为的中点 即：椭圆方程为 （2）当直线与轴垂直时，此时，四边形的面积同理当与轴垂直时，也有四边形的面积 当直线，均与轴不垂直时，设: ，代入消去得： 设所以，所以，同理 所以四边形的面积令因为当，且S是以u为自变量的增函数，所以综上可知，故四边形面积的最大值为4，最小值为40.（上海市嘉定区20xx-20xx学年高三年级第一次质量检测）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，且点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆长轴上的一个动点，过作方向向量的直线交椭圆于、两点，求证：为定值解析 40.（1） 因为的焦点在轴上且长轴为，故可设椭圆的方程为（），因为点在椭圆上，所以， 解得， 所以，椭圆的方程为（2）设（），由已知，直线的方程是，由 （*） 设，则、是方程（*）的两个根，所以有， 所以，（定值） 所以，为定值41.（天津七校联考高三数学（文）学科试卷）已知椭圆的离心率为，右焦点为（, 0），斜率为1的直线与椭圆交与两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.（I）求椭圆的方程；（II）求的面积.解析 41.（）解：， ， （）解：设, 又，即 42.（重庆南开中学高20xx级高三1月月考)已知椭圆的离心率，左准线方程为。 （1）求椭圆的标准方程； （2）已知过椭圆上一点作椭圆的切线，切线方程为。现过椭圆的右焦点作斜率不为0的直线于椭圆交于两点，过分别作椭圆的切线。 证明：的交点在一条定直线上； 求面积的最小值。 解析 42. （1），则，所以； （2）证明：设直线，由两切线方程为，可解得交点的纵坐标为，而上两式作差得： ，将代入，可得，证得两切线交点在一定直线， 法二：设，则根据题意两条切线方程分别为，设交点，则，所以点都在直线上，即直线为，又过点，所以，即得点在定直线上； 法一：设直线，由，得， 所以， 由法一：到直线的距离，所以的面积为：， 令，则，令，在上，单调递减，所以当，即时， 法二. 由法二，设，则直线，之后作法如法一. 答案和解析文数答案 1.A解析 1.因为双曲线的渐近线为，与联立得，由渐近线与曲线相切得，又由的焦点为得，所以，双曲线的方程为.答案 2.A解析 2.因为抛物线的方程为，所以焦点坐标, 准线方程为，因为点到的距离为等于点到的距离，如图所示，当，三点共线时，折线段之和最小，其小值等于点点到的距离答案 3.C解析 3.设，则，所以表示半椭圆，要使方程无解，只需直线半椭圆无交点即可，当与相切时，联立得，由，得，如图所示结合图象知或.答案 4.C解析 4.设的交点为，因为 ，所以，即为的中点，设，得，由，得，所以，即，得，.答案 5.C解析 5.设直线，与联立得，由题意知答案 6.C解析 6.因为直线的方程为，所以与联立得，解得和（舍），所以答案 7.解析 7.当与定点和连线垂直时，最小，此时直线，此时直线的方程为，即与联立得，由，.答案 8.3解析 8.设因为抛物线的焦点为，所以直线的方程为，与联立消去得，因为点在第一象限，所以，因此答案 9.解析 9.因为，所以由抛物线的定义可知，不妨设，则直线的斜率，方程为与联立得得，所以.答案 10.解析 10.由题意知圆心到直线的距离为，所以曲线到直线的距离为，令得，代入得，所以点到的距离为，得或，当时，与相交，不符合题意，故舍去，所以.答案 11.（答案详见解析）解析 11.（1）椭圆C的方程为 （2）当直线x轴时，可得A（-1，-），B（-1，），AB的面积为3，不符合题意 当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为y=k（x+1）代入椭圆方程得：，显然0成立，设A，B，则，可得|AB|=又圆的半径r=，AB的面积=|AB| r=，化简得：17+-18=0，得k=1，r =，圆的方程为答案 12.（答案详见解析）解析 12.（）设动圆圆心坐标为，根据题意得，化简得.（）解法一：设直线的方程为，由消去得设，则，且以点为切点的切线的斜率为，其切线方程为即同理过点的切线的方程为设两条切线的交点为在直线上，解得，即则：，即，代入到直线的距离为当时，最小，其最小值为，此时点的坐标为.解法二：设在直线上，点在抛物线上，则以点为切点的切线的斜率为，其切线方程为即同理以点为切点的方程为设两条切线的均过点，则，点的坐标均满足方程，即直线的方程为：代入抛物线方程消去可得：到直线的距离为当时，最小，其最小值为，此时点的坐标为.答案 13.（答案详见解析）解析 13.解：由题意得解得c1，a22，所以b2a2c21 所以椭圆的方程为y21 （2）因为P(0，1) ，F1(1，0) ，所以PF1的方程为xy10解法二：当PQ斜率不存在时， 在y21中，令x1得y 所以，此时 当PQ斜率存在时，设为k，则PQ的方程是yk(x1) ， 由得(12k2) x24k2x2k220， 韦达定理 设P(x1，y1) ，Q(x2，y2) ， 则 的最大值为，此时答案 14.（答案详见解析）解析 14.（1）因为为抛物线的焦点，所以的坐标为，设，当直线的斜率为时，直线的方程为，代入抛物线的方程可得，则，则的中点坐标为，由可得直线的方程为，同理可得的中点坐标为，由，可得直线的方程为（2）直线过定点，设直线的方程为，代入抛物线的方程可得，故，则的中点坐标为，由可得直线的中点坐标为，令，得，此时，故直线过点，当时，同理，所以，所以三点共线，直线过定点.答案 15.（答案详见解析）解析 15.（1）设所求椭圆的标准方程为，由题意得，解得，得，所以所求椭圆方程为.（2）由椭圆的对称性，可设，又设是是椭圆上任意一点，则，所以当时，取得最小值，由题意得是椭圆上任意一点的距离最小点，设，因此当时，取得最小值，又，所以，由对称性知，故，所以，所以当时，的面积取得最大值.答案 16.（答案详见解析）解析 16.（1）设椭圆C的方程为，则，由，得，所以椭圆C的方程为，（2），则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为，则PB的斜率为，PA的直线方程为，设A（x1、y1），B（x2、y2）由将（1）代入（2）整理得，有同理PB的直线方程为，可得，从而=，所以的斜率为定值答案 17.（答案详见解析）解析 17.（1）由点在椭圆上得， 由 得，故椭圆的方程为（2）假设存在常数，使得.由题意可设 代入椭圆方程并整理得设，则有 在方程中，令得，从而. 又因为共线，则有，即有所以 = 将代入得，又，所以, 故存在常数符合题意答案 18.（答案详见解析）解析 18.（1）设直线为，联立椭圆方程可得 ，设点，则有，又，可得，即有， 整理可得（2）记的中点为，要使得为正三角形，当且仅当点在的垂直平分线上且, 现作于，则, 根据第二定义可得，则有，显然不成立，即不能存在.答案 19.（答案详见解析）解析 19.（1）由，椭圆C的标准方程为.得：，., , 即P.M.又Q，+=恒成立，故，即. 存在点M（1,0）适合题意.答案 20.（答案详见解析）解析 20.（）由题意知, 在中, 由得: 设为圆的半径, 为椭圆的半焦距因为所以又, 解得: , 则点的坐标为因为点在椭圆：上, 所以有又, 解得: 所求椭圆的方程为.() 由() 知椭圆的方程为由题意知直线的斜率存在, 故设其斜率为,则其方程为设, 由于, 所以有又是椭圆上的一点, 则解得所以直线的方程为或（）由题意知: : 由, 设根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为, 则直线的方程为把它代入椭圆的方程, 消去, 整理得: 由韦达定理得, 则, 所以线段的中点坐标为(1) 当时, 则有, 线段垂直平分线为轴于是由, 解得: (2) 当时, 则线段垂直平分线的方程为因为点是线段垂直平分线的一点令, 得: 于是由, 解得: 代入, 解得: 综上, 满足条件的实数的值为或.答案 21.（答案详见解析）解析 21.（）设椭圆的方程为,由已知得.设右焦点为，由题意得 .椭圆的方程为.（）直线的方程，代入椭圆方程, 得 设点则设、的中点为，则点的坐标为.点在线段的中垂线上.化简, 得.由得, 所以, 存在直线满足题意，直线的方程为或答案 22.（答案详见解析）解析 22.（1）由题意知设双曲线的标准方程为，由已知得，解得，因为，且的面积为1，所以，又，所以，所以，双曲线的标准方程为.（2）联立，得，显然，否则直线与双曲线只有一个交点，即，设则，因为以为直径的圆经过双曲线的右顶点，所以，即，所以，即，化简整理得，所以或，均满足，当时，直线的方程为，直线过定点，已知矛盾，当时，直线的方程为，直线过定点，符合题意所以直线过定点.答案 23.（答案详见解析）解析 23. （1）由已知，得 解得 所以椭圆的标准方程为 （2）设点，则中点为由已知，求得直线的方程为，从而又点在椭圆上，由，解得（舍），从而 所以点的坐标为 （3）设，三点共线，整理，得三点共线，整理，得点在椭圆上，从而 所以为定值，定值为答案 24.（答案详见解析）解析 24.（）圆A的圆心为A(1，0) ，半径等于2由已知|MB|MP|，于是|MA|MB|MA|MP|2，故曲线是以A，B为焦点，以2为长轴长的椭圆，a，c1，b1，曲线的方程为y21（）由cosBAP，|AP|2，得P(，) 于是直线AP方程为y (x1) 答案 25.（答案详见解析）解析 25.（）由题意得, , 化简得, , 即, 即点的轨迹方程（）若存在点E(t，0) 满足题设条件. 并设M(x1，y1) 、N(x2，y2) ，当x轴时，由椭圆的对称性可知，x轴上的任意一点(异于点E、F) 到直线EM、EN的距离相等， 当与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x1) (k0) ，得，所以根据题意，x轴平分MEN，则直线ME、NE的倾斜角互补，即KMEKNE0设E(t，0) ，则有(当x1t或x2t时不合题意)又k0，所以，将y1k(x11) ，y2k(x21) 代入上式，得又k0，所以，即，将代入，解得t2综上，存在定点E(2，0) ，使得x轴上的任意一点(异于点E、F) 到直线EM、EN的距离相等答案 26.（答案详见解析）解析 26.（1）以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A（1，0），B（1，0）由题设可得动点P的轨迹方程为，则曲线E方程为（2）直线MN的方程为由方程有两个不等的实数根MBN是钝角 即 解得：又M、B、N三点不共线 综上所述，k的取值范围是答案 27.（答案详见解析）解析 27.（）设以为直径的圆经过椭圆短轴端点， 是以为直径的圆的圆心，该圆和直线相切，椭圆的方程为：（）法一：设点，则点，设直线的方程为，联立方程组化简整理得，由得则直线的方程为：，令，则点坐标为法二：设点，则点，设直线方程为由 得，由得直线的方程为：，令，则点坐标为，答案 28.（答案详见解析）解析 28.（）由已知，得F(，0) ，C(，1) 由，得R(，0) ，R(，1) 又E(0，1) ，G(0，1) ，则答案 29.（答案详见解析）解析 29.（）由题意知：，椭圆上的点满足，且，又椭圆的方程为（）假设这样的直线存在与直线相交，直线的斜率存在.设的方程为，由 得（*）直线与椭圆有两个交点，（*）的判别式，即设、，则 被直线平分，可知， 把代入，得，即，或即存在满足题设条件的直线，且的斜率取值范围是答案 30.（答案详见解析）解析 30.（I）根据椭圆方程为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，=，离心率为，=，解得b=，c=1，a=椭圆的方程为；（II）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k26=0，x1+x2=，x1x2=，又A（，0），B（，0），=（x1+，y1）（x2y2）+（x2+，y2）（x1y1）=6（2+2k2）x1x22k2（x1+x2）2k2=6+=8，解得k=答案 31.（答案详见解析）解析 31.由题意，可得，代入得， 又， 解得，所以椭圆的方程. (2) 证明：设直线的方程为，又三点不重合，设，由得所以 设直线，的斜率分别为，则 (*) 将、式代入(*) ，整理得，所以，即直线的斜率之和为定值。 答案 32.（答案详见解析）解析 32.(I) 由双曲线的焦距为，则，所以，因为渐近线的方程为，所以，椭圆的方程为，() 若点为椭圆的左顶点，则，设，由，得，即解得所以，设则，因为，所以，所以的取值范围是，(III) 由，知在线段的垂直平分线上，由椭圆的对称性可知、关于原点对称，若、在椭圆的短轴顶点上，则点在椭圆的长轴顶点上，此时，同理若、在椭圆的长轴顶点上，则点在椭圆的短轴顶点上，此时，当、不是椭圆顶点时，设直线的方程为，则直线的方程为，设，由，解得，所以，用替换，得，所以，综上的定值为.答案 33.详见解析 解析 33.解法一 () 依题可设椭圆方程为因为点P在椭圆C上，所以 ，则在中， 故,从而， 所以椭圆C的方程为（2）设的坐标分别为，已知圆的方程为，所以圆心的坐标为，从而可设直线的方程为，代入椭圆C的方程得，因为关于点对称，所以，且，所以直线的方程为，解法二 () 同解法一. () 已知圆的方程为，故圆心M为（2，1）. 设A，B的坐标分别为。 由题意 ， ，由得，因为关于点对称，所以，代入得，即直线的斜率，所以直线的方程为，即.答案 34.详见解析 解析 34.（1），又, （2）显然直线不与轴重合, 当直线与轴垂直时，|=3，；当直线不与轴垂直时，设直线：代入椭圆C的标准方程，整理，得令所以由上，得所以当直线与轴垂直时最大，且最大面积为3设内切圆半径，则即，此时直线与轴垂直，内切圆面积最大所以，答案 35.详见解析 解析 35.（1）由题知所以曲线是以为焦点，长轴长为的椭圆（挖去与轴的交点），设曲线：，则，所以曲线：为所求.解：注意到直线的斜率不为，且过定点，设，由消得，所以，所以因为, 所以注意到点在以为直径的圆上, 所以, 即,所以直线的方程或为所求.答案 36.详见解析 解析 36.(1) (2) 由已知直线的斜率存在且不为0，交x、y轴正半轴交于A、B两点可设方程为 消去得 当且仅当时等号成立，此时直线的方程. 答案 37.详见解析解析 37.（1）由题意，得，即，又，椭圆的标准方程为.（2），又， ，直线：，联立方程组，解得，直线：，即.（3）当不存在时，易得,当存在时，设，则，两式相减，得，令，则， 直线方程：， 直线方程：，又，所以为定值.答案 38.详见解析解析 38.（1）因为椭圆经过点，所以，因为，解得，所以椭圆的方程为. （2）证明：若过点的直线的斜率不存在，此时两点中有一个点与重合，不满足题目条件，所以直线的斜率存在，设斜率为，则的方程为，把代入椭圆方程得，设，则，因为，所以，所以，故以为直径的圆恒过A点. 答案 39.详见解析 解析 39.（1）由题意， 为的中点 即：椭圆方程为 （2）当直线与轴垂直时，此时，四边形的面积同理当与轴垂直时，也有四边形的面积 当直线，均与轴不垂直时，设: ，代入消去得： 设所以，所以，同理 所以四边形的面积令因为当，且S是以u为自变量的增函数，所以综上可知，故四边形面积的最大值为4，最小值为答案 40.详见解析解析 40.（1） 因为的焦点在轴上且长轴为，故可设椭圆的方程为（），因为点在椭圆上，所以， 解得， 所以，椭圆的方程为（2）设（），由已知，直线的方程是，由 （*） 设，则、是方程（*
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