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【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1.【20xx新课标全国】已知两个单位向量,的夹角为,若,则_.【答案】2；【解析】,故,故.2.【20xx全国卷1理】已知为圆上的三点,若,则与的夹角为_【答案】3.【20xx全国卷1卷文】设分别为的三边的中点,则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在中,同理,则4【20xx全国卷1】设为所在平面内一点,则（ ）.A BC D【答案】A【解析】由题可得,所以,所以故选A5【20xx全国卷2】设向量不平行,向量与平行,则实数 【答案】 【解析】根据向量平行的条件,因为向量与平行,所以,则有解得,所以6.【20xx全国卷1】已知是双曲线上的一点,是的两个焦点,若,则的取值范围是（ ）.A B C D【答案】A【热点深度剖析】从近几年的高考试题来看,向量的运算,向量的几何意义,平面向量基本定理,向量的数量积,向量的坐标运算及向量共线的坐标表示,及向量的数量积及运算律,向量垂直的充要条件是高考的热点,题型既有选择题、填空题,有时也涉及解答题,往往和解析几何结合出题,函数等结合出题,与三角结合出大题在新课标卷中还没涉及,而对向量的数量积及运算律的考查多为一个小题；另外作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到整个命题过程紧扣课本,重点突出,有时考查单一知识点；有时通过知识的交汇与链接,全面考查向量的数量积及运算律等内容20xx年文理为同一道题目,求向量的模,考查向量的数量积公式,难度较低；20xx年新课标高考理对向量的考查平面向量基本定理,难度中等,文科则考查向量的几何运算,较为简单；20xx年全国卷两套试卷各有一题考查向量的线性运算,难度较低,全国卷1还有一道与圆锥曲线的综合题,难度中等.向量试题属于中、低档题目,常与向量的数量积运算等交汇命题,主要考查向量的坐标运算及向量共线条件的应用同时又注重对函数与方程、转化、化归等思想方法的考查预测20xx年高考将以向量的坐标运算、向量共线的坐标表示,向量的数量积,向量的平行,垂直为主要考点.另外还有注意向量与平面几何、三角、解析几何知识交汇问题【重点知识整合】（1）两个向量的夹角：对于非零向量,作,称为向量,的夹角,当0时,同向,当时,反向,当时,垂直.（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量,它们的夹角为,我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积）,记作：,即.规定：零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量.（3）在上的投影为,它是一个实数,但不一定大于0.（4）的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积.（5）向量数量积的性质：设两个非零向量,其夹角为,则：；当,同向时,特别地,；当与反向时,；当为锐角时,0,且不同向,是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时,0,且不反向,是为钝角的必要非充分条件；非零向量,夹角的计算公式：；.2、向量的运算：（1）几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”进行,但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量,如此之外,向量加法还可利用“三角形法则”：设,那么向量叫做与的和,即；向量的减法：用“三角形法则”：设,由减向量的终点指向被减向量的终点.注意：此处减向量与被减向量的起点相同.（2）坐标运算：设,则：向量的加减法运算：,.实数与向量的积：.若,则,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.平面向量数量积：.向量的模：.3、向量的运算律：（1）交换律：,；(2)结合律：,；（3）分配律：,.提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律,即,为什么？4、向量平行(共线)的充要条件：0.如(13)设,则k_时,A,B,C共线.5、向量垂直的充要条件： .特别地.【应试技巧点拨】1.如何利用向量的几何表示三角形的各种心向量的几何表示是高考的热点问题,特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材,常见的结论如下：为的重心,特别地为的重心；是BC边上的中线AD上的任意向量,过重心；等于已知AD是中BC边的中线.为的垂心；是ABC的边BC的高AD上的任意向量,过垂心. 的内心；向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线).为的外心.2.向量与平行四边形相关的结论向量的加法的几何意义是通过平行四边形法则得到,其应用非常广泛.在平行四边形中,设,则有以下的结论：通过这个公式可以把共同起点的两个向量进行合并；若,可判断四边形为平行四边形；若对角线相等或邻边垂直,则平行四边形为矩形；对角线垂直.则平行四边形为菱形；说明平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和；,特别地,当同向或有；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).3. 向量平行和垂直的重要应用向量平行和垂直的重要应用,是高考的热点.命题方向有两点：一是利用已知条件去判断垂直或平行；二是利用平行或垂直的条件去确定参数的值.需牢固掌握判断的充要条件.（1）向量平行(共线)的充要条件：0;（2）向量垂直的充要条件：. 4.一个共线结论：是平面内不同4点,则共线,且.5.向量运算问题的两大处理思路向量运算包括几何运算和坐标运算.利用几何运算就是充分利用加法和减法的几何含义,以及一些具有几何含义的式子,进行化简、转化向量的计算.利用坐标运算,实际上就是转化为代数问题,即向量问题坐标化.树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几何问题,特别是处理向量的相关位置关系时,要正确运用共线向量和平面向量的基本定理,去计算向量的模、两点的距离等.由于向量作为工具,它往往会与三角函数、数列、不等式、解析几何等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点.5.如何恰当的选择向量的数量积的公式求向量的数量积的公式有两个：一是定义式；二是坐标式.定义式的特点是具有强烈的几何含义,需要明确两个向量的模及夹角,夹角的求解方法灵活多样,一般通过具体的图形可确定,因此采用数形结合思想是利用定义法求数量积的一个重要途径.坐标式的特点具有明显的代数特征,解题时需要引入直角坐标系,明确向量的坐标进行求解.即向量问题“坐标化”,使得问题操作起来容易、方便.6.如何判断三角形形状给出三角形边相关的向量关系式,判断三角形的形状是一个热点题型.此类题的关键是对给定的关系式恰当的去化简,变形,整理.最终能够说明三角形的形状.常用的技巧有：（1）利用向量加减法的运算可以合并或分解.（2）利用拆、添、减项等技巧,对式子进行变形化简.（3）利用一些常见的结论进行判断. 【考场经验分享】1求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角关系是钝角2.如果高考单独考查向量的运算,如代数或几何运算,一般试题难度较低,位置较为靠前,一般为选择题的前8题,或填空题的前2题,此时应为的全分题,如果向量和其它知识相结合,考查最值等问题,一般会出现在后几道选择题中,难度较大,此时应充分考虑向量的几何意义,或坐标法表示进行解决,在利用坐标法解决问题时,可考虑一般问题特殊化,即恰当的建立坐标系,将问题转化为代数运算,如果探求一些范围问题,适当的代值验证是一个良策.【名题精选练兵篇】1【20xx届陕西省西安一中等八校高三下联考】已知为正三角形内一点,且满足,若的面积与的面积比值为3,则的值为（ ）A3 B C1 D2【答案】B2【20xx届辽宁省沈阳东北育才学校高三上二模】已知非零向量满足 ,若函数 在R 上存在极值,则和夹角的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】,设和夹角为,因为有极值,所以,即,即,所以3【20xx届四川省成都市七中高三考试】在中,且,点满足,则（ ）A2 B3 C4 D6【答案】B【解析】如下图所示,过点作于,则,所以,故选B.4【20xx届河北省衡水中学高三下学期一模】已知平面直角坐标系内的两个向量,且平面内的任一向量都可以唯一的表示成（为实数）,则的取值范围是（ ）A B C D【答案】D5【20xx届宁夏六盘山高中高三第二次模拟】向量且,则（ ）A B C D【答案】A【解析】由题意得,因为,则,即,又,故选A6【20xx届重庆市巴蜀中学高三3月月考】已知是单位圆上的两点,为圆心,且,是圆的一条直径,点在圆内,且满足,则的最小值为（ ）A B C D【答案】C【解析】因为,所以,即,又,所以点在线段上,且,所以,又因为,所以,所以的最小值为,故选C.7【20xx届福建省漳州市高三下学期第二次模拟】已知两个单位向量,的夹角为,则下列结论不正确的是（ ）（A）在方向上的投影为 （B）（C） （D）【答案】8【20xx届河南省八市重点高中高三4月质检】已知平面向量满足,则的取值范围为（ ）A B C D【答案】D【解析】如图,设由题意由 ,可知即,即,即,设,由可知即,由知,则,在和中,可知,又,则,将,代入,当且仅当故,故选D9【20xx届广东省肇庆市高三上期末】设向量=（1,2）,=（3,2）,若表示向量3,2,的有向线段首尾相接能构成三角形,则=（ ）A4 B4 C8 D8【答案】B10【20xx届四川省成都七中高三下学第三次周练】已知抛物线（）的焦点为,直线与该抛物线交于、两点,是线段的中点,过作轴的垂线,垂足为,若,则的值为（ ）A B C1 D2【答案】B【解析】如图所示,设,则,联立与消可得,而,由,可推得,联立,可解得,故选B.11【20xx届四川省成都七中高三下学第三次测试】已知点是边长为2的正方形的内切圆内（含边界）一动点,则的取值范围是（ ）A B C D【答案】C12【20xx届河北省邯郸一中高三下第一次模拟】设向量是相互垂直的单位向量,向量与垂直,则实数_【答案】【解析】由于向量与垂直,所以,又因为向量是相互垂直的单位向量,所以,进而可得,故答案填.13【20xx届江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研二】在平面直角坐标系中,设点,若不等式对任意实数都成立,则实数的最大值是 【答案】【解析】由题意得：,对任意实数都成立,因此,即对任意实数都成立,即,对任意实数都成立,即,即,实数的最大值是 14 【20xx届青海省平安一中高三4月月考】设为单位向量,若为平面内的某个向量,则；若与平行,则；若与平行且,则.上述命题中,假命题个数是 【答案】15【20xx届河北省衡水中学高三下学期一模考试】在直角坐标系中,已知点和点,若点在的平分线上,且,则 .【答案】【解析】由题意得,设与交于点,则,即分有向线段所成的比为,所以,即,因为,所以,即点的坐标为.16【20xx届宁夏六盘山高中高三第二次模拟】已知向量是单位向量,向量,若,则,的夹角为_.【答案】【名师原创测试篇】1. 已知是以为圆心的单位圆上的动点,且,则（ ）A B C D【答案】B【解析】由已知,所以,故选2.已知、为平面向量,若与的夹角为,与的夹角为,则A B C D 【答案】D【解析】如图所示,在三角形中,由下正弦定理得,故选D3. 的外接圆半径为1,圆心为,且,则的值为（ ）A B C D【答案】A4. 若,均为单位向量,且,则,的夹角大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为,均为单位向量,所以,所以,所以,因为与共线,所以,的夹角大小为.选C.5如图,在中,则_.【答案】【解析】在中,又正弦定理可得,可得,又因为6 如图,在同一平面内,点位于两平行直线的同侧,且到的距离分别为1,3点分别在,则的最大值是 【答案】【解析】
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