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1 1第三讲不等式及线性规划 必记公式1a2b22ab(取等号的条件是当且仅当ab)2ab2(a，bR)3. (a0，b0)42(a2b2)(ab)2(a，bR，当ab时等号成立)重要结论1不等式的四个性质注意不等式的乘法、乘方与开方对符号的要求，如(1)ab，c0acbc，ab，c0acb0，cd0acbd.(3)ab0anbn(nN，n1)(4)ab0(nN，n2)2四类不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2bxc0(a0)，再求相应一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集(2)简单分式不等式的解法0(0(1时，af(x)ag(x)f(x)g(x)；当0aag(x)f(x)1时，logaf(x)logag(x)f(x)g(x)且f(x)0，g(x)0；当0alogag(x)f(x)0，g(x)0.3判断二元一次不等式表示的平面区域的方法在直线AxByC0的某一侧任取一点(x0，y0)，通过Ax0By0C的符号来判断AxByC0(或AxByC0)所表示的区域失分警示1忽略限制条件致误：应用不等式的性质时，要注意限制条件2注意符号成立的条件：用基本不等式求最值时，若连续进行放缩，只有各等号成立的条件保持一致时，结论的等号才成立3忽略基本不等式求最值的条件致误：利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可4解分式不等式时，直接把分母乘到另一边，不注意分母的取值范围致误5线性目标函数的斜率与可行域的边界斜率大小分不清6yx中截距符号弄反，导致平移时上下方向错误 考点不等式的性质及解法典例示法典例1(1)20xx合肥质检函数f(x)x23xa，g(x)2xx2，若f(g(x)0对x0,1恒成立，则实数a的取值范围是()Ae，) Bln 2，)C2，) D.解析本题主要考查二次函数与指数函数的性质如图所示，在同一坐标系中画出yx21，y2x，yx2的图象，由图象可知，在0,1上，x212xx2恒成立，即12xx2，当且仅当x0或x1时等号成立，1g(x)，f(g(x)0f(1)013a0a2，即实数a的取值范围是2，)，故选C.答案C(2)20xx山东高考已知实数x，y满足axay(0a Bln (x21)ln (y21)Csinxsiny Dx3y3解析因为0a1，axy.对于选项A，取x2，y1，则，显然A错误；对于选项B，取x1，y2，则ln (x21)sin，显然C错误；对于选项D，若xy，则x3y3一定成立，故选D.答案D求解不等式的方法(1)对于一元二次不等式，应先化为一般形式ax2bxc0(a0)，再求相应一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解(3)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解针对训练120xx石家庄质检(二)函数f(x)若f(x0)，则x0的取值范围是()A.B.C.D.答案C解析当0x01时，2x0，x0log2，0x0log2.当1x02时，42x0，x0，x02，故选C.220xx江苏高考已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_答案解析要满足f(x)x2mx10对于任意xm，m1恒成立，只需即解得m0，b0，abb2a2，当且仅当b2a时成立，ab2.解法二：由题设易知a0，b0，2，即ab2，当且仅当时，取等号，选C.答案C题型2基本不等式的综合应用典例3已知点A(0，1)，B(3,0)，C(1,2)，平面区域P是由所有满足(2m,2a)若1，则mxny(mxny)1(mxny)manb2(字母均为正数)分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值.即化为ymf(A,g(x)Bg(x)(A0，B0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值.考点简单的线性规划问题典例示法题型1知约束条件求目标函数最值典例420xx天津高考设变量x，y满足约束条件则目标函数z2x5y的最小值为()A4 B6C10 D17解析解法一：如图，已知约束条件所表示的平面区域为图中所示的三角形区域ABC(包含边界)，其中A(0,2)，B(3,0)，C(1,3)根据目标函数的几何意义，可知当直线yx过点B(3,0)时，z取得最小值23506.解法二：由题意知，约束条件所表示的平面区域的顶点分别为A(0,2)，B(3,0)，C(1,3)将A，B，C三点的坐标分别代入z2x5y，得z10,6,17，故z的最小值为6.答案B题型2知最值求参数典例520xx山东高考已知x，y满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a()A3 B2C2 D3解析画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数zaxy的最大值为4，即目标函数对应直线与可行域有公共点时，在y轴上的截距的最大值为4，作出过点D(0,4)的直线，由图可知，目标函数在点B(2,0)处取得最大值，故有a204，解得a2.故选B.答案B解决线性规划问题应关注三方面(1)首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决(2)画可行域时应注意区域是否包含边界 (3)对目标函数zAxBy中B的符号，一定要注意B的正负与z的最值的对应，要结合图形分析提醒：目标函数是线性时，目标函数的几何意义与直线的截距有关；若目标函数形如z，可考虑(x，y)与(a，b)两点连线的斜率；若目标函数形如z(xa)2(yb)2，可考虑(x，y)与(a，b)两点距离的平方全国卷高考真题调研120xx全国卷若x，y满足约束条件则的最大值为_答案3解析作出可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，在点A(1,3)处，取得最大值3.220xx全国卷某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元答案216000解析由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润z2100x900y，线性约束条件为作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由xN，yN，可知取得最大值时的最优解为(60,100)，所以zmax210060900100216000(元)其它省市高考题借鉴320xx山东高考若变量x，y满足则x2y2的最大值是()A4 B9C10 D12答案C解析作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设P(x，y)为平面区域内任意一点，则x2y2表示|OP|2.显然，当点P与点A重合时，|OP|2，即x2y2取得最大值由解得故A(3，1)所以x2y2的最大值为32(1)210.故选C.420xx陕西高考设f(x)ln x,0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()Aqrp Bprp Dprq答案B解析0a，又f(x)ln x在(0，)上单调递增，故f()p，r(f(a)f(b)(ln aln b)lnfp，prb0，cd B. D.答案D解析解法一：cd00b，则ac2bc2B若，则abC若a3b3且abD若a2b2且ab0，则答案C解析当c0时，可知A不正确；当cb3且ab0且b成立，C正确；当a0且b0，bcad0，则0；若ab0，0，则bcad0；若bcad0，0，则ab0.其中正确命题的个数是()A0 B1C2 D3答案D解析对于，ab0，bcad0，0，正确；对于，ab0，又0，即0，bcad0，正确；对于，bcad0，又0，即0，ab0，正确故选D.320xx浙江金华期中若对任意的x0,1，不等式1kx1lx恒成立，则一定有()Ak0，l Bk0，lCk，l Dk，l答案D解析当k1且x0,1时，1kx1x1,2，不等式1kx不恒成立，可排除A、B；当k且x0,1时，1kx1x，不等式1kx不恒成立，排除C，故选D.4已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是()A(，0 B(，1C2,1 D2,0答案D解析由题意作出y|f(x)|的图象：当a0时，yax与yln (x1)的图象在x0时必有交点，所以a0.当x0时，|f(x)|ax显然成立；当x0时，|f(x)|x22x，|f(x)|ax恒成立ax2恒成立，又x20时，x2x2，00，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a()A. B.C1 D2答案B解析画出可行域，如图所示，由得A(1，2a)，则直线yz2x过点A(1，2a)时，z2xy取最小值1，故212a1，解得a.720xx陕西高考某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元 B16万元C17万元 D18万元答案D解析设该企业每天生产甲产品x吨、乙产品y吨，每天获得的利润为z万元，则有z3x4y，由题意得x，y满足：不等式组表示的可行域是以O(0,0)，A(4,0)，B(2,3)，C(0,4)为顶点的四边形及其内部根据线性规划的有关知识，知当直线3x4yz0过点B(2,3)时，z取最大值18，故该企业每天可获得最大利润为18万元820xx山东潍坊模拟一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c(0,1)，已知他投篮一次得分的均值为2，的最小值为()A. B.C. D.答案D解析由题意得3a2b2，3 32，当且仅当a，b时取等号故选D.920xx兰州双基过关已知AC、BD为圆O：x2y24的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，)，则四边形ABCD 面积的最大值为()A5 B10C15 D20答案A解析如图，作OPAC于P，OQBD于Q，则OP2OQ2OM23，AC2BD24(4OP2)4(4OQ2)20.又AC2BD22ACBD，则ACBD10，S四边形ABCDACBD105，当且仅当ACBD时等号成立，四边形ABCD面积的最大值为5.1020xx山东菏泽一模已知直线axbyc10(b，c0)经过圆x2y22y50的圆心，则的最小值是()A9 B8C4 D2答案A解析圆x2y22y50化成标准方程，得x2(y1)26，所以圆心为C(0,1)因为直线axbyc10经过圆心C，所以a0b1c10，即bc1.因此(bc)5.因为b，c0，所以2 4.当且仅当时等号成立由此可得b2c，且bc1，即b，c时，取得最小值9.二、填空题11已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)x24x.那么，不等式f(x2)5的解集是_答案(7,3)解析f(x)是偶函数，f(x)f(|x|)又x0时，f(x)x24x，不等式f(x2)5f(|x2|)5|x2|24|x2|5(|x2|5)(|x2|1)0|x2|50|x2|55x257x0，b0)的最大值为10，则a2b2的最小值为_答案解析因为a0，b0，所以由可行域得，当目标函数zaxby过点(4,6)时取最大值，则4a6b10.a2b2的几何意义是直线4a6b10上任意一点到点(0,0)的距离的平方，那么最小值是点(0,0)到直线4a6b10距离的平方，即a2b2的最小值是.1320xx辽宁沈阳质检若直线l：1(a0，b0)经过点(1,2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是_答案32解析直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b.求直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值即求ab的最小值由直线l经过点(1,2)得1.于是ab(ab)1(ab)3，因为2 2，所以ab32.1420xx广东实验中学模拟已知函数f(x)若对任意的xR，不等式f(x)m2m恒成立，则实数m的取值范围是_答案1，)解析对于函数f(x)当x1时，f(x)2；当x1时，f(x)logx0.则函数f(x)的最大值为.则要使不等式f(x)m2m恒成立，则m2m恒成立，即m或m1.
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