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1 1第四篇平面向量(必修4) 第1节平面向量的概念及线性运算 课时训练 练题感 提知能【选题明细表】知识点、方法题号平面向量的基本概念3、5平面向量的线性运算1、2、4、8、9、11、13共线向量问题6、7、16综合问题10、12、14、15A组一、选择题1.(20xx泉州模拟)已知P,A,B,C是平面内四点,且PA+PB+PC=AC,那么一定有(D)(A)PB=2CP(B)CP=2PB(C)AP=2PB(D)PB=2AP解析:PA+PB+PC=AC,PA+PB=AC-PC=AC+CP=AP,PB=2AP.故选D.2.如图所示,D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点,则(A) (A)AD+BE+CF=0(B)BD-CF+DF=0(C)AD+CE-CF=0(D)BD-BE-FC=0解析: AD+BE+CF=12AB+12BC+12CA=12(AB+BC+CA)=0.故选A.3.给出下列命题:两个具有公共终点的向量,一定是共线向量.两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.a=0(为实数),则必为零.,为实数,若a= b,则a与b共线.其中错误的命题的个数为(C)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:错误,两向量共线要看其方向而不是起点或终点.正确,因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小.错误,当a=0时,不论为何值,a=0.错误,当=0时,a= b=0,此时,a与b可以是任意向量.故选C.4.(20xx广东深圳中学阶段测试)在四边形ABCD中,ABCD,AB=3DC,E为BC的中点,则AE等于(A) (A)23AB+12AD(B)12AB+23AD(C)56AB+13AD(D)13AB+56AD解析:BC=BA+AD+DC=-23AB+AD,AE=AB+BE=AB+12BC=AB+12(AD-23AB)=23AB+12AD.故选A.5.设a、b都是非零向量,下列四个条件中,使a|a|=b|b|成立的充分条件是(D)(A)|a|=|b|且ab(B)a=-b(C)ab (D)a=2b解析:a|a|表示与a同向的单位向量,b|b|表示与b同向的单位向量,a与b必须方向相同才能满足a|a|=b|b|.故选D.6.已知向量a,b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三点是(A)(A)A、B、D(B)A、B、C(C)B、C、D(D)A、C、D解析:AD=AB+BC+CD=3a+6b=3AB.因为AB与AD有公共点A,所以A、B、D三点共线.故选A.7.已知向量a,b不共线,c=ka+b(kR),d=a-b,如果cd,那么(D)(A)k=1且c与d同向(B)k=1且c与d反向(C)k=-1且c与d同向(D)k=-1且c与d反向解析:由题意可设c=d,即ka+b=(a-b).(-k)a=(+1)b.a, b不共线,-k=0,+1=0.k=-1.c与d反向.故选D.二、填空题8.(20xx广东茂名一中模拟)如图所示,正六边形ABCDEF中,BA+CD+EF等于.解析:BA+CD+EF=BA+AF-BC=BF-BC=CF.答案:CF9.(20xx年高考四川卷)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AB+AD=AO,则=.解析:因为O为AC的中点, 所以AB+AD=AC=2AO,即=2.答案:210.在ABCD中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M为BC的中点,则MN=(用a,b表示).解析:MN=MC+CN=12AD-14AC=12b-14(a+b)=-14a+14b.答案:-14a+14b11.如图所示,在ABC中,点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若AB=mAM,AC=nAN,则m+n的值为.解析:O是BC的中点,AO=12(AB+AC).又AB=mAM,AC=nAN,AO=m2AM+n2AN.M、O、N三点共线,m2+n2=1.m+n=2.答案:2三、解答题12.设点O在ABC内部,且有4OA+OB+OC=0,求ABC与OBC的面积之比. 解:取BC的中点D,连接OD,则OB+OC=2OD,4OA+OB+OC=0,4OA=-(OB+OC)=-2OD,OA=-12OD.O、A、D三点共线,且|OD|=2|OA|,O是中线AD上靠近A点的一个三等分点,SABCSOBC=32.13.如图所示,在ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=23AD,AB=a,AC=b.用a,b表示向量AD,AE,AF,BE,BF.解:延长AD到G,使AD=12AG,连接BG,CG,得到ABGC,所以AG=a+b, AD=12AG=12(a+b),AE=23AD=13(a+b),AF=12AC=12b,BE=AE-AB=13(a+b)-a=13(b-2a),BF=AF-AB=12b-a=12(b-2a).B组14.(20xx石家庄二模)如图,在ABC中,AN=12NC,P是BN上的一点,若AP=mAB+29AC,则实数m的值为(C) (A)3(B)1(C)13(D)19解析:设BP=BN(R),则AP=AB+BP=AB+BN=AB+(AN-AB)=AB+13AC-AB=(1-)AB+13AC,则1-=m,13=29,解得m=13,故选C.15.(20xx长春市第四次调研改编)如图,平面内有三个向量OA,OB,OC,其中OA与OB的夹角为120,OA与OC的夹角为30,且|OA|=2,|OB|=32,|OC|=23,若OC=OA+OB(,R),则=.解析:过C作CDOB交OA延长线于D,在OCD中,COD=30, OCD=90,OC=23,OD=4,CD=2OD=2OA,DC=43OB.OC=OD+DC=2OA+43OB.=2,=43,=32.答案:3216.设e1,e2是两个不共的线向量,已知AB=2e1-8e2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2.(1)求证:A、B、D三点共线;(2)若BF=3e1-ke2,且B、D、F三点共线,求k的值.(1)证明:由已知得BD=CD-CB=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,AB=2e1-8e2,AB=2BD.又AB与BD有公共点B,A、B、D三点共线.(2)解:由(1)可知BD=e1-4e2,BF=3e1-ke2,且B、D、F三点共线,BF=BD(R),即3e1-ke2=e1-4e2,得=3,-k=-4.解得k=12.
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