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1 1高三数学33个黄金考点总动员【考点剖析】1.最新考试说明：（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数（2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解2.命题方向预测：（1）考查具体函数的零点个数和零点的取值范围. （2）利用函数零点求解参数的取值范围. （3）考查函数零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化思想和数形结合思想3.课本结论总结：（1）几个等价关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点（2）函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数yf(x)在区间（a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根（3）二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系：000)的图象与x轴的交点（x1,0）,(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个（二重的）零个（4）给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；求区间(a，b)的中点c；计算f(c)；(i)若f(c)0，则c就是函数的零点；ii)若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；(iii)若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)判断是否达到精确度.即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复.4.名师二级结论：（）二次函数f(x)ax2bxc(a0)的零点分布情况根的分布(mnp为常数)图象满足的条件x1x2m (两根都小于m)mx1x2 (两根都大于m)x1mx2 (一根大于m，一根小于m)f(m)0x1，x2(m，n) (两根位于m，n之间)mx1nx2p (两根分别位于m与n，n与p之间)只有一根在m，n之间或f(m)f(n)0（）有关函数零点的重要结论：(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变，也可能改变(4)函数至多有个零点5.课本经典习题：(1) 新课标A版必修一第88页，例1 求函数的零点的个数。答案：仅有一个零点【经典理由】函数零点个数的判断是高考命题的热点。(2) 【课本典型习题改编，P119B组第1题】方程的解所在的区间是()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)【经典理由】判断方程的根所在的大致范围这也是高考命题的一个热点，在教学中应引起足够的重视6.考点交汇展示：(1)函数的零点与三角函数交汇例1【解析团队学易高考冲刺金卷36套预测卷】若关于的方程在区间上有唯一的实数解，则的取值范围为 .【答案】【解析】原方程可变形为，易知函数在上单调递增，在上单调递减，方程时，有，即考点：1.方程解的个数问题; 2.与函数的单调性或函数图象的交点(2) 函数的零点与不等式交汇例2【20xx高考湖南，理15】已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 .【答案】.考点:1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想. (3) 函数的零点与函数的最值、极值等交汇例3【新课标第套预测卷】 已知命题：函数在内恰有一个零点；命题：函数在上是减函数.若且为真命题,则实数的取值范围是( ). A.B.C.D.或【答案】C考点：1、函数的零点；2、函数的单调性；3、复合命题的真假.例4【高考原创预测卷（江苏版）】(本小题满分16分)设函数的图像关于坐标原点对称，且与轴相切.（1） 求的值；（2） 是否存在实数使函数在区间上的值域仍是区间？解：（1）因为的图像关于坐标原点对称，所以恒成立，即，于是令则由得因为当时，所以函数在区间上是单调增函数，从而函数在区间上至多有一个零点.又因为当时，所以函数在区间上是单调减函数，于是，所以函数在区间上没有零点.故此时不存在.综上所述，不存在实数使函数在区间上的值域仍是区间. 16分考点：函数与方程思想 【考点分类】热点1函数零点的求解与判断1. 【20xx山东高考理第8题】 已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】考点：函数与方程，函数的图象.2. 【20xx高考安徽，理15】设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 .（写出所有正确条件的编号） ；.【答案】【解析】令，求导得，当时，所以单调递增，且至少存在一个数使，至少存在一个数使，所以必有一个零点，即方程仅有一根，故正确；当时，若，则，易知，在上单调递增，在上单调递减，所以，要使方程仅有一根，则或者，解得或，故正确.所以使得三次方程仅有一个实 根的是.考点:1函数零点与方程的根之间的关系；2.函数的单调性及其极值.3. 【20xx天津高考理第14题】已知函数，若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为_【答案】考点:方程的根与函数的零点【方法规律】1方程的根(从数的角度看)、函数图象与x轴的交点的横坐标(从形的角度看)、函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式2函数零点的判断：(1)解方程：当对应方程易解时，可通过先解方程，看方程是否有根落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理进行判断：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf（x）在区间（a，b）内必有零点.(3) 数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断【解题技巧】1函数零点的求法：（代数法）求方程的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。确定函数的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理:首先看函数在区间上的图象是否连续,再看是否有.若有,则函数在区间内必有零点.(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.确定方程在区间上根的个数的方法(1)解方程法:当对应方程易解时,可先解方程,看求得的根是否落在区间上再判断.(2)数形结合法:通过画函数与的图象,观察其在区间上交点个数来判断.函数零点个数的判断方法(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数，其步骤是：(1)令；(2)构造，；(3)作出图像；(4)由图像交点个数得出结论【易错点睛】1.函数零点忽视单调性的存在。例如：若函数f(x)在区间2,2上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(2,2)内有一个零点，则f(2)f(2)的值()A大于0 B小于0 C等于0 D不能确定解答：若函数f(x)在(2,2)内有一个零点，该零点可分两种情况：(1)该零点是变号零点，则f(2)f(2)0，因此选D.易错警示： 警示1：错误认为该零点是变号零点；警示2：不知道非变号零点这种情况方法剖析：方程的根或函数零点的存在性问题，可以根据区间端点处的函数值的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处函数值的正负，作出正确判断本题的解答错误在于没有正确理解函数零点的含义及存在性，事实上，当f(x)在(2,2)内有一个零点时，f(2)f(2)的符号不能确定2.要注意对于在区间a，b上的连续函数f(x)，若x0是f(x)的零点，却不一定有f(a)f(b)0，即f(a)f(b)时，即或时，有两个公共点；当=时，即或时，有一个公共点；当时,即时，没有公共点 .（）当时，函数有两个零点.当=时，即或时，有一个公共点；
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