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1 1专题3 导数一选择题1.【2008年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷7】若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是 （ ）A.-1，+ B.（-1，+） C.（-，-1） D.（-，-1）2. 【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷9】设球的半径为时间t的函数。若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径（ ）A.成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C C.成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C 3.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137衰变过程中，其含量M(太贝克/年)与时间t(单位：年)满足函数关系：，其中M0为t=0时铯137的含量，已知t=30时，铯137含量的变化率为-10ln2(太贝克/年)，则M（60）=（ ） A. 5太贝克 B. 75ln2太贝克 C. 150ln2太贝克 D. 150太贝克【答案】A【解析】试题分析：，因为t=30时，铯137含量的变化率为-10ln2，所以，故.4.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷3】已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为（ ）yxO第3题图A B C D 5. 【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷7】一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度（的单位：，的单位：）行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离（单位;）是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：令 ，则。汽车刹车的距离是，故选C.6. 【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】已知为常数，函数有两个极值点，则（ ）A. B. C. D. 7. 【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷6】若函数、满足，则称、在区间上的一组正交函数，给出三组函数：；.其中为区间的正交函数的组数是（ ）A.0 B.1 C.2 D.3二填空题1.【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷14】已知函数则的值为 .【答案】1【解析】试题分析：因为所以，故.三解答题1.【2006年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷】设是函数的一个极值点.（）、求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（）、设，。若存在使得成立，求的取值范围.2.【2008年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷20】水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为V（t）=（）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以i-1tt表示第1月份（i=1,2,12）,同一年内哪几个月份是枯水期？（）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）.【解析】（）当0t10时，V(t)=(-t2+14t-40)，化简得t2-14t+400,解得t4，或t10，又0t10，故0t4.当10t12时，V（t）4（t-10）（3t-41）+5050,化简得（t-10）（3t-41）0,解得10t，又10t12,故 10t12.综合得0t4,或10t12,故知枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月.()()知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.由V（t）= 令V(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).当t变化时，V(t) 与V (t)的变化情况如下表：t(4,8)8(8,10)V(t)+0-V(t)极大值由上表，V(t)在t8时取得最大值V(8)8e2+50-108.52(亿立方米).故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米.考点：本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力.3.【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷21】在R上定义运算（b、c为实常数）。记，.令.如果函数在处有极什,试确定b、c的值；求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点；记的最大值为.若对任意的b、c恒成立，试示的最大值。【解析】（I），由在处有极值可得解得或若，则，此时没有极值；若，则当变化时，的变化情况如下表：10+0极小值极大值当时，有极大值，故，即为所求.考点：本小题主要考查函数、函数的导数和不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想.4. 【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷17】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。（）求k的值及f(x)的表达式。（）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。当隔热层修建厚时， 总费用达到最小值为70万元.考点：本题主要考察函数、导数等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.5.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷21】（）已知函数求函数的最大值；（）设均为正数，证明：（1）若，则（2）若，则。6【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷22】（）已知函数，其中为有理数，且. 求的最小值；（）试用（）的结果证明如下命题： 设，为正有理数. 若，则；（）请将（）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.注：当为正有理数时，有求导公式.7.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷22】设是正整数，为正有理数.（I）求函数的最小值；（II）证明：；（III）设，记为不小于的最小整数，例如，.令，求的值.（参考数据：，）【证明】（I）在上单减，在上单增。（III）由（II）可知：当时， .8.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷22】为圆周率，为自然对数的底数.（1）求函数的单调区间；（2）求，这6个数中的最大数与最小数；（3）将，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.由得，即，亦即，所以，又由得，即，所以，综上所述，即6个数从小到大的顺序为，.考点：导数法求函数的单调性、单调区间，对数函数的性质，比较大小.9. 【2015高考湖北，理22】已知数列的各项均为正数，为自然对数的底数（）求函数的单调区间，并比较与的大小；（）计算，由此推测计算的公式，并给出证明；（）令，数列，的前项和分别记为, 证明：. 【答案】（）的单调递增区间为，单调递减区间为. ；（）详见解析；（）详见解析.【解析】（）的定义域为，.当，即时，单调递增；当，即时，单调递减. 故的单调递增区间为，单调递减区间为. 当时，即.令，得，即. （）；.由此推测： 下面用数学归纳法证明. （1）当时，左边右边，成立.
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