新编全国通用高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题28 几何证明选讲含解析

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【走向高考】(全国通用)20xx高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题28 几何证明选讲(含解析)一、填空题1(文)如图,在ABC中,A60,ACB70,CF是ABC的边AB上的高,FPBC于点P,FQAC于点Q,则CQP的大小为_答案50解析由PFBC,FQAC,得C、Q、F、P四点共圆,所以CQPCFPB180(AC)180(6070)50.(理)如图,已知PA是圆O的切线,切点为A,PO交圆O于B、C两点,AC,PAB30,则线段PB的长为_答案1解析因为PA是圆O的切线,PAB30,由弦切角定理可得ACBPAB30,而CAB90,ABC60,所以ABBC,又因为AC,所以AB1,BC2,PBA120,所以APBPAB30,PBAB1.2(文)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且DFCF,AFFBBE421.若CE与圆相切,则线段CE的长为_答案解析设BEa,则AF4a,FB2a,根据相交弦定理:DFFCAFFB,则28a2,a2,由切割线定理:EC2BEAE7a2,EC2,EC.(理)(20xx湖南理,12)如图,已知AB、BC是O的两条弦,AOBC,AB,BC2,则O的半径等于_答案解析本题考查勾股定理、相交弦定理设线段AO交BC于点D,延长AO交圆于另外一点E,则BDDC,在三角形ABD中由勾股定理可得AD1,由相交弦定理可得BDDCADDE,DE2,则直径AE3r,故填.3(20xx湖北理,15)如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,且BC3PB,则_.答案解析设PBa,则BC3a,由PA2PBPC可得PA2a;又因为PAB PCA,所以由可解得.故本题正确答案为.4(文)如图,AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,PB与圆O相交于D,若PA3,PDDB916,则PD_,AB_.答案,4解析由于PDDB916,设PD9a,则DB16a,根据切割线定理有PA2PDPB有a,所以PD,在直角PBA中,AB2PB2AP216,所以AB4.(理) (20xx重庆理,14)如图,圆O的弦AB,CD相交于点E,过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P,若PA6,AE9,PC3,CEED21,则BE_.答案2解析此题主要考查切割线定理,属于简单题型由切割线定理知PA2PCPD,易得PD12,故CDPDPC9,因为CEED21,故CE6,ED3.由相交弦定理可得AEEBCEED,又因为AE9,CE6,ED3,易得EB2.5(文)(20xx广东理,15)如图,已知AB是圆O的直径,AB4,EC是圆O的切线,切点为C,BC1.过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于点D和点P,则OD_.答案8解析本题考查直线与圆、直角三角形的射影定理,属于中档题如下图所示,连接OC,因为ODBC,又BCAC,所以OPAC,又O为AB线段的中点,所以OPBC,在RtOCD中,OCAB2,由直角三角形的射影定理可得OC2OPOD,所以OD8.(理)在平行四边形ABCD中,点E在线段AB上,且AEEB,连接DE、AC,若AC与DE相交于点F,AEF的面积为1cm2,则AFD的面积为_cm2.答案3解析ABCD,AEFCDF,3,3,SAFD3SAFE3cm2.6(文)如图,ABC为圆的内接三角形,BD为圆的弦,且BDAC过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.若ABAC,AE6,BD5,则线段CF的长为_答案解析如图所示:AE为圆的切线,AE2BEED,设BEx,36x(5x),x25x360,x4.ABAC,ACBABC,又EABACB,EABABC,AEBC,又EBAC,四边形BCAE为平行四边形,BCAE6,ACBE4,DFBAFC,FC.(理)如图,在ABC中,ACB90,BAC60,过C作ABC的外接圆的切线CD,BDCD于D,BD与外接圆交于点E,已知DE5,则ABC的外接圆的半径为_答案10解析利用切割线定理和正弦定理求解因为CD是圆的切线,所以BCDBAC60,所以DBDC又由切割线定理可得DC2DEDB5DC,则DC5,所以BC2DC10.在直角三角形ABC中,由正弦定理可得2RAB20,所以ABC的外接圆的半径R10.二、解答题7. (20xx辽宁葫芦岛市一模)如图,P是O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与O相交于点B,C,PC2PA,D为PC的中点,AD的延长线交O于点E,证明: (1)BEEC;(2)ADDE2PB2.证明(1)连接AB,AC由题设知PAPD,故PADPDA因为PDADACDCA,PADBADPAB,DCAPAB,所以DACBAD,因此BEEC(2)由切割线定理得PA2PBPC因为PAPDDC,所以PD2(PDBD)2PD,PD2BD,DC2PB,BDPB由相交弦定理得ADDEBDDC,所以ADDE2PB2.8(文)(20xx沈阳市质检)如图,ABC内接于圆O,AD平分BAC交圆O于点D,过点B作圆O的切线交直线AD于点E.(1)求证:EBDCBD;(2)求证:ABBEAEDC解析(1)BE为圆O的切线,EBDBAD,又AD平分BAC,BADCAD,EBDCAD又CBDCAD,EBDCBD(2)在EBD和EAB中,EE,EBDEAB,EBDEAB,ABBEAEBD,又AD平分BAC,BDDC,故ABBEAEDC(理)(20xx唐山市二模)如图,E是圆O内两弦AB和CD的交点,过AD延长线上一点F作圆O的切线FG,G为切点,已知EFFG.求证:(1)DEFEAF;(2)EFCB分析(1)欲证DEFEAF,可证两个三角形有两内角对应相等,亦可证两个三角形有两边对应成比例,夹角对应相等,由已知条件,FG、FA分别是圆的切线、割线及EFFG可知两个三角形有两条边对应成比例,关键是其夹角相等,而夹角是公共角,第一问获证(2)欲证EFCB,由圆想到可证角相等(同位角、内错角),注意利用圆的有关角的性质和(1)的结论解析(1)由切割线定理得FG2FAFD又EFFG,所以EF2FAFD,即.因为EFADFE,所以DEFEAF.(2)由(1)得FEDFAE.因为FAEDABDCB,所以FEDBCD,所以EFCB9(文) (20xx洛阳市质量监测)如图,AB是O的切线,B为切点,ADE是O的割线,C是O外一点,且ABAC,连接BD,BE,CD,CE,CD交O于F,CE交O于G.(1)求证:BECDBDCE;(2)求证:FGAC证明(1)由已知得ABDAEB,而BADEAB,ABDAEB,所以,又ABAC,所以BDAEABBE,且,又CADEAC,ADCACE,所以,即DCAEACCE.由两式相除可得BECDBDCE.(2)由ADCACE得,ACDAEC,又D,F,G,E四点共圆,GFCAEC,因此GFCACD,所以FGAC(理)(20xx河南八市质量监测)已知BC为圆O的直径,点A为圆周上一点,ADBC于点D,过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P,过点B作BE垂直PA的延长线于点E.求证:(1)PAPDPEPC;(2)ADAE.证明(1)因为ADBP,BEAP,所以APDBPE,所以,所以APPEPDPB,又因为PA,PB分别为圆O的切线和割线,所以PA2PBPC,所以,所以PAPDPEPC(2)连接AC,DE,因为BC为圆O的直径,所以BAC90,即ABAC,因为,所以ACDE,所以ABDE,又因为BEAP,ADPB,所以A,D,B,E四点共圆且AB为直径,又因为ABDE,所以ADAE.10圆的两条弦AB、CD交于点F,从F点引BC的平行线和直线DA的延长线交于点P,再从点P引这个圆的切线,切点是Q.求证:PFPQ.分析要证PFPQ,因为PQ为圆的切线,PQ2PAPD,故只须证PF2PAPD,观察图形及条件可以发现,PF与PA在APF中,PF与PD在EPD中,若能证得这两个三角形相似,则问题获解,由于两个三角形有公共角APF,只须再找一角相等即可由圆的几何性质不难证得AFPADF,故APFFPD证明因为A、B、C、D四点共圆,所以ADFABC因为PFBC,所以AFPABC,所以AFPADF.又因为APFFPD,所以APFFPD,所以,所以PF2PAPD因为PQ与圆相切,所以PQ2PAPD所以PF2PQ2,所以PFPQ.11(文)如图,CD为ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为弦AB与弦AC上的点,且BCAEDCAF,B、E、F、C四点共圆(1)证明:CA是ABC外接圆的直径;(2)若DBBEEA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值解析(1)因为CD为ABC外接圆的切线,所以DCBA,由题设知,故CDBAEF,所以DBCEFA因为B、E、F、C四点共圆,所以CFEDBC,故EFACFE90,所以CBA90,因此CA是ABC外接圆的直径(2)连接CE,因为CBE90,所以过B、E、F、C四点的圆的直径为CE,由DBBE,有CEDC,又BC2DBBA2DB2,所以CA24DB2BC26DB2.而CE2DC2DBDA3DB2,故过B、E、F、C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为.(理)(20xx唐山市一模)如图,AE是圆O的切线,A是切点,ADOE于D,割线EC交圆O于B、C两点(1)证明:O、D、B、C四点共圆;(2)设DBC50,OBC30,求OEC的大小分析(1)由EA、EC分别为切线和割线,可利用切割线定理,由EA为切线,ADEO,在RtEOA中可利用射影定理,这样可得到边的比例关系式要证O、D、B、C四点共圆,只需证明对角互补或外角等于内对角,结合条件与结论可考虑证明三角形相似,即BDEOCE.(2)给出DBC与OBC的大小,欲求OEC的大小,由外角定理OECDBCBDE,由OBOC知OBCOCB,沟通两者的桥梁是(1)的结论,BDEOCB,于是获解解析(1)连接OA、OC,则OAEA由射影定理得EA2EDEO.由切割线定理得EA2EBEC,故EDEOEBEC,即,又OECOEC,所以BDEOCE,所以EDBOCE.因此O,D,B,C四点共圆(2)因为OECOCBCOE180,结合(1)得OEC180OCBCOE180OBCDBE180OBC(180DBC)DBCOBC20.12(文) (20xx江西质量监测)如图,D,E分别为ABC的边AB,AC上的点,且不与ABC的顶点重合已知ADABAEAC(1)求证:B,C,D,E四点共圆;(2)若三角形ABC是边长为3的正三角形,且AD1,求B,C,D,E四点所在圆的半径解析(1)因为ADABAEAG,所以,所以ADEACB,所以ADEACB,又ADEBDE180,所以ACBBDE180,所以B,C,D,E四点共圆(2)依题意:BCED是等腰梯形,且高为,设B,C,D,E四点所在圆的半径为r,则,解得r,B,C,D,E四点所在圆的半径为.(理)(20xx唐山市一模)如图,圆周角BAC的平分线与圆交于点D,过点D的切线与弦AC的延长线交于点E,AD交BC于点F.(1)求证:BCDE;(2)若D,E,C,F四点共圆,且,求BAC解析(1)证明:因为EDCDAC,DACDAB,DABDCB,所以EDCDCB,所以BCDE.(2)解:因为D,E,C,F四点共圆,所以CFACED,由(1)知ACFCED,所以CFAACF.设DACDABx,因为,所以CBABAC2x,所以CFAFBAFAB3x,在等腰ACF中,CFAACFCAF7x,则x,所以BAC2x.方法点拨这一部分主要命题方式是将圆的有关角、比例线段或圆内接四边形和三角形相似结合,求角,求线段长等,注意依据条件和结论选择思维方向,如:给出切线时,常作辅助线是作过切点的半径,考虑方向是切割线定理,直角三角形射影定理、弦切角与圆周角的互化等;给出平行线时,主要考虑角的关系及三角形相似;有关圆的问题,求线段长时,常考虑相交弦定理、切割线定理、射影定理、垂径定理;证明比例线段,主要通过三角形相似
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