大学物理：第三章刚体力学

本章要点本章要点 刚体运动的描述刚体运动的描述 定轴转动定律定轴转动定律 转动动能转动动能 力矩的功力矩的功 角动量守恒定律角动量守恒定律第一节第一节 刚体运动的描述刚体运动的描述刚体刚体(rigid body)：在运动过程中在运动过程中形状和大小都不变的物体形状和大小都不变的物体。研究刚体的运动，可以将刚体看成在运动过程中，研究刚体的运动，可以将刚体看成在运动过程中，任意两质点之间的相对位置保持不变的任意两质点之间的相对位置保持不变的质点系质点系。平动平动(translation)： 刚体在运动过程中，刚体在运动过程中，其上任意两点的连线其上任意两点的连线始终保持平行。始终保持平行。可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。转动转动(rotation)：刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。转转动又分定轴转动和非定轴转动动又分定轴转动和非定轴转动 .刚体的平面运动刚体的平面运动 . . 刚体的一般运动刚体的一般运动：质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+圆周运动是一般曲线运动的一个特例，曲率半径恒为圆周运动是一般曲线运动的一个特例，曲率半径恒为r。dtdva rvan20arvaan2设：质点作半径为设：质点作半径为 r 的圆周运动的圆周运动 质点所在的位矢质点所在的位矢与与 x 轴的夹角轴的夹角 角位移角位移：角位置角位置 ：质点从质点从A到到B位位矢转过的角度矢转过的角度规定：规定： 逆时针转向逆时针转向为正为正顺时针转向顺时针转向为负为负角速度角速度 ：)srad(10limdtdtt角加速度：角加速度：)srad(20limdtdttRB sxoA O xP角坐标角坐标角位移角位移OP z角速度的大小：角速度的大小：0limtdtdt 由右手螺旋法由右手螺旋法则确定。右手弯曲的四指沿转动则确定。右手弯曲的四指沿转动方向，伸直的大拇指即为角速度方向，伸直的大拇指即为角速度的方向。的方向。角速度角速度 的方向：的方向：P点线速度与角速度的关系：点线速度与角速度的关系：kdtdO xPz, k沿沿 Z 轴正方向轴正方向若若O xPz, k对于定轴转动对于定轴转动2tnarar刚体各质元的角量相同，线量一般不同。刚体各质元的角量相同，线量一般不同。对刚体的运动描述，要注意角量、线量的特点。对刚体的运动描述，要注意角量、线量的特点。1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； 2） 任一质点运动任一质点运动 均相同，但均相同，但 不同；不同；3） 运动描述仅需一个坐标运动描述仅需一个坐标 ., a, v定轴转动的定轴转动的特点特点 角量与线量的关系角量与线量的关系tervrtevt2nrrararsvtana2tnarerea匀变速转动公式匀变速转动公式 刚体刚体绕绕定轴作匀变速转动定轴作匀变速转动质点质点匀变速直线运动匀变速直线运动at0vv22100attxxv)(20202xxa vv0t22002 () 21002tt 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动匀变速转动 . 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比例例6、一飞轮作匀变速转动，、一飞轮作匀变速转动，3s内转过内转过234rad，角速度，角速度在在3s末达到末达到108rad/s。求角加速度和初角速度。求角加速度和初角速度。解解由匀变速转动运动方程：由匀变速转动运动方程：2012tt0t消去消去0，并代入数值，可得角加速度：，并代入数值，可得角加速度：2222()2(1083234)20 rad/s3tt 进而可求得初角速度：进而可求得初角速度：010820348 rad/st例、某发动机飞轮半径为例、某发动机飞轮半径为1m，在，在10s内由内由1500r/min增加增加到到3000r/min。假设转动是匀加速转动，求（。假设转动是匀加速转动，求（1）角加速）角加速度大小。（度大小。（2）在此时间内，飞轮转了多少转。（）在此时间内，飞轮转了多少转。（3） t = 5s时，飞轮边缘上一点的速度与加速度。时，飞轮边缘上一点的速度与加速度。解解210100505(rad/s )10t（2 2）10s10s内，飞轮的角位移：内，飞轮的角位移：201750 (rad)2/2375(r)ttN（1）由匀变速转动运动方程：）由匀变速转动运动方程：飞轮边缘上一点飞轮边缘上一点P的速度大小：的速度大小：235.6(m/s)vr（3）t = 5s时，时，075t该点的切向加速度和法向加速度该点的切向加速度和法向加速度2242224215.7(m/s )5.55 10 (/)5.55 10 (m/s )tntnararm saaadP要改变刚体的转动状态，不仅要有力，而且与力的大小、方向要改变刚体的转动状态，不仅要有力，而且与力的大小、方向和作用点都有关。和作用点都有关。sinMFdFr力矩是矢量力矩是矢量MrF 单位：NmM FrzFdF例如：下图中力例如：下图中力F 的方向不在转动平面内，可以沿的方向不在转动平面内，可以沿两个方向分解：两个方向分解：力矩方向沿定轴，可用力矩方向沿定轴，可用正、负表示正、负表示方向。方向。一对相互作用力对同一转轴的力距之和为零。一对相互作用力对同一转轴的力距之和为零。几个力同时作用在刚体上，它们的合力矩就是各力的几个力同时作用在刚体上，它们的合力矩就是各力的力矩的矢量和或代数和。力矩的矢量和或代数和。M dPiFif把刚体看作一个质点系，对其上把刚体看作一个质点系，对其上P P处处的第的第 i 个质点个质点 mi，分析其受力：，分析其受力：合外力矩：合外力矩：iiFrM合内力矩：合内力矩：0iifr加加 速速 度：度：iitinaaa()iiiiiitinFfmam aa 应用牛顿运动定律，进行化简：应用牛顿运动定律，进行化简：ir对上式两边操作对上式两边操作 后，再对所有质点求和，并后，再对所有质点求和，并注意到注意到 ，可以得到：，可以得到：ir 0iinra2()iiiiiiiitiniii iitirFrfrm aarFmramr2i iJmr 其中其中J为转动惯量为转动惯量(moment of inertia) ：转动定律：转动定律：MJ2iirmJ刚体为连续体，则：刚体为连续体，则：22Jr dmrdV J 的单位：的单位：kgm2。它与刚体对给定转轴的质量分布有关。它与刚体对给定转轴的质量分布有关。特别要注意：特别要注意： 转动惯量与转轴的位置有关。转动惯量与转轴的位置有关。 转动惯量具有可相加性。转动惯量具有可相加性。刚体为离散体，则：刚体为离散体，则：2 对质量线分布的刚体：对质量线分布的刚体：质量线密度：质量线密度lmdd2 对质量面分布的刚体：对质量面分布的刚体：质量面密度：质量面密度Smdd2 对质量体分布的刚体：对质量体分布的刚体：质量体密度：质量体密度Vmdd：质量元：质量元md 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量mrrmJjjjd22计算质量为计算质量为 m ，长为，长为 l 的细棒绕通过其端点的的细棒绕通过其端点的垂直轴的转动惯量。垂直轴的转动惯量。oxzdxdmxdmrJ2dxlmdxdmllxlmdxlmxJ030231231mlJ 解解一质量为一质量为 m ，半径为，半径为 R 的均匀圆盘，求通过盘的均匀圆盘，求通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。ordrRrdrdm2dmrJ2drr32RdrrJ03242122RmR解解平行轴定理平行轴定理 若刚体若刚体对过质心的轴对过质心的轴的转动惯量为的转动惯量为 Jc ，则刚体，则刚体对与该轴相距为对与该轴相距为 d 的平行轴的平行轴 z 的转动惯量的转动惯量 Jz 是是2mdJJcz221mRJc2221mRmRJz223mRmzJcJ垂直轴定理垂直轴定理ozyxyxzJJJ竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？质量质量 m = 16 kg 、半径为、半径为 R = 0.15 m 的实心滑轮的实心滑轮,一根细绳绕在其上，绳端挂一质量为一根细绳绕在其上，绳端挂一质量为 m 的物体。求的物体。求（1）由静止开始）由静止开始 1 秒钟后，物体下降的距离。秒钟后，物体下降的距离。（2）绳子的张力。）绳子的张力。maTmg212T RJmRRa 解解mmRTmgT116540 N2T 22115 12.5 m22hat -28 105m s288mgamMmmRTmgT刚体中任一质元刚体中任一质元 mi 动能动能2222121iiiirmvm因此，刚体的转动动能：因此，刚体的转动动能：22222121iiiikrmrmE221JEkivircos cos sin dAFdsFrdFrdMd21MdA功率为：功率为：dAdPMMdtdtFrddrdJddtdJMddA2122212121JJdJdAA合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。21222121JJA关于保守力、势能、机械能等的分析，同样适用于刚体。关于保守力、势能、机械能等的分析，同样适用于刚体。1. .确定研究对象。确定研究对象。2. .受力分析，确定作功的力矩。受力分析，确定作功的力矩。3. .确定始末两态的动能，确定始末两态的动能，Ek0、Ek。4. .列方程求解。列方程求解。例例1：一细杆质量为一细杆质量为m，长度，长度为为l，一端固定在轴上，静止，一端固定在轴上，静止从水平位置摆下，求细杆摆从水平位置摆下，求细杆摆到铅直位置时的角速度。到铅直位置时的角速度。0kkEEWg gmolm,解：解：以杆为研究对象，以杆为研究对象，只有重力产生力矩，只有重力产生力矩，且重力矩随摆角变化且重力矩随摆角变化而变化。而变化。重力矩作功重力矩作功：900MdW重900cos2dlmgmgl21始末两态动能：始末两态动能： 212JEk由动能定理：由动能定理：0kkEEW021212Jmgl231mlJ22)31(2121mlmgllg30 0kE, ,g gmolm,本题可用机械能守恒定律计算本题可用机械能守恒定律计算例例2：质量为质量为m、半、半径为径为R 的圆盘，以的圆盘，以初角速度初角速度0在摩擦在摩擦系数为系数为 的水平面上的水平面上绕质心轴转动，绕质心轴转动，oRm0解：解：以圆盘为研究对象，只有摩擦力矩作功。以圆盘为研究对象，只有摩擦力矩作功。始末两态动能：始末两态动能：, 21200JEk摩擦力矩的功：摩擦力矩的功：将圆盘分割成无限多个圆环将圆盘分割成无限多个圆环0 kE问：圆盘转动几圈后静止。问：圆盘转动几圈后静止。oRm0drr每个圆环产生的摩擦力矩，每个圆环产生的摩擦力矩，dmgrdM阻圆盘的面密度为：圆盘的面密度为：2Rm圆环的质量为：圆环的质量为：dSdm整个圆盘产生的摩擦力矩，整个圆盘产生的摩擦力矩，阻阻dMMRmg 32Rdmgr0Rdrrg022rdr2摩擦力矩的功：摩擦力矩的功：dMW阻阻Rdmg320由动能定理：由动能定理：0kkEEWRmgJ4320则转过的角度：则转过的角度：则转过的圈数：则转过的圈数：2n202132JRmg221mRJ其中其中Rmg32gR16320一质量为一质量为 M 、半径、半径 R 的实心滑轮的实心滑轮, ，一根细绳，一根细绳绕在其上，绳端挂有质量为绕在其上，绳端挂有质量为 m 的物体。问物体由静的物体。问物体由静止下落高度止下落高度 h 时，其速度为多大？时，其速度为多大？MmRTmgTh解解解得：解得：亦可：亦可：MmRTmgThcoBA2220111 221()3 3 33 339mmlJlmllg232916mllmg一质量为一质量为 m 、长为、长为 l 的均质细杆，转轴在的均质细杆，转轴在 O 点，点，距距A端端 l/3 。杆从静止开始由水平位置绕。杆从静止开始由水平位置绕O点转动。求：点转动。求：（1）水平位置的角速度和角加速度。）水平位置的角速度和角加速度。 （2）垂直位置时的角速度和角加速度。垂直位置时的角速度和角加速度。解解机械能守恒机械能守恒00 62120lmgJcoBA势能零点势能零点OcoBA 00 sin62120lmgJ势能零点势能零点O可以求出任意位置的角速度和角加速度。可以求出任意位置的角速度和角加速度。EE0其中其中221mvE例：例：如图所示的物体系中，劲度系数为如图所示的物体系中，劲度系数为 k的弹簧开始时的弹簧开始时处在原长，定滑轮的半径为处在原长，定滑轮的半径为 R、转动惯量为、转动惯量为 J，质量为，质量为 m 的物体从静止开始下落的物体从静止开始下落, ,求求下落下落 h 时物体的速度时物体的速度 v。221Jmgh221kxkRJ,hm解：解：在物体在物体 m 下落过下落过程中只有重力和弹力程中只有重力和弹力保守力作功，物体系保守力作功，物体系机械能守恒。机械能守恒。EE0选择弹簧原长为弹性选择弹簧原长为弹性 0 势点，物体下势点，物体下落落 h 时为重力时为重力 0 势点。势点。221mvmgh221J221khRv求解得求解得22/2RJmkhmghv角动量角动量(angular momentum)是用来描述物体绕某定点是用来描述物体绕某定点（轴）旋转的机械运动量（轴）旋转的机械运动量odrpmv质点对质点对o o 点的角动量点的角动量sinLpdmvrLrprmv角动量是矢量角动量是矢量odrpmvLrprmv角动量单位角动量单位L2iii ii iLmv rm r 2i iLm rJ 方向沿定轴，可用方向沿定轴，可用正、负表示正、负表示方向。方向。LivrimL对刚体中质元对刚体中质元 mi 的的角动量：角动量：因此整个刚体的角动量：因此整个刚体的角动量： LJ即：oJL 转动定律：转动定律：MJddLMJJdtdt作定轴转动的刚体所受的合外力矩等于刚体的作定轴转动的刚体所受的合外力矩等于刚体的角动量随时间的变化率。角动量随时间的变化率。 适用范围更广！适用范围更广！ dLMdt即：dtLdM2112ttLLdtM21ttMdt 是力矩在是力矩在t1 到到t2时间内的冲量矩时间内的冲量矩。质量为质量为 m1 和和 m2 的两物体，分别挂在两条绳上，的两物体，分别挂在两条绳上，绳绕在鼓轮上（如图所示）。已知鼓轮的转动惯量绳绕在鼓轮上（如图所示）。已知鼓轮的转动惯量为为J，求两物体的加速度。，求两物体的加速度。m1m2系统角动量为系统角动量为：JRmRmL222211m1gm2gQm1m2T1T21111amTgm2222amgmTJRTRT221111Ra 22Ra m1gm2gQ一半径为一半径为 R 、质量为、质量为 m 的均匀圆盘平放在粗糙的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初速度为的水平面上。若它的初速度为 o ，绕中心，绕中心O旋转，旋转，问经过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为问经过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为 ）oRdrrrdmgrdFdM2222RmrdrdrrRmdm222RdrgrmdMmgRRdrmgrdMMR322022oR2112ttLLdtMtJmgRdt00032若系统合外力矩为零，若系统合外力矩为零，则系统的角动量守恒。则系统的角动量守恒。 自然界重要的普遍规律自然界重要的普遍规律const. , 0 , 0LdtLdM例例 一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂双臂伸直水平地举起二哑铃伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中到胸前的过程中,人、哑铃与转动平台组成的系统的人、哑铃与转动平台组成的系统的（A）机械能守恒）机械能守恒 , 角动量守恒角动量守恒;（B）机械能守恒）机械能守恒 , 角动量不守恒角动量不守恒,（C）机械能不守恒）机械能不守恒 , 角动量守恒角动量守恒;（D）机械能不守恒）机械能不守恒 , 角动量不守恒角动量不守恒.例例12、 一长为一长为 l ，质量为，质量为 M 的杆可绕支点的杆可绕支点O自由转动。自由转动。一质量为一质量为 m ，速度为，速度为 v 的子弹射入距支点为的子弹射入距支点为 a 的棒内，的棒内，若棒偏转角为若棒偏转角为 30,问子弹的初速度为多少问子弹的初速度为多少?角动量守恒（过程角动量守恒（过程1 1）22 31malMmva机械能守恒（过程机械能守恒（过程2 2）2221 1 1cos301cos302 32lM lmamgaMg oav3030解解由此即可求得子弹的初速度由此即可求得子弹的初速度v. .教材教材P.29P.29例题例题1-81-8也是应用角动量守恒的例子。也是应用角动量守恒的例子。例：例：在光滑水平桌面上放置一个静止的质在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为量为 M、长为、长为 2l 、可绕中心转动的细杆，、可绕中心转动的细杆，有一质量为有一质量为 m 的小球以速度的小球以速度 v0 与杆的一与杆的一端发生完全弹性碰撞，求小球的反弹速度端发生完全弹性碰撞，求小球的反弹速度 v 及杆的转动角速度及杆的转动角速度 。0v vmlM2 ,o解：解：在水平面上，在水平面上，碰撞过程中系统角碰撞过程中系统角动量守恒，动量守恒，LL0Jmlvmlv0（1）弹性碰撞机械能守恒，弹性碰撞机械能守恒，2220212121Jmvmv（2 2）联立联立(1)、(2)式求解式求解mMvMmv3)3(0lmMmv)3(60注意没有关系：注意没有关系：lv0v vmlM2 ,oooGoddLL陀螺受合外力矩：陀螺受合外力矩：dLMrGdt 注意其方向，并且注意其方向，并且 的方向要与之一致！的方向要与之一致！dL下一时刻的角动量：下一时刻的角动量：LLdL由此决定了陀螺的进动方向！由此决定了陀螺的进动方向！oGzLd , dddsin dLMtM tLL 由进动角速度进动角速度ddsinpMtLddLLoGzLo设右图中的刚体回转仪处于平设右图中的刚体回转仪处于平衡状态，现将重物衡状态，现将重物左移左移。则飞。则飞轮进动的方向如何？轮进动的方向如何？从正上方向下看，此时，合外从正上方向下看，此时，合外力矩为顺时针，故沿圆周顺时力矩为顺时针，故沿圆周顺时针方向进动！针方向进动！dLLdLLdLddpMMtLJdddM tLL本章小结本章小结 刚体转动的角量描述刚体转动的角量描述 刚体的刚体的转动转动惯量、力矩、转动定律惯量、力矩、转动定律 刚体的转动动能、角动量、角动量守恒定律刚体的转动动能、角动量、角动量守恒定律 刚体的进动刚体的进动EarthEcliptic PlaneSunL地球是一个略呈扁平的球体，其自转轴也略有倾斜。地球是一个略呈扁平的球体，其自转轴也略有倾斜。在太阳的引力作用下，要作很缓慢的进动。分析其进在太阳的引力作用下，要作很缓慢的进动。分析其进动的情况。动的情况。EarthEcliptic PlaneSun