指数对数概念及运算公式

.指数函数及对数函数重难点根式的概念：定义：若一个数的n 次方等于 a( n1, 且 nN) ，则这个数称 a 的 n 次方根 .即，若xna ，则 x 称 a 的 n 次方根 n1且 n N) ，1）当 n 为奇数时， a的 n 次方根记作 na ；2）当 n 为偶数时，负数a 没有 n 次方根，而正数a 有两个 n 次方根且互为相反数，记作na(a0) .性质： 1） (n a ) na ；2）当 n 为奇数时， n a na ；3）当 n 为偶数时， n a| a |a( a0)a(a0)幂的有关概念：规定： 1） a na aa( nN* ， 2 ） a 01(a0) ，n 个1 ( pm3） a pQ， 4） a nn a m(a 0, m 、 nN *且 n 1)a p性质： 1） a ra sa r s (a0, r 、 s Q），2） (a r ) sa r s (a0, r 、 sQ），3） (a b) rarbr (a0,b0, rQ）（注）上述性质对r、 sR 均适用 .例 求值（1） 82115163（2） 252（3） 2（4） 8134例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)(1) 3 a 4a（） aaa（） 3(ab)2（） 4( a b) 3（） 3ab 2a 2 b（6） 4(a 3b3 ) 2例.化简求值Word 文档.272110（）3（）2（5（2）（1 ）80.0021023123152560. 1250.1 12（2） (0.0273 ) 2.5(32)539a 33 a7 3 a13（3 ） a 2211115（4 ） 2a 3b26a2 b33a 6 b 6 =（5）2 33 1.56 12指数函数的定义：定义：函数ya x (a0,且 a1) 称指数函数，1）函数的定义域为R，2）函数的值域为(0,) ，3）当 0a1时函数为减函数，当a1 时函数为增函数 .提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（ 1） yx22（ 2）（ 4） yx（ 5）（ 7） yx x（8 ）yx（3 ） yx( 2)2yx2（ ）4x26 yy (a 1)x（ a 1，且 a2 ）例： 比较下列各题中的个值的大小2.5与3（ 1） 1.71.7( 2 )0.8 0.1与 0.80.2( 3 )1.70.3与 0.93.1例：已知指数函数f (x)a x （ a 0 且 a 1 ）的图象过点（3，），求f (0), f (1), f (3)的值.思考：已知 a0.80.7 , b0.80.9 , c1.20.8 , 按大小顺序排列a, b, c .例 如 图 为 指 数 函 数 (1) y a x , (2) yb x ,(3) y c x , (4) y d x ， 则ya, b, c, d 与 1 的大小关系为a bc dWord 文档Ox.（ A） ab 1 c d（ B） b a 1 d c（ C） 1 a b c d（ D） a b 1 d c2x1）1、函数 y是（2x1A、奇函数B、偶函数C、既奇又偶函数D、非奇非偶函数2、函数 y1）的值域是（2x1A、,1B、,0U0,C、 1,D、( , 1)U 0,3、已知0 a1,b1 ,axb 的图像必定不经过（）则函数 yA、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限1例求函数y2x2x的值域和单调区间例 若不等式3x2 2ax(1 x+1a 的取值范围为 _.)对一切实数 x 恒成立，则实数33x 12x(,1，则 f(x)值域为 _.f(x)=2x1,31 x考查分段函数值域 .【解析】x ( ,1时 ,x 1 0,03 x 1 1, 2( )1f xx (1,+ )时，1 x1 x0,03 1, 2 f(x)0, 解得 1 x3 f(x)定义域为 x| 1 x0, y=log 4u22由于 u=2 x+3 x = (x1) +4再考虑定义域可知，其增区间是（1 ，1），减区间是 1, 3又 y=log 4u 为 (0,+ )增函数，故该函数单调递增区间为（ 1，1，减区间为 1 ，3）22 4（ 3） u=2 x+3 x = (x1) +4 y=log 4u log 44=1故当 x=1 时， u 取最大值 4 时， y 取最大值1.例 求函数 ylog 3 ( x26x10)的最小值变式 求函数f ( x) lg(x28x7) 的定义域及值域例 已知函数=f(2x)定义域为 1， 2 ,则=(log 2)的定义域为（）yy fxA.1，2B. 4， 16C.， 1D.（ ,0考查函数定义域的理解 .【解析】由 1 x 2 2 2x4, y= f(x)定义域为 2 ，4 由 2 log 2x 4,得 4 x 16【答案】B例 作出下列函数的图像，并指出其单调区间(1)y=lg( x)，(2)y=log 2 |x 1|Word 文档.(3)y =|log 1 (x1)|，(4)ylog2 (1 x)2例 已知函数 f (t) =log 2t， t2,8 .（ 1）求 f (t)的值域 G；（ 2）若对于 G 内的所有实数22恒成立，求实数 m 的取x，不等式 x +2 mxm +2 m 1值范围 .例 已知函数( )=1 2 x4 xa , 其中a为常数，若当( , 1时, ()有意义，求实f xlg2a1xf xa数 a 的取值范围 .分析 ：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于 a 的不等式（组）非常困难， 故应转换思维角度， 设法从原式中把 a 分离出来， 重新认识 a 与其它变元 (x)的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”.解：1 2x4 xa 0, 且2 +1=(a1)2+30,a 2a1aa24 1+2x+4xa0, a11) ,(x2x41 1当 x ( , 1时 , y= 4x 与 y= 2 x 都是减函数， y=( 1x1x ) 在 ( , 1上是增函数，42 a 3故 a 的取值范围是 (3, +).44例 已知 a0且 a 1 ,f (log a x ) =a(x 2a1(1)求 f(x)；(11)max= 3,4x2x41)x(2)判断 f(x)的奇偶性与单调性；2(3)对于 f(x) ,当 x ( 1, 1)时 , 有 f( 1 m ) +f (1 m ) 1B y|y 1C y|y0 D y|y 06、设 y1 40.9 , y2 80.48 , y3121.5，则（）A、 y3y1 y2B、 y2y1 y3C、 y1y3 y2D、 y1 y2y37、在 blog (a 2) (5a) 中，实数 a 的取值范围是（）A、 a5或a 2B、 2a 3或 3 a 5C、 2 a 5D、 3 a 48、已知函数 f (n)n 3n10N ，则 f (8) 的值为（f f (n 5)n，其中 n）10(A) 2(B) 4(C)6(D)7Word 文档.9、 函数 yxa x(0 a 1)的图象的大致形状是（）x10当 a 0且 a 1， x 0， y 0， n N* ，下列各式不恒等的是（）nB log ax nlog a n xA log a x 1 log axnC xlogaxnn xDlog ax log ay n（ log axlog ay）log 8 911的值是()log 2 3A 2B1C 3D 232212 函数 f(x)=ln x 零点所在的大致区间是xA（1， 2）B（2，3）C （ e， +）D 1,1 和 3,4e13若关于 x 的不等式 x24xm 对任意 x 0,1 恒成立，则实数 m 的取值范围是A m3或m 0B 3 m 0C m3D m314函数 ylog 1 (2 x23x1)的递减区间为2A.（ 1， +）B.（31）1， C.（ ，+D.（ ， 42215如果 f (x) 是定义在 R 上的偶函数， 它在 0,) 上是减函数， 那么下述式子中正确的是A f (3)f (a 2a 1)B f (3 )f (a 2a 1)44C f (3 )f (a2a1)D以上关系均不确定416函数 f ( x) 、 f ( x2)均为偶函数，且当x 0， 2时， f ( x) 是减函数，设Word 文档.af (log 8 2), b f (7.5)，cf ( 5) ,1则 a、 b、 c 的大小是A a b cB a cbC b a cD c a b17、如果方程 lg 2 x(lg5lg 7)lgxlg5 glg 70 的两根是, ，则 g的值是（）A、 lg5 glg7B、 lg35C、35D、135118、已知 log 7log 3 (log 2 x)0 ，那么 x 2 等于（）11C、1D、1A 、B、322332319三个数60.7 ,0.7 6 ,log 0.7 6的大小顺序是（）（A） 0.76log 0.7 6 60.7 （ B） 0.7660.7log 0.7 6（C） log 0.7660.70.76（ D） log 0.7 6 0.7660.720、函数 y1的值域是（）2x1A、,1B、,0U0,C、1,D、 (, 1)U0,Word 文档