新编一轮优化探究理数苏教版练习：第八章 第六节　立体几何中的向量方法 Word版含解析

一、填空题1已知向量m、n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，则l与所成的角为_解析：由于cosm，n，所以m，n120，所以直线l与所成的角为30.答案：302若a(1，2)，b(2，1,1)，a与b的夹角为60，则_.解析：由cos 60，解得17或1.答案：17或13点A(n，n1,2n)，B(1，n，n)，则|的最小值是_解析：|2 (1n)2(2n1)2(n)26(n)2，当n时，|的最小值为.答案：4.如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB2，E为PB的中点，cos，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为_解析：设PDa(a0)，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E(1,1，)，(0,0，a)，(1,1，)，由cos，a ，a2.E的坐标为(1,1,1)答案：(1,1,1)5直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30，BC1，AA1，M是CC1的中点，则异面直线AB1与A1M所成的角为_解析：建立坐标系如图所示，易得M(0,0，)，A1(0，0)，A(0，)，B1(1,0,0)，(1，)，(0，)1030，.即AB1A1M，即AB1与1M所成的角为90.答案：906长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为_解析：建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，(1,0,2)，(1,2,1)，cos ，.答案：7正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为23，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_解析：设一个侧面面积为S1，底面面积为S，则这个侧面在底面上射影的面积为，由题设得，设侧面与底面所成二面角为，则cos ，60.答案：608P是二面角AB棱上的一点，分别在、平面上引射线PM、PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小为_解析：不妨设PMa，PNb，如图，作MEAB于E，NFAB于F，EPMFPN45，PEa，PFb，()()abcos 60abcos 45abcos 45ab0，二面角AB的大小为90.答案：909正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_解析：如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P(0，)则(2a,0,0)，(a，)，(a，a,0)设平面PAC的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos ，n.，n60，直线BC与平面PAC所成的角为906030.答案：30二、解答题10如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合(1)当CF1时，求证：EFA1C；(2)设二面角CAFE的大小为，求tan 的最小值解析：(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得A(0，0,0)，B(2，2,0)，C(0,4,0)，A1(0,0,4)，E(，3,0)，F(0，4,1)于是1(0，4,4)，(，1,1)则1(0，4,4)(，1,1)0440，故EFA1C.(2)设CF(04)，平面AEF的一个法向量为m(x，y，z)，则由(1)得F(0,4，)(，3,0)，(0,4，)，于是由m，m可得即取m(，4)又由直三棱柱的性质可取侧面AC1的一个法向量为n(1,0,0)，于是由为锐角可得cos ，sin ，所以tan .由04，得，即tan .故当4，即点F与点C1重合时，tan 取得最小值.11如图，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，BCF90，BECF，CEEF，AD，EF2.(1)求异面直线AD与EF所成的角；(2)当AB的长为何值时，二面角AEFC的大小为45？解析：如图，以点C为坐标原点，分别以CB，CF和CD作为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系Cxyz.设ABa，BEb，CFc(bc)，则C(0,0,0)，A(，0，a)，B(，0,0)，E(，b,0)，F(0，c,0)，D(0,0，a)，(1)(，0,0)，(，0,0)，(，bc,0)，由|2，得3(bc)24，bc1.所以(，1,0)所以cos，所以异面直线AD与EF所成的角为30.(2)设n(1，y，z)为平面AEF的法向量，则n0，n0，结合|2|2|2|2，解得n(1，)又因为BA平面BEFC，(0,0，a)，所以|cosn，|，得到a.所以当AB为时，二面角AEFC的大小为45.12如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2，ABC60，平面AA1C1C平面ABCD，A1AC60.(1)证明：BDAA1；(2)求二面角DA1AC的平面角的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由解析：连结BD交AC于O，则BDAC，连结A1O.在AA1O中，AA12，AO1，A1AO60，A1O2AAAO22AA1AOcos 603，AO2A1O2A1A2，A1OAO，由于平面AA1C1C平面ABCD，A1O底面ABCD，以OB、OC、OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(0，1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)，A1(0,0，)(1)证明：由于(2，0,0)，(0,1，)，则0(2)1000，BDAA1.(2)由于OB平面AA1C1C，平面AA1C1C的法向量n1(1,0,0)，设n2平面AA1D，则设n2(x，y，z)，得到取n2(1，1)，cos n1，n2，二面角DA1AC的平面角的余弦值是.(3)假设在直线CC1上存在点P，使BP平面DA1C1，设，P(x，y，z)，则(x，y1，z)(0,1，)，得P(0,1，)，(，1，)设n3平面DA1C1，则设n3(x3，y3，z3)，得到不妨取n3(1,0，1)又平面DA1C1，则n30，即0，得1，即点P在C1C的延长线上且使C1CCP.