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1 1专题一集合、常用逻辑用语、向量、复数、算法、合情推理、不等式及线性规划第一讲集合与常用逻辑用语 必记公式1ABAAB.2ABABA.3若集合A的元素有n个，则A的子集个数是2n，真子集个数为2n1，非空真子集的个数为2n2.重要结论1四种命题间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系；(2)一个命题的逆命题与它的否命题同真同假2充分、必要条件设集合Ax|x满足条件p，Bx|x满足条件q，则有从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分不必要条件(pq，qp)ABp是q的必要不充分条件(qp，pq)BAp是q的充要条件(pq)ABp是q的既不充分也不必要条件(pq，qp)A与B互不包含3.简单的逻辑联结词(1)命题pq，只要p，q有一真，即为真；命题pq，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题(2)命题pq的否定是(綈p)(綈q)；命题pq的否定是(綈p)(綈q)4全称命题与特称命题(1)全称命题p：xM，p(x)，它的否定綈p：x0M，綈p(x0)(2)特称命题p：x0M，p(x0)，它的否定綈p：xM，綈p(x)失分警示1忽略空集：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在分类讨论时要注意“优先”的原则2集合含义理解错误：集合x|yf(x)，y|yf(x)，(x，y)|yf(x)中代表元素意义不同，前两个是数集，第三个是点集3判断充分条件和必要条件时，不能准确判断哪个是“条件”，哪个是“结论”4对全称命题和特称命题进行否定时，忘记“”与“”的变化；混淆命题的否定与否命题考点集合的概念及运算典例示法题型1集合的交、并、补运算典例1(1)20xx四川高考设集合Ax|2x2，Z为整数集，则集合AZ中元素的个数是()A3 B4C5 D6解析由集合Ax|2x2，易知AZ2，1，0,1,2，故选C.答案C(2)20xx浙江高考已知集合Px|x22x0，Qx|1x2，则(RP)Q()A0,1) B(0,2C(1,2) D1,2解析RPx|0x2，故(RP)Qx|1x0，给出下列结论：命题“pq”是真命题；命题“p(綈q)”是假命题；命题“(綈p)q”是真命题；命题“(綈p)(綈q)”是假命题其中正确的结论是()A BC D解析1，命题p是假命题x2x120，命题q是真命题，由真值表可以判断“pq”为假，“p(綈q)”为假，“(綈p)q”为真，“(綈p)(綈q)”为真，所以只有正确，故选A.答案A命题真假的判定方法(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别(2)四种命题真假的判断依据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无关(3)形如pq，pq，綈p命题的真假根据真值表判定(4)全称命题与特称(存在性)命题真假的判定：全称命题：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；特称(存在性)命题：要判定一个特称(存在性)命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可，否则，这一特称(存在性)命题就是假命题针对训练120xx辽宁高考设a，b，c是非零向量已知命题p：若ab0，bc0，则ac0；命题q：若ab，bc，则ac.则下列命题中真命题是()Apq BpqC(綈p)(綈q) Dp(綈q)答案A解析由题意知命题p为假命题，命题q为真命题，所以pq为真命题故选A.220xx贵州七校联考以下四个命题中，真命题的个数是()“若ab2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；存在正实数a，b，使得lg (ab)lg alg b；“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；在ABC中，AB是sinAsinB的充分不必要条件A0 B1C2 D3答案C解析对于，原命题的逆命题为：若a，b中至少有一个不小于1，则ab2，而a2，b2满足a，b中至少有一个不小于1，但此时ab0，故是假命题；对于，根据对数的运算性质，知当ab2时，lg (ab)lg alg b，故是真命题；对于，易知“所有奇数都是素数”的否定就是“至少有一个奇数不是素数”，故是真命题；对于，根据题意，结合边角的转换，以及正弦定理，可知ABab(a，b为角A，B所对的边)2RsinA2RsinB(R为ABC外接圆的半径)sinAsinB，故AB是sinAsinB的充要条件，故是假命题，选C.考点充要条件的判定典例示法典例4(1)20xx四川高考设p：实数x，y满足(x1)2(y1)22，q：实数x，y满足则p是q的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析取xy0满足条件p，但不满足条件q，反之，对于任意的x，y满足条件q，显然必满足条件p，所以p是q的必要不充分条件，选A.答案A(2)20xx唐山统考“k9”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析方程1表示双曲线，(25k)(k9)0，k25，“k9”是“方程1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.答案A(2)题中将“k9”，将“双曲线”改为“椭圆”，那么正确答案是()答案B解析方程1表示椭圆，则即9k9是方程1为椭圆的必要不充分条件，故选B.判断充分、必要条件的方法及关注点(1)充分、必要条件的判断方法先判断pq与qp是否成立，然后再确定p是q的什么条件(2)判断充分、必要条件时的关注点要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行，可以尝试通过举出恰当的反例来说明要注意转化：若綈p是綈q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件；若綈p是綈q的充要条件，那么p是q的充要条件针对训练120xx天津高考设xR，则“|x2|0”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析|x2|11x211x0x1.由于(1,3)(，2)(1，)，所以“|x2|0”的充分而不必要条件220xx北京高考设，是两个不同的平面，m是直线且m.则“m”是“”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案B解析若m且m，则平面与平面不一定平行，有可能相交；而m且一定可以推出m，所以“m”是“”的必要而不充分条件 全国卷高考真题调研120xx全国卷设集合Ax|x24x30，则AB()A. B.C. D.答案D解析由题意得Ax|1x2n，则綈p为()AnN，n22n BnN，n22nCnN，n22n DnN，n22n答案C解析命题p是一个特称命题，其否定是全称命题，故选C.320xx全国卷不等式组的解集记为D.有下面四个命题：p1：(x，y)D，x2y2；p2：(x，y)D，x2y2；p3：(x，y)D，x2y3；p4：(x，y)D，x2y1.其中的真命题是()Ap2，p3 Bp1，p2Cp1，p4 Dp1，p3答案B解析不等式组表示的平面区域D如下图阴影区域所示设zx2y，作出基本直线l0：x2y0，经平移可知直线l：zx2y经过点A(2，1)时z取得最小值0，无最大值对于命题p1：由于z的最小值为0，所以(x，y)D，x2y0恒成立，故x2y2恒成立，因此命题p1为真命题；由于(x，y)D，x2y0，故(x，y)D，x2y2，因此命题p2为真命题；由于zx2y的最小值为0，无最大值，故命题p3与p4错误，故选B.其它省市高考题借鉴420xx浙江高考命题“xR，nN*，使得nx2”的否定形式是()AxR，nN*，使得nx2BxR，nN*，使得nx2CxR，nN*，使得nx2DxR，nN*，使得nx2答案D解析根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D.520xx天津高考已知全集U1,2,3,4,5,6,7,8，集合A2,3,5,6，集合B1,3,4,6,7，则集合AUB()A2,5 B3,6C2,5,6 D2,3,5,6,8答案A解析由已知得UB2,5,8，AUB2,5，故选A.620xx安徽高考设p：1x1，则p是q成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案A解析q：2x1x0，且(1,2)(0，)，所以p是q的充分不必要条件一、选择题120xx郑州质检设全集UxN*|x4，集合A1,4，B2,4，则U(AB)()A1,2,3 B1,2,4C1,3,4 D2,3,4答案A解析因为U1,2,3,4，AB4，所以U(AB)1,2,3，故选A.220xx沈阳质检设全集UR，集合Ax|ylg x，B1,1，则下列结论正确的是()AAB1 B(RA)B(，0)CAB(0，) D(RA)B1答案D解析集合Ax|x0，从而A、C错，RAx|x0，则(RA)B1，故选D.320xx福建高考若集合Ai，i2，i3，i4(i是虚数单位)，B1，1，则AB等于()A1 B1C1，1 D答案C解析因为Ai，1，i,1，B1，1，所以AB1，1，故选C.420xx辽宁五校联考设集合Mx|x23x21Cx|x1 Dx|x2答案A解析因为Mx|x23x20x|2x0，“x1”是“x2”的充分不必要条件，故选A.620xx西安质检已知命题p：xR，log2(3x1)0，则()Ap是假命题；綈p：xR，log2(3x1)0Bp是假命题；綈p：xR，log2(3x1)0Cp是真命题；綈p：xR，log2(3x1)0Dp是真命题；綈p：xR，log2(3x1)0答案B解析本题主要考查命题的真假判断、命题的否定3x0，3x11，则log2(3x1)0，p是假命题；綈p：xR，log2(3x1)0.故应选B.720xx广州模拟下列说法中正确的是()A“f(0)0”是“函数f(x)是奇函数”的充要条件B若p：x0R，xx010，则綈p：xR，x2x10，则綈p：xR，x2x10，所以B错误；p，q只要有一个是假命题，则pq为假命题，所以C错误；否命题是将原命题的条件和结论都否定，D正确8下列四个命题中正确命题的个数是()对于命题p：xR，使得x2x10；m3是直线(m3)xmy20与直线mx6y50互相垂直的充要条件；已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则线性回归方程为1.23x0.08；若实数x，y1,1，则满足x2y21的概率为.A1 B3C4 D5答案A解析错，应当是綈p：xR，均有x2x10；错，当m0时，两直线也垂直，所以m3是两直线垂直的充分不必要条件；正确，将样本点的中心的坐标代入，满足方程；错，实数x，y1,1表示的平面区域为边长为2的正方形，其面积为4，而x2y20时，不等式ln xx1与ln x1等价；命题q：不等式exx1与ln (x1)x等价；命题r：“b24ac0”是“函数f(x)ax3bx2cxd(a0)有极值点”的充要条件；命题s：若对任意的x，不等式a0，ln xx1，得ln 1，即ln x1，故命题p为真命题；由于x的取值范围不同，故命题q是假命题；当b24ac0时，函数f(x)无极值点，故命题r是假命题；设h(x)，由于函数h(x)在上是减函数，故，a，即命题s是真命题根据复合命题的真值表可知选A.1020xx武昌调研“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间(0，)上单调递增”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析本题主要考查函数的单调性与充要条件当a0时，f(x)|x|在区间(0，)上单调递增；当a0时，函数f(x)|(ax1)x|的图象大致如图：函数f(x)在区间(0，)上有增有减，从而a0是函数f(x)|(ax1)x|在区间(0，)上单调递增的充要条件，故选C.二、填空题1120xx山东高考若“x，tanxm”是真命题，则实数m的最小值为_答案1解析由已知可得mtanx恒成立设f(x)tanx，显然该函数为增函数，故f(x)的最大值为ftan1，由不等式恒成立可得m1，即实数m的最小值为1.1220xx贵阳监测已知全集Ua1，a2，a3，a4，集合A是集合U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：若a1A，则a2A；若a3A，则a2A；若a3A，则a4A.则集合A_.(用列举法表示)答案a2，a3解析若a1A，则a2A，则由若a3A，则a2A可知，a3A，假设不成立；若a4A，则a3A，则a2A，a1A，假设不成立，故集合Aa2，a313已知命题p：实数m满足m212a20)，命题q：实数m满足方程1表示焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为_答案解析由a0，m27am12a20，得3am4a，即命题p：3am0.由1表示焦点在y轴上的椭圆，可得2mm10，解得1m，即命题q：1m.因为p是q的充分不必要条件，所以或解得a，所以实数a的取值范围是.1420xx山东临沂高三模拟已知命题p：|x1|x1|3a恒成立，命题q：y(2a1)x为减函数，若“p且q”为真命题，则a的取值范围是_答案解析由绝对值不等式得|x1|x1|(x1)(x1)|2，当且仅当1x1时等号成立，即|x1|x1|的最小值为2.若不等式|x1|x1|3a恒成立，则3a2，即a.若函数y(2a1)x为减函数，则02a11，即a1，由“p且q”为真命题知命题p，q均为真命题，因此有即a，故a的取值范围是.
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