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一、填空题1设P是椭圆1上的点若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于_解析：由题意知a5，|PF1|PF2|2a10.答案：102已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为_解析：由题意可知且a0，b0，c0，解得a5，b3，c4.椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为ac9或ac541.答案：1或93“mn0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的_条件解析：把椭圆方程化成1.若mn0，则0.所以椭圆的焦点在y轴上反之，若椭圆的焦点在y轴上，则0即有mn0.故为充要条件答案：充要4已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2y22x150的半径，则椭圆的标准方程是_解析：由x2y22x150，知r42aa2.又e，c1，则b2a2c23.答案：15若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为21，则此椭圆离心率的取值范围是_解析：设P到两个焦点的距离分别为2k，k，根据椭圆定义可知：3k2a，又结合椭圆的性质可知椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c，即k2c，2a6c，即e.答案：，1)6已知F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P是椭圆上的任意一点，则的取值范围是_解析：显然当PF1PF2时，0.由椭圆定义得PF24PF1，从而.而22PF122，所以，故22.综上所述，0,22答案：0,227已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8，则该椭圆的方程是_解析：由题意知，2c8，c4，e，a8，从而b2a2c248，方程是1.答案：18已知P是椭圆1上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则的取值范围为_解析：解法一(利用三角代换)设椭圆上任意一点为P(x0，y0)，所以(其中为参数)，椭圆的左、右焦点分别为F1(2，0)，F2(2，0)，所以(2x0，y0)，(2x0，y0)所以xy812cos2 4sin2 88cos2 44,4解法二(转换成二次函数)设椭圆上任意一点为P(x0，y0)，椭圆的左、右焦点分别为F1(2，0)，F2(2，0)，所以(2x0，y0)，(2x0，y0)所以xy8，该式表示椭圆上任意一点到原点的距离的平方与8的差因为椭圆上任意一点到原点的距离最小值为短半轴b2，距离最大值为长半轴a2.所以xy4,12，所以xy8 4,4答案：4,49以等腰直角ABC的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为_解析：当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有bc，此时可求得离心率e；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，设直角边长为m，故有2cm,2a(1)m，所以，离心率e1.答案：或1二、解答题10已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(2,0)，且长轴长与短轴长的比是2.(1)求椭圆C的方程；(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点当|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围解析：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)由题意，得解得a216，b212.所以椭圆C的方程为1.(2)设P(x，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为1，故4x4.因为(xm，y)，所以|2(xm)2y2(xm)212(1)x22mxm212(x4m)2123m2.因为当|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，即当x4时，|2取得最小值而x4,4，故有4m4，解得m1.又点M在椭圆的长轴上，所以4m4.故实数m的取值范围是1,411已知椭圆C的中心为坐标原点，一个长轴端点为(0,1)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形若直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于不同的两点A、B，且3.(1)求椭圆C的方程；(2)求实数m的取值范围解析：(1)依题意a1，bc，b2，所求椭圆C的方程为2x2y21.(2)设直线l：ykxm，消去y得(k22)x22kmxm210，4k2m24(k22)(m21)4(2m2k22)0，2m2k220，3，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则0，x13x2，又x1x2，x1x2.消去x1得，消去x2得3k2m2(k22)(1m2)，k2.2m220(m21)(4m21)0，m(1，)(，1)12.已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，点A，B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线AB的距离为(如图所示)(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点E(3,0)，设点P、Q是椭圆C上的两个动点，满足EPEQ，求的取值范围解析：(1)由离心率e，得.a2b.原点O到直线AB的距离为，.代入，得b29.a236.则椭圆C的标准方程为1.(2)EPEQ，0.().设P(x，y)，则1，即y29.(x3)2y2x26x9(9)(x4)26.6x6，6(x4)2681.则的取值范围为6,81
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