新编广东省广州市高考数学一轮复习 专项检测试题：31 平面向量与三角形的应用举例

平面向量与三角形的应用举例一、平面向量与三角形的心1、重心（中线交点）（1）是的重心（2）是的重心（是平面上的点）证明：是的重心，即由此可得。例如：已知向量，满足条件，求证：是正三角形。 分析：对于本题中的条件，容易想到，点是的外心，而另一个条件表明，点是的重心。故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一定是正三角形。又如，若一个三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？与本题实质是相同的。 显然，本题中的条件可改为。2、垂心（高线交点）（1）是的垂心由，同理，。故是的垂心。反之亦然。（2）是（非直角三角形）的垂心，则有且。3、外心（边垂直平分线交点，外接圆圆心）（1）是的外心（点到的三个顶点距离相等）（2）是的外心（为三边垂直平分线交点）（3）是的外心，则有且。4、内心（角平分线交点，内切圆圆心）（1）是的内心（2）是的内心（3）引进单位向量，使条件变得更简洁。记，的单位向量为，则是的内心（4）是的内心，则故或（5）是的内心（6）向量所在直线过的内心（是的角平分线所在直线）（7）设是所在平面内任意一点，为内心例如：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足则的轨迹一定通过的（ ）A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心分析：已知等式即，设，显然都是单位向量，以二者为邻边构造平行四边形，则结果为菱形，故为的平分线，选。5、外心与重心：若是的外心，是重心，则6、外心与垂心：若是的外心，是垂心，则7、重心与垂心：若是的重心，是垂心，则8、外心、重心、垂心：若分别是锐角的外心、重心、垂心，则证明：按重心定理：是的重心；按垂心定理：，由此可得：。9、三角形的外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线，即欧拉线；（2）三角形的重心在欧拉线上，且为外心、垂心连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。例如：在中，已知分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：三点共线，且。证明：以为原点，所在的直线为轴，建立如上图所示的直角坐标系。设、，分别为的中点，则有：，由题设可设，即，故三点共线，且。二、应用举例1、已知在所在平面内，且，且，则点依次是的（ C ）A、重心 外心 垂心 B、重心 外心 内心 C、外心 重心 垂心 D、外心 重心 内心2、是所在平面内的一点，满足，则点是的（ D ）A、三个内角的角平分线的交点B、三条边的垂直平分线的交点C、三条中线的交点D、三条高的交点解：由，得 是的垂心，即三条高的交点。3、在同一个平面上有及一点满足关系式：，则为的（ D ）A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心4、已知，为三角形所在平面上的动点，且满足：，则点为的（ D ）A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心5、已知是所在平面内任意一点，且，则是的（ C ） A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心解：若是的重心，则有（是的中点），。与重合，即是的重心。6、已知的顶点及平面内一点满足：，则为的（ C ）A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心7、已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足：，则的轨迹一定通过的（ C ）A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心8、已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足：，则点为的（ B ）A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心9、在中，动点满足：，则点一定通过的（ B ）A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心10、已知是平面内的一个点，是平面上不共线的三点，动点满足，则点的轨迹一定过的（ B ）A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心11、已知是平面上不共线的三点，是的重心，动点满足，则点一定为的（ B ）A、边中线的中点 B、边中线的三等分点（非重心） C、重心 D、边的中点分析：取边的中点，则，由，得3，即点为三角形中边中线的一个三等分点，且不过重心。12、非零向量与满足且，则为（ D ）A、三边均不相等的三角形 B、直角三角形 C、等腰非等边三角形 D、等边三角形13、的外接圆的圆心为，两边上的高的交点为，则实数 。解：当为时，不妨设，则是的中点，是直角顶点，。14、若是的外心，是三边中点构成的的外心，且，则 。（其实是的中点，；也可用特例时得）15、在四边形中，=，则四边形的面积是 。解析：由题知四边形是菱形，其边长为，且对角线等于边长的倍，所以，故，。16、如图，已知点是的重心，过作直线与两边分别交于两点，且，求证：。证明：点是的重心，得，有。又三点共线（不在直线上），于是存在，使得，有，得，于是得。17、已知为的外心，求证：。分析：构造坐标系证明。如图，以为坐标原点，在轴的正半轴，在轴的上方。，直线的方程是，由于点与点必在直线的同侧，且，因此有，得。直线的方程是，由于点与点必在直线的同侧，且，因此有，得。于是，容易验证，又，又，则所证成立。