新编高考数学一轮复习学案训练课件： 第5章 数列 第3节 等比数列及其前n项和学案 文 北师大版

第三节等比数列及其前n项和 考纲传真1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系(对应学生用书第72页) 基础知识填充1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q(nN*，q为非零常数)(2)等比中项：如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，G2ab，G，那么G叫作a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2aB2等比数列的通项公式与前n项和公式(1)通项公式：ana1qn1.(2)前n项和公式：Sn3等比数列的性质已知an是等比数列，Sn是数列an的前n项和(1)若klmn(k，l，m，nN)，则有akalaman.(2)等比数列an的单调性：当q1，a10或0q1，a10时，数列an是递增数列；当q1，a10或0q1，a10时，数列an是递减数列；当q1时，数列an是常数列(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为qm.(4)当q1，或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.知识拓展1“G2ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件2若q0，q1，则Snkkqn(k0)是数列an成等比数列的充要条件，此时k.基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()(2)G为a，b的等比中项G2aB()(3)若an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(4)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.()答案(1)(2)(3)(4)2(20xx广州模拟)已知等比数列an的公比为，则的值是()A2BCD2A2.3(20xx东北三省四市一联)等比数列an中，an0，a1a26，a38，则a6() 【导学号：00090168】A64B128 C256D512A设等比数列的首项为a1，公比为q，则由解得或(舍去)，所以a6a1q564，故选A4(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_27,81设该数列的公比为q，由题意知，2439q3，q327，q3.插入的两个数分别为9327,27381.5(20xx长春模拟)在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和若Sn126，则n_.6a12，an12an，数列an是首项为2，公比为2的等比数列又Sn126，126，解得n6.(对应学生用书第72页)等比数列的基本运算(1)(20xx合肥模拟)已知Sn是各项为正数的等比数列an的前n项和，a2a416，S37，则a8()A32B64C128D256(2)已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于_(1)C(2)2n1(1)an为等比数列，a2a416，a34.a3a1q24，S37，S23，(1q2)3(1q)，即3q24q40，q或q2.an0，q2，则a11，a827128.(2)设等比数列的公比为q，则有解得或又an为递增数列，Sn2n1.规律方法1.等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用2在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算变式训练1(1)在等比数列an中，a37，前3项和S321，则公比q的值为()A1B C1或D1或(2)设等比数列an的前n项和为Sn，若27a3a60，则_. 【导学号：00090169】(1)C(2)28(1)根据已知条件得得3.整理得2q2q10，解得q1或q.(2)由题可知an为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3a1q2，a6a1q5，所以27a1q2a1q5，所以q3，由Sn，得S6，S3，所以28.等比数列的判定与证明(20xx全国卷)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.解(1)证明：由题意得a1S11a1，2分故1，a1，故a10.3分由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.5分由a10，0得an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，于是ann1.7分(2)由(1)得Sn1n.9分由S5得15，即5.10分解得1.12分规律方法等比数列的判定方法(1)定义法：若q(q为非零常数，nN*)，则an是等比数列(2)等比中项法：若数列an中，an0，且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于选择题、填空题中的判定变式训练2已知数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式解(1)证明：anSnn，an1Sn1n1，得an1anan11，即2an1an1，2(an11)an1，即2cn1cn.3分由a1S11得a1，c1a11，从而cn0，.数列cn是以为首项，为公比的等比数列.6分(2)由(1)知cnn1n，7分又cnan1，ancn11n，9分当n2时，bnanan11nn.又b1a1，适合上式，故bnn.12分等比数列的性质及应用(1)(20xx安徽六安一中综合训练)在各项均为正数的等比数列an中，若 am1am12am(m2)，数列an的前n项积为Tn，若T2m1512，则m的值为()A4 B5 C6 D7(2)设等比数列an的前n项和为Sn，若3，则() 【导学号：00090170】A2 B CD3(1)B(2)B(1)由等比数列的性质可知am1am1a2am(m2)，所以am2，即数列an为常数列，an2，所以T2m122m151229，即2m19，所以m5，故选B(2)法一：由等比数列的性质及题意，得S3，S6S3，S9S6仍成等比数列，由已知得S63S3，即S9S64S3，S97S3，.法二：11q33，所以q32.则.规律方法1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度2等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口变式训练3(1)(20xx合肥三次质检)在正项等比数列an中，a1 008a1 009，则lg a1lg a2lg a2 016()A2 015B2 016C2 015D2 016(2)(20xx湖北六校联考)在数列an中，a11，an12an，则Snaaaaaa等于()A(2n1) B(124n)C(4n1)D(12n)(1)D(2)B(1)lg a1lg a2lg a2 016lg a1a2a2 016lg(a1 008a1 009)1 008lg1 008lg1 0082 016，故选D(2)在数列an中，由a11，an12an，可得an2n1，则Snaaaaaa14166442n242n1(142n)(124n)