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1 1第03节 平面向量的数量积及其应用【考纲解读】考 点考纲内容5年统计分析预测平面向量的数量积理解平面向量数量积的概念及其意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系。掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系。会用坐标表示平面向量的平行与垂直。20xx浙江文17；理7，17；20xx浙江文9；理8；20xx浙江文13；理15；20xx浙江文理15；20xx浙江10,15.1.以考查向量的数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下； 2.与三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查.3.备考重点： (1) 理解数量积的概念是基础，掌握数量积的两种运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.【知识清单】1平面向量的数量积及其运算一、两个向量的夹角1定义已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角2范围向量夹角的范围是0180a与b同向时，夹角0；a与b反向时，夹角180.3向量垂直如果向量a与b的夹角是90，则a与b垂直，记作ab.二、平面向量数量积1已知两个非零向量a与b，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cos ，其中是a与b的夹角规定0a0.当ab时，90，这时ab0.2ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积三、向量数量积的性质1如果e是单位向量，则aeea.2abab0.3aa|a|2，.4cos .(为a与b的夹角)5|ab|a|b|.四、数量积的运算律1交换律：abba.2分配律：(ab)cacbc.3对R，(ab)(a)ba(b)五、数量积的坐标运算设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则：1aba1b1a2b2.2aba1b1a2b20.3|a|.4cos .(为a与b的夹角)对点练习：【20xx北京，理6】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，使，即两向量反向，夹角是，那么T，若，那么两向量的夹角为 ，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分不必要条件，故选A.2向量的夹角与向量的模1. aa|a|2，.2cos .(为a与b的夹角)3.|ab|a|b|.对点练习：【20xx浙江高三模拟】设，是非零向量.若，则（ ）A. B. C. D.【答案】D. 3平面向量垂直的条件abab0a1b1a2b20.对点练习：【20xx浙江嘉兴、杭州、宁波效实五校联考】在中， ， ，则的最小值为_ ， 又若，则_.【答案】 【解析】 ，所以当时， 取最小值；因为，所以 ，由.【考点深度剖析】平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现【重点难点突破】考点1 平面向量数量积的运算【1-1】已知向量，则（ ）A2 B-2 C-3 D4【答案】A【解析】【1-2】已知向量与的夹角为60，则在方向上的投影为（ ）A B2 C D3【答案】A【解析】因向量，的夹角为，则在方向上的投影为,故应选A.【1-3】【20xx天津，理13】在中，.若，且，则的值为_.【答案】 【领悟技法】1.平面向量数量积的计算方法已知向量a，b的模及夹角，利用公式ab|a|b|cos求解；已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解(2)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算 【触类旁通】【变式一】【20xx高考天津理数】已知ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】B【变式二】已知向量，则在方向上的投影为（ ）A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】因为，所以，则，则在方向上的投影既是在方向上的投影为.【变式三】在矩形中，点在边上，若，则的值为（ ）A0 B C-4 D4【答案】C【解析】 考点2 向量的夹角与向量的模【2-1】已知向量，则与夹角的余弦值为（ ）A B C D 【答案】B.【解析】因为向量，两式相加和相减可得，和；由数量积的定义式知，. 故应选B.【2-2】已知向量的夹角为，且，则（ ） A. B. C. D.【答案】D.【解析】，又的夹角为，且，解得或（舍去），即.【2-3】【20xx山东，理12】已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 .【答案】【领悟技法】利用向量夹角公式、模公式，可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决【触类旁通】【变式一】【20xx高考新课标1卷】设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .【答案】【解析】由,得,所以,解得.【变式二】ABC中，ABC的面积夹角的取值范围是（） A B C D【答案】B【解析】由三角形面积公式及已知知，所以，由知，所以，代入得，所以，所以，所以的夹角为，其取值范围为，故选B.【变式三】已知，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 .【答案】且考点3平面向量垂直的条件【3-1】【20xx高考山东理数】已知非零向量m，n满足4m=3n，cos=.若n（tm+n），则实数t的值为（ ）（A）4 （B）4 （C） （D）【答案】B【解析】由，可设，又，所以 所以，故选B.【3-2】【20xx安徽阜阳二模】已知,则_【答案】【解析】由题意得【3-3】【20xx湖南娄底二模】已知， ， ，若向量满足，则的取值范围是_【答案】【解析】易知，由得，所以或，由此可得的取值范围是.【领悟技法】利用平面向量垂直的充要条件，可将有关垂直问题转化为向量的数量积来解决【触类旁通】【变式一】【20xx全国卷】设向量a(x，x1)，b(1,2)，且ab，则x_.【答案】【变式二】【20xx高考新课标2】已知向量，且，则（ ）（A）8 （B）6 （C）6 （D）8【答案】D【解析】向量，由得，解得，故选D.【易错试题常警惕】易错典例：已知向量 （1）若为锐角，求的范围； （2）当时，求的值.易错分析：从出发解出的值，忽视剔除同向的情况正确解析：（1）利用向量夹角公式即可得出，注意去掉同方向情况；（2）利用向量垂直与数量积的关系即可得出试题解析：（1）若为锐角，则且不同向温馨提醒：(1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角 (2)两向量夹角的范围为0，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为. (3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:数形结合百般好，隔裂分家万事休。数与形反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过以形助数或以数解形即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.【典例】在平面四边形中，点，分别是边，的中点，且，若，则 【答案】13【解析】解法一（配凑）：由题意得，从而，平方整理得不妨设，从而，由题意，从而，得，即
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