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第八节函数与方程考纲传真(教师用书独具)结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数(对应学生用书第27页)基础知识填充1函数的零点(1)定义：函数yf(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)0有实根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)零点存在性定理若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，则在区间(a，b)内，函数yf(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)0在区间(a，b)内至少有一个实数解(4)二分法：对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点所似值的方法叫作二分法2二次函数yax2bxc(a0)的图像与零点的关系b24ac000二次函数yax2bxc (a0)的图像与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210知识拓展有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图像通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点()(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值()(5)二次函数yax2bxc在b24ac0时没有零点()答案(1)(2)(3)(4)(5)2函数f(x)ln x的零点所在的区间是()A(1,2)B(2,3)C和(3,4)D(4，)B易知f(x)为增函数，由f(2)ln 210，f(3)ln 30，得f(2)f(3)0.故选B3下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()Aycos xBysin xCyln xDyx21A由于ysin x是奇函数；yln x是非奇非偶函数，yx21是偶函数但没有零点，只有ycos x是偶函数又有零点4(教材改编)函数f(x)ex3x的零点个数是()A0 B1C2D3Bf(1)30，f(0)10，f(x)在(1,0)内有零点，又f(x)为增函数，函数f(x)有且只有一个零点5函数f(x)ax12a在区间(1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是_函数f(x)的图像为直线，由题意可得f(1)f(1)0，(3a1)(1a)0，解得a1，实数a的取值范围是.(对应学生用书第28页)判断函数零点所在区间(1)已知函数f(x)ln x的零点为x0，则x0所在的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)(2)(20xx北京东城区综合练习(二)已知函数f(x)ln x2x6的零点在(kZ)内，那么k_.(1)C(2)5(1)f(x)ln x在(0，)上是增函数，又f(1)ln 1ln 120，f(2)ln 20，f(3)ln 30，x0(2,3)，故选C(2)f(x)20，x(0，)，f(x)在x(0，)上单调递增，且fln 10，f(3)ln 30，f(x)的零点在内，则整数k5.规律方法判断函数零点所在区间的方法(1)解方程，当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上来判断.(2)利用零点存在性定理进行判断.(3)数形结合画出函数图像，通过观察图像与x轴在给定区间内是否有交点来判断.跟踪训练(1)设f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)(2)函数f(x)x23x18在区间1,8上_(填“存在”或“不存在”)零点(1)B(2)存在(1)函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)ln x，h(x)x2图像交点的横坐标所在的取值范围作图如下：可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)(2)法一：f(1)123118200，f(8)823818220，f(1)f(8)0，又f(x)x23x18，x1,8的图像是连续的，故f(x)x23x18在x1,8上存在零点法二：令f(x)0，得x23x180，(x6)(x3)0.x61,8，x31,8，f(x)x23x18在x1,8上存在零点判断函数零点的个数(1)函数f(x)|x2|ln x在定义域内的零点的个数为()A0B1C2D3(2)(20xx秦皇岛模拟)函数f(x)的零点个数是_. 【导学号：79140061】(1)C(2)3(1)由题意可知f(x)的定义域为(0，)在同一直角坐标系中画出函数y|x2|(x0)，yln x(x0)的图像，如图所示：由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.(2)当x0时，作函数yln x和yx22x的图像，由图知，当x0时，f(x)有2个零点；当x0时，由f(x)0得x，综上，f(x)有3个零点规律方法判断函数零点个数的三种方法(1)解方程法：所对应方程f(x)0有几个不同的实数解就有几个零点.(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断.(3)数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题.先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数.跟踪训练(1)函数f(x)0.9xx的零点个数是()A0个B1个C2个D3个(2)函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1B2C3D4(1)B(2)B(1)因为f(x)0.9xx，则函数f(x)为减函数，值域为R，所以函数f(x)的图像必与x轴有一个交点，即方程0.9xx0有一解(2)令f(x)2x|log0.5x|10，可得|log0.5x|.设g(x)|log0.5x|，h(x)，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点函数零点的应用(1)设函数f(x)exx2，g(x)ln xx23.若实数a，b满足f(a)0，g(b)0，则()Ag(a)0f(b)Bf(b)0g(a)C0g(a)f(b)Df(b)g(a)0(2)(20xx山东高考)已知函数f(x)其中m0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_(1)A(2)(3，)(1)f(x)exx2，f(x)ex10，则f(x)在R上为增函数，又f(0)e020，f(1)e10，且f(a)0，0a1.g(x)ln xx23，g(x)2x.当x(0，)时，g(x)0，g(x)在(0，)上为增函数，又g(1)ln 1220，g(2)ln 210，且g(b)0，1b2，ab，故选A(2)作出f(x)的图像如图所示当xm时，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)b有三个不同的根，则有4mm20.又m0，解得m3.规律方法已知函数有零点求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.跟踪训练(1)已知函数f(x)exx，g(x)ln xx，h(x)ln x1的零点依次为a，b，c，则()AabcBcbaCcabDbac(2)函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是() 【导学号：79140062】A(1,3)B(1,2)C(0,3)D(0,2)(1)A(2)C(1)eaa，a0，ln bb，且b0，0b1，ln c1，ce1，故选A(2)函数f(x)2xa在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)f(2)0，(a)(41a)0，即a(a3)0，0a3.
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