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1 1专题能力训练5基本初等函数、函数的图象和性质能力突破训练1.(20xx湖北六校联考)下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是()A.f(x)=-x|x|B.f(x)=xsin xC.f(x)=1xD.f(x)=x122.已知a=21.2,b=12-0.8,c=2log52,则a,b,c的大小关系为()A.cbaB.cabC.bacD.bc1,且f(a)=-3,则f(6-a)=()A.-74B.-54C.-34D.-146.(20xx安徽池州模拟)已知函数的定义域为R,且满足下列三个条件:对任意的x1,x24,8,当x10;f(x+4)=-f(x);y=f(x+4)是偶函数.若a=f(6),b=f(11),c=f(2 017),则a,b,c的大小关系正确的是()A.abcB.bacC.acbD.cbb1,若logab+logba=52,ab=ba,则a=,b=.8.若函数f(x)=xln(x+a+x2)为偶函数,则a=.9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间0,+)上单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(log12a)2f(1),则a的取值范围是.10.设奇函数y=f(x)(xR),满足对任意tR都有f(t)=f(1-t),且当x0,12时,f(x)=-x2,则f(3)+f-32的值等于.11.设函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1的最大值为M,最小值为m,则M+m=.12.若不等式3x2-logax0时,f(x)=ax+log5x,x4,x2+2x+3,0x4,若f(-5)f(-2),则a的取值范围是.17.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间-1,1上,f(x)=ax+1,-1x0,bx+2x+1,0x1,其中a,bR.若f12=f32,则a+3b的值为.18.(20xx山东,理15)若函数exf(x)(e=2.718 28是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为.f(x)=2-xf(x)=3-xf(x)=x3f(x)=x2+219.已知函数f(x)=ex-e-x(xR,且e为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性.(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)0对一切x都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.参考答案专题能力训练5基本初等函数、函数的图象和性质能力突破训练1.A解析函数f(x)=-x2,x0,x2,x0在其定义域上既是奇函数又是减函数,故选A.2.A解析b=12-0.8=20.81,又c=2log52=log541,cb0时函数为减函数.故选A.4.D解析因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=1,于是-1f(x-2)1等价于f(1)f(x-2)f(-1).又f(x)在区间(-,+)单调递减,所以-1x-21,即1x3.所以x的取值范围是1,3.5.A解析f(a)=-3,当a1时,f(a)=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,此等式显然不成立.当a1时,f(a)=-log2(a+1)=-3,即a+1=23,解得a=7.f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=14-2=-74.6.B解析由得f(x)在区间4,8上单调递增;由得f(x+8)=-f(x+4)=f(x),故f(x)是周期为8的周期函数,所以c=f(20xx)=f(2528+1)=f(1),b=f(11)=f(3);再由可知f(x)的图象关于直线x=4对称,所以b=f(11)=f(3)=f(5),c=f(1)=f(7).结合f(x)在区间4,8上单调递增可知,f(5)f(6)f(7),即bab1,知t1.由题意,得t+1t=52,解得t=2,则a=b2.由ab=ba,得b2b=bb2,即得2b=b2,即b=2,a=4.8.1解析f(x)是偶函数,f(-1)=f(1).又f(-1)=-ln(-1+a+1)=lna+1+1a,f(1)=ln(1+a+1),因此ln(a+1+1)-lna=ln(a+1+1),于是lna=0,a=1.9.12,2解析由题意知a0,又log12a=log2a-1=-log2a.f(x)是R上的偶函数,f(log2a)=f(-log2a)=f(log12a).f(log2a)+f(log12a)2f(1),2f(log2a)2f(1),即f(log2a)f(1).又f(x)在0,+)上单调递增,|log2a|1,-1log2a1,a12,2.10.-14解析根据对任意tR都有f(t)=f(1-t)可得f(-t)=f(1+t),即f(t+1)=-f(t),进而得到f(t+2)=-f(t+1)=-f(t)=f(t),得函数y=f(x)的一个周期为2,则f(3)=f(1)=f(0+1)=-f(0)=0,f-32=f12=-14,所以f(3)+f-32=0+-14=-14.11.2解析f(x)=(x+1)2+sinxx2+1=1+2x+sinxx2+1,设g(x)=2x+sinxx2+1,则g(-x)=-g(x),故g(x)是奇函数.由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0,则M+m=g(x)+1max+g(x)+1min=2+g(x)max+g(x)min=2.12.解由题意知3x21,函数y=logax的图象显然在函数y=3x2图象的下方,所以不成立;当0a1时,由图可知,y=logax的图象必须过点13,13或在这个点的上方,则loga1313,所以a127,所以127a1.综上,实数a的取值范围为127a0,cos6x0,则此时y0,故选D.14.B解析因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-5)=f(5)=5a+log55=1+5a,则不等式f(-5)f(2)可化为f(5)f(2).又f(2)=4+4+3=11,所以由5a+111可得af(-2)可化为f(2|a-1|)f(2),则2|a-1|2,|a-1|12,解得12a0,g(x)在R上单调递增,具有M性质;对,设g(x)=ex3-x,则g(x)=ex3-x+3-xln13=ex3-x1+ln130,g(x)0,g(x)在R上单调递增,具有M性质.故填.19.解(1)f(x)=ex-1ex,且y=ex是增函数,y=-1ex是增函数,f(x)是增函数.f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),f(x)是奇函数.(2)由(1)知f(x)是增函数且为奇函数.f(x-t)+f(x2-t2)0对xR恒成立,f(x-t)f(t2-x2),t2-x2x-t,x2+xt2+t对xR恒成立.又t+122x+12min2对一切xR恒成立,t+1220,t=-12.即存在实数t=-12,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)0对一切x都成立.
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