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1 1第06节 空间直角坐标系、空间向量及其运算 A 基础巩固训练1.在空间直角坐标系中，点M的坐标是，则点M关于y轴的对称点坐标为（ ）A B C D【答案】B2.如图，在正方体，若，则的值为 （ ）A3 B1 C1 D3 【答案】B【解析】.3. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足的实数的值有()A0个 B1个C2个 D3个【答案】C4.已知a3b与7a5b垂直，且a4b与7a2b垂直，则a，b_.【答案】60【解析】由条件知(a3b)(7a5b)7|a|216ab15|b|20，及(a4b)(7a2b)7|a|28|b|230ab0.两式相减，得46ab23|b|2，ab|b|2.代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a|b|.cosa，b.a，b0，180，a，b60.5. 在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_(用a，b，c表示)【答案】abc【解析】=abc. B能力提升训练1. 已知空间四点共面，则= 【答案】 2.【湖南长沙市一模】在空间直角坐标系中，已知点，则线段的长度为_【答案】【解析】根据两点间距离公式得：3如图，四面体的每条棱长都等于，点， 分别为棱， 的中点，则_； _【答案】 【解析】设中点为，以点为坐标原点， ， ， 分别为， ， 轴，建立空间直角坐标系， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故答案为， .4如图，在直三棱柱中， ， ，已知与分别是棱和的中点， 与分别是线段与上的动点（不包括端点）若，则线段的长度的取值范围是_【答案】， ， ， ， ， ，当时， ，当时，（不包含端点故不能取），长度取值为5.如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1.(1)求证：A、E、C1、F四点共面；(2)若xyz，求xyz的值【答案】（1）A、E、C1、F四点共面（2）.A、E、C1、F四点共面(2)().x1，y1，z. xyz.C思维扩展训练 1. 已知，当取最小值时，的值等于（ ）A B C19 D【答案】A2.【全国卷2】直三棱柱ABC-A1B1C1中，BCA=90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线为轴，则设CA=CB=1，则，A（1，0，0），故，所以，故选C.3.【江西卷】如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）XyzDCBAEDABC【答案】C【解析】E1E2E3EMFA11A因为，所以延长交于，过作垂直于在矩形中分析反射情况：由于，第二次反射点为在线段上，此时,第三次反射点为在线段上，此时,第四次反射点为在线段上,由图可知，选C.4. 已知向量， .（1）计算和.（2）求.【答案】(1) ； .(2) .试题解析：（1）.（2），又，故.5.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1BC侧面ABB1A1，且AA1=AB=2. （1）求证： ABBC; （2）若直线AC与平面A1BC所成的角为6，请问在线段A1C上是否存在点E，使得二面角A-BE-C的大小为23，请说明理由.【答案】(1)详见解析， (2) 23（2）由（1）AD平面A1BC，则ACD直线AC与平面A1BC所成的角所以ACD=6，又AD=2，所以AC=22 假设在线段A1C上是否存在一点E，使得二面角A-BE-C的大小为23由ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以以点A为原点，以AC、AA1所在直线分别为x,z轴建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示，且设A1E=A1C(01)，则由A1(0,0,2)，C(22,0,0)，得E(22,0,2-2) 所以AE=(22,0,2-2)，AB=(2,2,0)设平面EAB的一个法向量n1=(x,y,z)，由AEn1， ABn1 得：2x+2y=022x+(2-2)z=0，取n1=(1,-1,2-1) 由（1）知AB1平面A1BC，所以平面CEB的一个法向量AB1=(2,2,2)所以|cos23|=|AB1n1|AB1|n1|=|22-1|2+(2-1)222=12，解得=12点E为线段A1C中点时，二面角A-BE-C的大小为23
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