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第二节不等式的证明考纲传真通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法(对应学生用书第166页) 基础知识填充1不等式证明的方法(1)比较法： 求差比较法： 知道abab0，ababb，只要证明ab0即可，这种方法称为求差比较法求商比较法：由ab01且a0，b0，因此当a0，b0时，要证明ab，只要证明1即可，这种方法称为求商比较法(2)分析法：从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法(3)综合法：从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出了所要证明的结论，即“由因寻果”的方法这种证明不等式的方法称为综合法(4)几何法：通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的解法称为几何法(5)放缩法和反证法：在证明不等式时，有时可以通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法反证法是常用的证明方法它是通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论一定成立其证明的步骤是：作出否定结论的假设；进行推理，导出矛盾；否定假设，肯定结论2几个常用基本不等式(1)柯西不等式：柯西不等式的代数形式：对任意实数a，b，c，d，有(a2b2)(c2d2)(acbd)2(当向量(a，d)与向量(c，d)共线时等号成立)柯西不等式的向量形式：设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立一般形式的柯西不等式设a1，a2，an与b1，b2，bn是两组实数，则有(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当向量(a1，a2，an)与向量(b1，b2，bn)共线时，等号成立(2)算术几何平均不等式若a1，a2，an为正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论()(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论()(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实()(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)若ab1，xa，yb，则x与y的大小关系是()AxyBxyCxyDxyAxyaab.由ab1得ab1，ab0，所以0，即xy0，所以xy.3(教材改编)已知ab0，M2a3b3，N2ab2a2b，则M，N的大小关系为_MN2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为ab0，所以ab0，ab0,2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0，故2a3b32ab2a2B4已知a0，b0且ln(ab)0，则的最小值是_. 【导学号：00090380】4由题意得，ab1，a0，b0，(ab)2224，当且仅当ab时等号成立5已知x0，y0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy.证明因为x0，y0，所以1xy230,1x2y30，故(1xy2)(1x2y)339xy.(对应学生用书第167页)比较法证明不等式已知a0，b0，求证：.证明法一：()0，.10分法二：由于111.8分又a0，b0，0，.10分规律方法1.在法一中，采用局部通分，优化了解题过程；在法二中，利用不等式的性质，把证明ab转化为证明1(b0)2作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号提醒：在使用作商比较法时，要注意说明分母的符号变式训练1(20xx长沙模拟)设a，b是非负实数，求证：a2b2(ab)证明因为a2b2(ab)(a2a)(b2b)a()b()()(ab).6分因为a0，b0，所以不论ab0，还是0ab，都有ab与ab同号，所以(ab)0，所以a2b2(ab).10分综合法证明不等式(20xx长春模拟)设a，b，c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcac；(2)1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得a2b2c2abbcca，由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1，所以3(abbcca)1，即abbcca.5分(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，则abc，所以1.10分规律方法1.综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：AB1B2BnB(A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论)，它的常见书面表达式是“，”或“”2综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键变式训练2(20xx石家庄调研)已知函数f(x)2|x1|x2|.(1)求f(x)的最小值m；(2)若a，b，c均为正实数，且满足abcm，求证：3. 【导学号：00090381】解(1)当x1时，f(x)2(x1)(x2)3x3；2分当1x2时，f(x)2(x1)(x2)x43,6)；当x2时，f(x)2(x1)(x2)3x6.综上，f(x)的最小值m3.5分(2)证明：a，b，c均为正实数，且满足abc3，因为(abc)22(abc).8分(当且仅当abc1时取“”)所以abc，即3.10分分析法证明不等式(20xx全国卷)设a，b，c，d均为正数，且abcd，证明：(1)若abcd，则；(2)是|ab|cd|的充要条件证明(1)a，b，c，d为正数，且abcd，欲证，只需证明()2()2，也就是证明ab2cd2，只需证明，即证abcD由于abcd，因此.5分(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcD由(1)，得.8分若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcD于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|是|ab|cd|的充要条件.10分规律方法1.本题将不等式证明与充要条件的判定渗透命题，考查推理论证能力和转化与化归的思想方法，由于两个不等式两边都是正数，可通过两边平方来证明2当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆3分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为：变式训练3已知abc，且abc0，求证：A证明要证a，只需证b2ac3a2.abc0，只需证b2a(ab)3a2，只需证2a2abb20，4分只需证(ab)(2ab)0，只需证(ab)(ac)0.abc，ab0，ac0，(ab)(ac)0显然成立，故原不等式成立.10分
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