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考纲导读集合（一）集合的含义与表示1了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.2能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。（二）集合间的基本关系1理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2在具体情境中，了解全集与空集的含义.（三）集合的基本运算1理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。2理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.3能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算。无限集知识网络有限集分类集合的概念空集确定性元素的性质集合互异性列举法无序性集合的表示法描述法真子集子集包含关系相 等交集集合运算集合与集合的关系并集高考导航补集根据考试大纲的要求，结合2009年高考的命题情况，我们可以预测2010年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.第1课时 集合的概念基础过关一、集合1集合是一个不能定义的原始概念，描述性定义为：某些指定的对象 就成为一个集合，简称 集合中的每一个对象叫做这个集合的 2集合中的元素属性具有：(1) 确定性； (2) ； (3) 3集合的表示法常用的有 、 和韦恩图法三种，有限集常用 ，无限集常用 ，图示法常用于表示集合之间的相互关系二、元素与集合的关系4元素与集合是属于和 的从属关系，若a是集合A的元素，记作 ，若a不是集合B的元素，记作 但是要注意元素与集合是相对而言的三、集合与集合的关系5集合与集合的关系用符号 表示6子集：若集合A中 都是集合B的元素，就说集合A包含于集合B（或集合B包含集合A），记作 7相等：若集合A中 都是集合B的元素，同时集合B中 都是集合A的元素，就说集合A等于集合B，记作 8真子集：如果 就说集合A是集合B的真子集，记作 9若集合A含有n个元素，则A的子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个10空集是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，是任何集合的 ，是任何非空集合的 ，解题时不可忽视典型例题例1. 已知集合，试求集合的所有子集.解：由题意可知是的正约数，所以 可以是；相应的为，即. 的所有子集为.变式训练1.若a,bR,集合求b-a的值.解：由可知a0，则只能a+b=0，则有以下对应关系： 或 由得符合题意；无解.所以b-a=2.例2. 设集合，求实数a的值.解：此时只可能，易得或。当时，符合题意。当时，不符合题意，舍去。故。变式训练2：（1）Px|x22x30，Sx|ax20，SP，求a取值？（2）A2x5，Bx|m1x2m1，BA,求m。解：（1）a0,S，P成立 a0，S，由SP，P3，1得3a20，a或a20，a2； a值为0或或2.（2）B，即m12m1,m2 A成立. B，由题意得得2m3m2或2m3 即m3为取值范围.注：（1）特殊集合作用，常易漏掉例3. 已知集合A=x|mx2-2x+3=0，mR.（1）若A是空集，求m的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求m的值；（3）若A中至多只有一个元素，求m的取值范围.解： 集合A是方程mx2-2x+3=0在实数范围内的解集.(1)A是空集，方程mx2-2x+3=0无解.=4-12m.（2）A中只有一个元素，方程mx2-2x+3=0只有一个解.若m=0，方程为-2x+3=0，只有一解x=;若m0，则=0，即4-12m=0,m=.m=0或m=.(3)A中至多只有一个元素包含A中只有一个元素和A是空集两种含义，根据（1）、（2）的结果，得m=0或m.变式训练3.（1）已知A=a+2，（a+1）2，a2+3a+3且1A，求实数a的值；（2）已知M=2，a，b，N=2a，2，b2且M=N，求a，b的值.解：（1）由题意知：a+2=1或(a+1)2=1或a2+3a+3=1，a=-1或-2或0，根据元素的互异性排除-1，-2,a=0即为所求.（2）由题意知,或或或根据元素的互异性得或即为所求.例4. 若集合A2，4，B1，a1，、 ，且AB2，5，试求实数的值解:2，5，2A且5A，则5(a2)(a1)(a1)0，a1或a1或a2当a1时，B1，0，5，2，4，与AB2，5矛盾，a1当a1时，B1，2，1，5，12，与集合中元素互异性矛盾，a1当a2时，B1，3，2，5，25，满足AB2，5故所求a的值为2变式训练4.已知集合Aa，ad，a2d，Ba，aq， ，其中a0，若AB，求q的值解：AB()或 () 由()得q1，由()得q1或q当q1时，B中的元素与集合元素的互异性矛盾，q归纳小结小结归纳1本节的重点是集合的基本概念和表示方法，对集合的认识，关键在于化简给定的集合，确定集合的元素，并真正认识集合中元素的属性，特别要注意代表元素的形式，不要将点集和数集混淆2利用相等集合的定义解题时，特别要注意集合中元素的互异性，对计算的结果要加以检验3注意空集的特殊性，在解题时，若未指明集合非空，则要考虑到集合为空集的可能性4要注意数学思想方法在解题中的运用，如化归与转化、分类讨论、数形结合的思想方法在解题中的应用第2课时 集合的运算基础过关一、集合的运算1交集：由 的元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作AB，即AB 2并集：由 的元素组成的集合，叫做集合A与B的并集，记作AB，即AB 3补集：集合A是集合S的子集，由 的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集，记作，即 二、集合的常用运算性质1AA ，A ，AB= ，BA，AA ，A ，ABBA2 ， ， 3 ， ，4ABA ABA 典型例题例1. 设全集，方程有实数根，方程有实数根，求.解：当时，即；当时，即，且 ，而对于，即，.变式训练1.已知集合A=B= （1）当m=3时，求；（2）若AB，求实数m的值.解： 由得-1x5,A=.（1）当m=3时，B=，则=，=.(2)A=有42-24-m=0,解得m=8.此时B=,符合题意，故实数m的值为8.例2. 已知,或.(1)若,求的取值范围;(2) 若,求的取值范围.解:(1), ，解之得.(2) , . 或， 或若,则的取值范围是；若,则的取值范围是.变式训练2：设集合A=B（1）若AB求实数a的值；（2）若AB=A，求实数a的取值范围；（3）若U=R，A（）=A.求实数a的取值范围.解:由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A= （1）AB2B，代入B中的方程，得a2+4a+3=0,a=-1或a=-3;当a=-1时，B=满足条件；当a=-3时，B=满足条件；综上，a的值为-1或-3. （2）对于集合B，=4（a+1）2-4(a2-5)=8(a+3).AB=A，BA,当0,即a-3时，B=，满足条件；当=0，即a=-3时，B，满足条件；当0，即a-3时，B=A=才能满足条件， 则由根与系数的关系得即矛盾；综上，a的取值范围是a-3.（3）A（）=A，A，A 若B=，则0适合；若B，则a=-3时，B=，AB=，不合题意；a-3，此时需1B且2B，将2代入B的方程得a=-1或a=-3（舍去）；将1代入B的方程得a2+2a-2=0a-1且a-3且a-1 综上，a的取值范围是a-3或-3a-1-或-1-a-1或-1a-1+或a-1+. 例3. 已知集合A=B，试问是否存在实数a，使得AB 若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.解:方法一 假设存在实数a满足条件AB=则有（1）当A时，由AB=，B，知集合A中的元素为非正数，设方程x2+(2+a)x+1=0的两根为x1,x2,则由根与系数的关系，得（2）当A=时，则有=(2+a)2-40，解得-4a0.综上（1）、（2），知存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是（-4，+）.方法二 假设存在实数a满足条件AB，则方程x2+(2+a)x+1=0的两实数根x1，x2至少有一个为正，因为x1x2=10，所以两根x1,x2均为正数.则由根与系数的关系，得解得又集合的补集为存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是（-4，+）.变式训练3.设集合A=（x,y）|y=2x-1,xN*,B=(x,y)|y=ax2-ax+a,xN*，问是否存在非零整数a,使AB？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由.解：假设AB，则方程组有正整数解，消去y,得ax2-(a+2)x+a+1=0.由0，有（a+2）2-4a(a+1)0,解得-.因a为非零整数，a=1，当a=-1时，代入（*），解得x=0或x=-1,而xN*.故a-1.当a=1时，代入（*）,解得x=1或x=2，符合题意.故存在a=1,使得AB,此时AB=（1，1），（2，3）.小结归纳例4. 已知Axx22ax(4a3)0，xR，又Bxx22axa2a20，xR，是否存在实数a，使得AB?若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由解：1a2即实数(1，2)时，变式训练4.设集合为函数的定义域,集合为函数的值域,集合为不等式的解集.（1）求；（2）若,求的取值范围解：（1）解得A=（-4，2）， B= 。 所以归纳小结（2）a的范围为0 1在解决有关集合运算题目时，关键是准确理解题目中符号语言的含义，善于转化为文字语言2集合的运算可以用韦恩图帮助思考，实数集合的交、并运算可在数轴上表示，注意在运算中运用数形结合思想3对于给出集合是否为空集，集合中的元素个数是否确定，都是常见的讨论点，解题时要有分类讨论的意识.集合单元测试题一、选择题 1设全集U=R，A=xN1x10，B= xRx 2+ x6=0，则下图中阴影表示的集合为（ ）A2 B3 C3，2 D2，32当xR，下列四个集合中是空集的是（ ）A. x|x2-3x+2=0 B. x|x2xC. x|x2-2x+3=0 C. x|sinx+cosx=3设集合，集合，若, 则等于（ ）A. B. C. D.4设集合，则下列关系中正确的是（ ）A B C D5设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为M-P=x|xM且xp,则M-（M-P）等于（ ）A. P B. MP C. MP D. M 6已知, 若, 则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 7.集合Mxxsin，nZ，N xxcos，nZ ，MN（ ）A B C0 D8.已知集合Mx，Nx，则（ ）AMNBM N CM NDMN9 设全集x1x 9，xN，则满足的所有集合B的个数有 （ ）A1个 B4个 C5个 D8个10已知集合M(x，y)y，N(x，y)yxb，且MN，则实数b应满足的条件是（ ）Ab B0bC3b Db或b3二、填空题 11设集合,且，则实数的取值范围是 .12设全集U=R，A=，则右图中阴影部分表示的集合为 .13已知集合A=，那么A的真子集的个数是 .14若集合，则等于 .15满足的集合A的个数是_个.16已知集合，函数的定义域为Q.（1）若，则实数a的值为 ；（2）若，则实数a的取值范围为 .三、解答题17已知函数的定义域集合是A,函数的定义域集合是B（1）求集合A、B（2）若AB=B,求实数的取值范围18设，集合，；若，求的值. 19设集合，. (1)当时，求A的非空真子集的个数；(2)若B=，求m的取值范围；(3)若，求m的取值范围. 20. 对于函数f(x)，若f(x)x，则称x为f(x)的“不动点”，若，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即，.(1) 求证：AB(2) 若，且，求实数a的取值范围.单元测试参考答案 一、选择题 1答案：A2答案：C3答案：A4提示：，.答案： D5答案：B6答案：B7. 由与的终边位置知M，0，N1，0，1，故选C. 11提示:, ,答案：12答案：，图中阴影部分表示的集合为,13答案：1514. 答案：15. 答案：716. 答案：；17. 解：（1）AB（2）由ABB得AB，因此所以,所以实数的取值范围是18. 解：，由，当时，符合；当时，而，即或. 19. 解：化简集合A=，集合B可写为(1),即A中含有8个元素，A的非空真子集数为（个）.(1)显然只有当m-1=2m+1即m=-2时，B=.(2)当B=即m=-2时，；当B即时（）当m-2 时,B=（m-1,2m+1）,要只要.综合，知m的取值范围是：m=-2或20.证明(1).若A，则AB 显然成立；若A，设tA，则f(t)t，f(f(t)f(t)t，即tB，从而 AB.解 (2)：A中元素是方程f(x)x 即的实根. 由 A，知 a0 或 即 B中元素是方程 即 的实根由AB，知上方程左边含有一个因式，即方程可化为因此，要AB，即要方程 要么没有实根，要么实根是方程 的根.若没有实根，则，由此解得 若有实根且的实根是的实根，则由有 ，代入有 2ax10.由此解得，再代入得 由此解得 .故 a的取值范围是
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