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1 1 考 点考 情三角恒等变换1.三角恒等变换是高考的热点内容，在解答题中多作为一种化简工具考查，其中升幂公式、降幂公式、辅助角公式是考查的重点，如湖南T17等2.三角函数的图像与性质是高考考查的另一个热点，侧重于对函数yAsin(x)的周期性、单调性、对称性以及最值等的考查，常与其他知识交汇以解答题的形式考查，难度中等，如安徽T16等3.正弦定理、余弦定理以及解三角形的问题是高考的必考内容在解答题中主要考查：(1)边和角的计算；(2)面积的计算；(3)有关范围的问题由于此内容应用性较强，解三角形的实际应用问题也常出现在高考解答题中，如重庆T20等.三角函数的图像与性质解三角形向量与三角函数的综合问题解三角形的实际应用1(20xx湖南高考)已知函数f(x)sincos，g(x)2sin2.(1)若是第一象限角，且f()，求g()的值；(2)求使f(x)g(x)成立的x的取值集合解：f(x)sincossin xcos xcos xsin xsin x，g(x)2sin21cos x.(1)由f()得sin .又是第一象限角，所以cos 0.从而g()1cos 11.(2)f(x)g(x)等价于sin x1cos x，即sin xcos x1.于是sin.从而2kx2k，kZ，即2kx2k，kZ.故使f(x)g(x)成立的x的取值集合为.2(20xx重庆高考)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2b2 abc2.(1)求C；(2)设cos Acos B，求tan 的值解：(1)因为a2b2abc2，由余弦定理有cos C，故C.(2)由题意得.因此(tan sin Acos A)(tan sin Bcos B)，tan2sin Asin Btan (sin Acos Bcos Asin B)cos Acos B，tan2sin Asin Btan sin(AB)cos Acos B.因为C，AB，所以sin(AB)，因为cos(AB)cos Acos Bsin Asin B，即sin Asin B，解得sin Asin B.由得tan25tan 40，解得tan 1或tan 4.3(20xx江苏高考)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0,1)，若abc，求，的值解：(1)证明：由题意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因为a2b2|a|2|b|21，所以22ab2，即ab0，故ab.(2)因为ab(cos cos ，sin sin )(0,1)，所以由此，得cos cos ()，由0，得0.又0，所以，.1辅助角公式asin xbcos xsin(x)，其中tan .可利用辅助角公式求最值、单调区间和周期2三角形的面积公式(1)Sahabhbchc(ha，hb，hc分别是边a，b，c上的高)；(2)Sabsin Cbcsin Aacsin B； (3)SABC(海伦公式)3解三角形常见问题(1)已知一边和两角解三角形；(2)已知两边及其中一边的对角解三角形；(3)已知两边及其夹角解三角形；(4)已知三边解三角形；(5)三角形形状的判定；(6)三角形的面积问题；(7)正弦、余弦定理的综合应用热点一三角变换与求值例1(20xx北京高考)已知函数f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若，且f()，求的值自主解答(1)因为f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4xcos 2xsin 2xcos 4x(sin 4xcos 4x)sin，所以f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)因为f()，所以sin1.因为，所以4，即4.故.在本例中，若F(x)f(x)f(x)f2(x)，求F(x)的最大值和单调递增区间解：f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4x，F(x)f(x)f(x)f2(x)(cos 4xsin 4x)(cos 4xsin 4x)(sin 4xcos 4x)2cos 8x(12sin 4xcos 4x)cos 8xsin 8xsin，F(x)max.由2k8x2k，kZ，得kxk，kZ.故函数F(x)的单调递增区间为，kZ.1条件求值的一般思路(1)先化简所求式子或所给条件；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值2三角恒等变换的“五遇六想”(1)遇正切，想化弦；(2)遇多元，想消元；(3)遇差异，想联系；(4)遇高次，想降次；(5)遇特角，想求值；(6)想消元，引辅角1已知向量a，b，函数f(x)2ab为偶函数，且0，(1)求函数f(x)的解析式；(2)设x(0，)，f(x)1，求x的值解：(1)f(x)2sincos2cos2sin(2x)cos(2x)2sin.由f(x)为偶函数得k，kZ，k，kZ.又0，故函数f(x)的解析式为f(x)2sin2cos 2x.(2)由f(x)1得cos 2x.又x(0，)，所以2x(0,2)，所以2x或2x，即x或.2设函数f(x)2sin xcos2cos xsin sin x(0)在x处取最小值(1)求的值；(2)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a1，b，f(B)，求的值解：(1)f(x)2sin xcos2cos xsin sin xsin xcos xsin sin xcos cos xsin sin(x)，依题意，sin()1，0，.(2)由(1)知f(x)sin(x)sincos x，f(B)，cos B.0B，B.a1，b，由正弦定理，故sin A.ab，AB，0A0，所以4，因此1.(2)由(1)知f(x)sin.当x时，2x，所以sin1.因此1f(x).故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，1.研究三角函数图像与性质的常用方法(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为yAsin(x)的形式，然后再求解(2)对于形如yasin xbcos x型的三角函数，要通过引入辅助角化为ysin(x)的形式来求3函数yAsin(x)的一段图像如图所示(1)求函数yf(x)的解析式；(2)将函数yf(x)的图像向右平移个单位，得到yg(x)的图像求直线y与函数yf(x)g(x)的图像在(0，)内所有交点的坐标解：(1)由题意知A2，T，于是2，将y2sin 2x的图像向左平移个单位长度，得f(x)2sin 22sin.(2)依题意得g(x)2sin2cos.故yf(x)g(x)2sin2cos2sin.由2sin，得sin.0x，2x.2x或2x，x或x，所有交点的坐标为或.4已知函数f(x)(sin xcos x)sinx，且函数yf(x)的图像的一个对称中心为.(1)求a的值和函数f(x)的单调递减区间；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足，求函数f(A)的取值范围解：(1)f(x)(sin xcos x)cos xsin 2xcos 2xsin.据题意，2k，kZ，kZ，0，当k1时，.从而f(x)sin，故a.2kx2k，kZ，单调递减区间是，kZ.(2)2sin Acos Bcos Bsin Csin Bcos C,2sin Acos Bsin(BC)，cos B，B.f(A)sin，0A，故A，1f(A)，即f(A).热点三正弦、余弦定理及解三角形例3在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A3cos(BC)1.(1)求角A的大小；(2)若ABC的面积S5，b5，求sin Bsin C的值自主解答(1)由cos 2A3cos(BC)1，得2cos2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0，解得cos A或cos A2(舍去)因为0A，所以A.(2)由Sbcsin Abcbc5，得bc20.又b5，知c4.由余弦定理得a2b2c22bccos A25162021，故a.又由正弦定理得sin Bsin Csin Asin Asin2A.保持本例条件不变，若a6，bc8，求ABC的面积解：由余弦定理a2b2c22bccos A，得b2c2bc36.又bc8，所以bc.由三角形面积公式Sbcsin A，得ABC的面积为. 三角形的基本量的求法(1)先将几何问题转化为代数问题，若要把“边”化为“角”，常利用a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，若要把“角”化为“边”，常利用sin A，sin B，sin C，cos C等；(2)然后利用三角形的内角和定理、大边对大角等知识求出三角形的基本量5设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(abc)(abc)ac.(1)求B；(2)若sin Asin C，求C.解：(1)因为(abc)(abc)ac，所以a2c2b2ac.由余弦定理得cos B，因此B120.(2)由(1)知AC60，所以cos(AC)cos Acos Csin Asin Ccos Acos Csin Asin C2sin Asin Ccos(AC)2sin Asin C2，故AC30或AC30，因此C15或C45.6设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2，cos B.(1)求a，c的值；(2)求sin(AB)的值解：(1)由余弦定理b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac(1cos B)，又b2，ac6，cos B，所以ac9.解得a3，c3.(2)在ABC中，sin B ，由正弦定理得sin A.因为ac，所以A为锐角，所以cos A .因此sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.
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