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1 1考 点考 情等差、等比数列的判定与证明1.数列求和问题，多以考查公式法、错位相减法和裂项相消法为主，且考查频率较高，是高考命题的热点，如浙江T18等来源:学科网2数列与函数、不等式的综合问题也是高考考查的重点，主要考查利用函数的观点解决数列问题以及用不等式的方法研究数列的性质，多为中档题，如天津T19等3数列与解析几何交汇主要涉及点列问题，难度中等及以上4数列应用题主要以等差数列、等比数列及递推数列为模型进行考查，难度中等及以上.来源:Z_xx_k.Com来源:学#科#网Z#X#X#K来源:Z+xx+k.Com数列求和问题来源:学,科,网Z,X,X,K数列与函数、不等式的综合问题数列与解析几何的综合问题数列的实际应用问题新情境、新定义问题1(20xx浙江高考)在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1,2a22,5a3成等比数列(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|a3|an|.解：(1)由题意得5a3a1(2a22)2，a2a1d，a3a12d且a110.整理得d23d40.故d1或d4.所以ann11(nN*)或an4n6(nN*)(2)设数列an的前n项和为Sn.因为d0，由(1)得d1，ann11.则当n11时，|a1|a2|a3|an|Snn2n.当n12时，|a1|a2|a3|an|Sn2S11n2n110.综上所述，|a1|a2|a3|an|2(20xx天津高考)已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设TnSn(nN*)，求数列Tn的最大项的值与最小项的值解：(1)设等比数列an的公比为q，因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，于是q2.又an不是递减数列且a1，所以q.故等比数列an的通项公式为ann1(1)n1.(2)由(1)得Sn1n当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1SnS1，故0SnS1.当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以S2SnSnS2.综上，对于nN*，总有Sn.所以数列Tn的最大项的值为，最小项的值为.一、递推公式求通项常用的方法和技巧1an1anf(n)，把原递推公式转化为an1anf(n)，再利用累加法求解2an1f(n)an，把原递推公式转化为f(n)，再利用累乘法求解3an1panq(其中p，q均为常数，pq(p1)0)先用待定系数法把原递推公式转化为an1tp(ant)，其中t，再利用换元法转化为等比数列求解二、数列求和常用的方法1分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cnanbn形式的数列求和问题的方法，其中an与bn是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列2裂项相消法：将数列的通项分成两个代数式子的差，即anf(n1)f(n)的形式，然后通过累加抵消中间若干项的求和方法形如(其中an是各项均不为0的等差数列，c为常数)的数列等3错位相减法：形如anbn(其中an为等差数列，bn为等比数列)的数列求和，一般分三步：巧拆分；构差式；求和4倒序求和法：距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法，一般步骤：求通项公式；定和值；倒序相加；求和；回顾反思热点一等差、等比数列的判定与证明例1(20xx北京高考)已知an是由非负整数组成的无穷数列该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an1，an2，的最小值记为Bn，dnAnBn.(1)若an为2,1,4,3,2,1,4,3，是一个周期为4的数列(即对任意nN*，an4an)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数证明：dnd(n1,2,3，)的充分必要条件为an是公差为d的等差数列；(3)证明：若a12，dn1(n1,2,3，)，则an的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.自主解答(1)d1d21，d3d43.(2)证明：(充分性)因为an是公差为d的等差数列，且d0，所以a1a2an，因此Anan，Bnan1，dnanan1d(n1,2,3，)(必要性)因为dnd0(n1,2,3，)，所以AnBndnBn，又anAn，an1Bn，所以anan1，于是，Anan，Bnan1，因此an1anBnAndnd，即an是公差为d的等差数列(3)证明：因为a12，d11，所以A1a12，B1A1d11.故对任意n1，anB11.假设an(n2)中存在大于2的项设m为满足am2的最小正整数，则m2，并且对任意1k2.于是，BmAmdm211，Bm1minam，Bm2.故dm1Am1Bm1220，与dm11矛盾所以对于任意n1，有an2，即非负整数列an的各项只能为1或2.因为对任意n1，an2a1，所以An2.故BnAndn211.因此对于任意正整数n，存在m满足mn，且am1，即数列an有无穷多项为1.证明(或判断)数列是等差(比)数列的四种基本方法(1)定义法：an1and(常数)(nN*)an是等差数列；q(q是非零常数)an是等比数列；(2)等差(比)中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列；aanan2(nN*，an0)an是等比数列；(3)通项公式法：anpnq(p，q为常数)an是等差数列；ana1qn1(其中a1，q为非零常数，nN*)an是等比数列(4)前n项和公式法：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列；SnAqnA(A为非零常数，q0,1)an是等比数列1已知数列an，bn满足：a10，b12 013，且对任意的正整数n，an，an1，bn和an1，bn1，bn均成等差数列(1)求a2，b2的值；(2)证明：anbn和an2bn均成等比数列；(3)是否存在唯一的正整数c，使得ancbn恒成立？证明你的结论解：(1)a2，b2.(2)证明：依题意，对任意的正整数n，有因为，nN*，又a1b12 0130，所以，anbn是首项为2 013，公比为的等比数列；因为1，nN*，又a12b14 0260，所以，an2bn是首项为4 026，公比为1的等比数列(3)由(2)得解得nN*.显然，an是单调递增数列，bn是单调递减数列，且an1 342bn，nN*.即存在正整数c1 342，使得对任意的nN*，有an1 3421 342.而2101 024，2124 096，所以2n212，n7.即对任意的nN*当n7时，1 341an1 342bn1 343，所以正整数c1 342也是唯一的综上所述，存在唯一的正整数c1 342，使得对任意的nN*，有anc0)，则a2,3qa1,3q(12d)q(12d)6，a3,2q2a1,2q2(1d)q2(1d)8，解得d1，q2.a1,22an,222n12n.(2)bn，则Sn，则Sn，两式相减得Sn1，所以Sn2.若本例(2)中bn(1)na1，n，如何求Sn?解：由例题可知bn(1)nn，Sn123(1)nn设Tn，则Tn两式相减得Tn1，所以Tn2.又123(1)nn故Sn 六招解决数列求和问题(1)转化法：将数列的项进行分组重组，使之转化为n个等差数列或等比数列，然后应用公式求和(2)错位相减法：(见要点归纳)(3)裂项相消法：(见要点归纳)(4)倒序相加法：(见要点归纳)(5)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求Sn.(6)归纳猜想法：通过对S1，S2，S3，的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出Sn，然后用数学归纳法给出证明2已知数列an的前n项和为Sn，a13，若数列Sn1是公比为4的等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，nN*，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)由题意知Sn1(S11)4n14n，所以Sn4n1.当n2时，anSnSn134n1，且a13满足上式，所以数列an的通项公式为an34n1.(2)bn，Tnb1b2bn.热点三数列与函数、方程的综合应用例3(20xx成都模拟)设函数f(x)x2，过点C1(1,0)作x轴的垂线l1交函数f(x)图像于点A1，以A1为切点作函数f(x)图像的切线交x轴于点C2，再过C2作x轴的垂线l2交函数f(x)图像于点A2，以此类推得点An，记An的横坐标为an，nN*.(1)证明数列an为等比数列，并求出通项公式；(2)设直线ln与函数g(x)logx的图像相交于点Bn，记bnnn(其中O为坐标原点)，求数列bn的前n项和Sn.自主解答(1)以点An1(an1，a)(n2)为切点的切线方程为ya2an1(xan1)当y0时，得xan1，即anan1.又a11，数列an是以1为首项，为公比的等比数列通项公式为ann1.(2)由题意，得Bn.bnnnn1n1(n1)nn1.Sn1021nn1，Sn1122nn，两式相减，得Sn1011n1nnnn，化简，得Snn.解决数列与函数、方程的综合问题的三个转化方向(1)函数条件的转化直接利用函数与数列的对应关系，把函数解析式中的自变量x换为n即可；(2)方程条件的转化一般要根据方程解的有关条件进行转化；(3)数列向函数的转化可将数列中的问题转化为函数的相应问题求解，但要注意自变量取值范围的限制对于数列中的最值、范围等问题的求解，可转化为相应函数的单调性或利用方程有解的条件来求解3已知函数f(x)(x1)2，g(x)4(x1)数列an是各项均不为0的等差数列，点(an1，S2n1)在函数f(x)的图像上；数列bn满足b12，bn1，且(bnbn1)g(bn)f(bn)(nN*)(1)求数列an的通项公式，并证明数列bn1是等比数列；(2)若数列cn满足cn，证明：c1c2c3cn3.解：(1)因为点(an1，S2n1)在函数f(x)的图像上，所以aS2n1.分别令n1，n2，得即解得a11，d2(d1舍去)，则an2n1.由(bnbn1)g(bn)f(bn)，得4(bnbn1)(bn1)(bn1)2.由题意bn1，所以4(bnbn1)bn1，即3(bn1)4(bn11)，所以.又因为b12，所以b111.所以数列bn1是首项为1，公比为的等比数列(2)证明：由(1)得bn1n1.cn.令Tnc1c2c3cn，则Tn，Tn，得，Tn122.所以Tn3，所以c1c2c3cn30，故有2n240n720，解得2n18.又nN*，可知从第三年开始获利(2)平均利润为40216，当且仅当n6时取等号故此方案获利2624067248144(万美元)，此时n6.f(n)2n240n722(n10)2128，当n10时，f(n)max128.故此方案共获利12816144(万美元)比较两种方案，第种方案只需6年，第种方案需要10年，故选择第种方案.
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