新版新课标高三数学一轮复习 第8篇 第3节 椭圆课时训练 理

1 1【导与练】（新课标）20xx届高三数学一轮复习 第8篇 第3节 椭圆课时训练 理【选题明细表】知识点、方法题号椭圆的定义与标准方程1、2、3、4、7、8、11、13椭圆的几何性质5、6、12、14、15、17直线与椭圆的位置关系9、10、12、16基础过关一、选择题1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于(D)(A)13(B)33(C)12(D)32解析:由题意得ba=12,e=ca=1-(12)2=32.2.已知椭圆的焦点为F1(-1,0)和F2(1,0),P是椭圆上的一点,且|F1F2|是|PF1| 与|PF2|的等差中项,则该椭圆的方程为(C)(A)x216+y29=1(B)x216+y212=1(C)x24+y23=1(D)x23+y24=1解析:由题意知c=1,|F1F2|=|PF1|+|PF2|2,即a=2c=2,b2=a2-c2=3,故所求椭圆的标准方程为x24+y23=1.3.(20xx广东四校联考)已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m0),则此椭圆的离心率为(B)(A)13(B)33(C)22(D)12解析:由题意得椭圆的标准方程为x2m2+y2m3=1,a2=m2,b2=m3,c2=a2-b2=m6,e2=c2a2=13,e=33.4.P是椭圆x25+y24=1上的一点,F1和F2是焦点,若F1PF2=30,则F1PF2的面积等于(B)(A)1633 (B)4(2-3)(C)16(2+3)(D)16解析:由题意知c=1;|PF1|+|PF2|=25,|F1F2|=2,在F1PF2中有:|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 30=|F1F2|2,(|PF1|+|PF2|)2-(2+3)|PF1|PF2|=4,|PF1|PF2|=16(2-3),F1PF2的面积等于12|PF1|PF2|sin 30=4(2-3).5.(20xx杭州市第一次统测)若P是以F1、F2为焦点的椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上的一点,且PF1PF2=0,tan PF1F2=12,则此椭圆的离心率为(A)(A)53(B)23(C)13(D)12解析:PF1PF2=0,PF1PF2,在RtPF1F2中,设|PF2|=1,则|PF1|=2,|F1F2|=5,2a=|PF1|+|PF2|=3,2c=5,故此椭圆的离心率e=2c2a=53.6.设F1、F2为椭圆的两个焦点,以F2为圆心作圆F2,已知圆F2经过椭圆的中心,且与椭圆的一个交点为M,若直线MF1恰与圆F2相切,则该椭圆的离心率e为(A)(A)3-1(B)2-3(C)22(D)32解析:易知圆F2的半径为c,由题意知RtMF1F2中|MF2|=c,|MF1|=2a-c,|F1F2|=2c且MF1MF2,所以(2a-c)2+c2=4c2,(ca)2+2(ca)-2=0,ca=3-1.即e=3-1.故选A.7.(20xx四川广安一模)若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OPFP的最大值为(C)(A)2(B)3(C)6(D)8解析:由椭圆x24+y23=1可得点F(-1,0),点O(0,0),设P(x,y),-2x2,则OPFP=(x,y)(x+1,y)=x2+x+y2=x2+x+3(1-x24)=14x2+x+3=14(x+2)2+2,当且仅当x=2时,OPFP取得最大值6.8.过点A(3,-2)且与椭圆x29+y24=1有相同焦点的椭圆的方程为(A)(A)x215+y210=1(B)x225+y220=1(C)x210+y215=1(D)x220+y215=1解析:由题意得c2=9-4=5,又已知椭圆的焦点在x轴上,故所求椭圆方程可设为x2+5+y2=1(0),代入点A的坐标得9+5+4=1,解得=10或=-2(舍去).故所求椭圆的方程为x215+y210=1.故选A.二、填空题9.(20xx江西省师大附中、临川一中联考)已知直线x-2y+2=0过椭圆x2a2+y2b2=1(a0,b0,ab)的左焦点F1和一个顶点B,则该椭圆的离心率e=.解析:由x-2y+2=0得y=12x+1,令y=0,得x=-2,F1(-2,0),令x=0,得y=1,B(0,1),c=2,b=1.a=b2+c2=5,e=ca=255.答案:25510.(20xx安徽安庆模拟)已知斜率为-12的直线l交椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)于A、B两点,若点P(2,1)是AB的中点,则C的离心率等于.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,两式相减得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,又因为AB的中点是(2,1),4(x1-x2)a2+2(y1-y2)b2=0,kAB=y1-y2x1-x2=-2b2a2=-12,b2a2=14,e=1-b2a2=32.答案:3211.(20xx高考上海卷)设AB是椭圆的长轴,点C在上,且CBA=4.若AB=4,BC=2,则的两个焦点之间的距离为.解析:如图所示,以AB的中点O为坐标原点,建立如图所示的坐标系.设D在AB上,且CDAB,AB=4,BC=2,CBA=4CD=1,DB=1,C(1,1).2a=4,a=2,把C(1,1)代入椭圆的标准方程得1a2+1b2=1,1b2=1-1a2=34,b2=43,c2=83c=263,2c=436.答案:436三、解答题12.(20xx高考新课标全国卷)设F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为34,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.解:(1)根据c=a2-b2及题设知M(c,b2a),2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得ca=12,ca=-2(舍去).故C的离心率为12.(2)由题意知,原点O为F1F2的中点,MF2y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故b2a=4,即b2=4a.由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.设N(x1,y1),由题意知y10,则2(-c-x1)=c,-2y1=2,即x1=-32c,y1=-1.代入C的方程,得9c24a2+1b2=1.将及c=a2-b2代入得9(a2-4a)4a2+14a=1,解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=27.13.已知椭圆x2+y2b2=1(0b0),FC是圆P的直径,FBBC,kBC=-b,kBF=bc,-bbc=-1,b2=c=1-c2,c2+c-1=0,解得c=5-12,椭圆的离心率e=ca=5-12.(2)圆P过F、B、C三点,圆心P既在FC的垂直平分线上,也在BC的垂直平分线上,FC的垂直平分线方程为x=1-c2,BC的中点为12,b2,kBC=-b,BC的垂直平分线方程为y-b2=1bx-12,由得x=1-c2,y=b2-c2b,即m=1-c2,n=b2-c2b.P(m,n)在直线x+y=0上,1-c2+b2-c2b=0(1+b)(b-c)=0.1+b0,b=c.由b2=1-c2得b2=12,椭圆的方程为x2+y212=1.能力提升14.(20xx北京市海淀区期末)椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是(D)(A)(13,23)(B)(12,1)(C)(23,1)(D)(13,12)(12,1)解析:当点P位于椭圆的两个短轴端点时,F1F2P为等腰三角形,此时有2个.若点P不在短轴的端点时,要使F1F2P为等腰三角形,则有PF1=F1F2=2c或 PF2=F1F2=2c.不妨设PF1=F1F2=2c.此时PF2=2a-2c.所以有PF1+F1F2PF2,即2c+2c2a-2c,所以3ca,即ca13,又当点P不在短轴上,所以PF1BF1,即2ca,所以ca12.所以椭圆的离心率满足13eb0),M、N是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆上任意一点,且直线PM、PN的斜率分别为k1,k2,若|k1k2|=14,则椭圆的离心率e=.解析:设P(x,y),M(x0,y0),N(-x0,-y0),则k1=y-y0x-x0,k2=y+y0x+x0,由题意有|k1k2|=|y-y0x-x0y+y0x+x0|=|y2-y02x2-x02|=14,P、M、N在椭圆上,x2a2+y2b2=1,x02a2+y02b2=1,两式相减得x2-x02a2+y2-y02b2=0,即y2-y02x2-x02=-b2a2,b2a2=14,即a2-c2a2=14,解得e=ca=32.答案:3216.(20xx高考安徽卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为4,且过点P(2,3).(1)求椭圆C的方程;(2)设Q(x0,y0)(x0y00)为椭圆C上一点,过点Q作x轴的垂线,垂足为E.取点A(0,22),连接AE,过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG,问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.解:(1)因为椭圆过点P(2,3)2a2+3b2=1且a2=b2+c2 a2=8,b2=4,c2=4椭圆C的方程是x28+y24=1.(2)一定有唯一的公共点.理由:由题意知,点E坐标为(x0,0).设D(xD,0),则AE=(x0,-22),AD=(xD,-22).再由ADAE知,AEAD=0,即xDx0+8=0.由于x0y00,故xD=-8x0.因为点G是点D关于y轴的对称点,所以点G(8x0,0).故直线QG的斜率kQG=y0x0-8x0=x0y0x02-8.又因为点Q(x0,y0)在椭圆C上,所以x02+2y02=8.从而kQG=-x02y0.故直线QG的方程为y=-x02y0(x-8x0).将代入椭圆C的方程,化简,得(x02+2y02)x2-16x0x+64-16y02=0.再将代入,化简得x2-2x0x+x02=0.解得x=x0,则y=y0,即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点.探究创新17.如图,B(-c,0),C(c,0),AHBC,垂足为H,且BH=3HC.又AD=-4DB,且A、D同在B、C为焦点的椭圆上,求椭圆的离心率.解:设以B、C为焦点的椭圆为x2a2+y2b2=1,焦距为c.再设点A、D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|BC|=2c,且B、C的坐标分别为(-c,0),(c,0),由BH=3HC可得,x1=c2,又AD=-4DB得AD=4BD由向量的坐标运算得:(x2-x1,y2-y1)=4(x2+c,y2)因此,x2-x1=4(x2+c),y2-y1=4y2,又x1=c2所以,x2=-3c2,y2=-y13得A(c2,y1),D(-3c2,-y13)代入椭圆方程得:e24+y12b2=1,9e24+y129b2=1以整体代入法解得e=105.