新版一轮优化探究理数苏教版练习：第九章 第八节　抛物线 Word版含解析

1 1一、填空题1抛物线yax2的准线方程是x20，则a的值是_解析：抛物线方程可化为x2y，准线方程为x2，得a.答案：2若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为_解析：椭圆的右焦点是(2,0)，2，p4.答案：43若抛物线y22x上的一点M到坐标原点O的距离为，则M到该抛物线焦点的距离为_解析：设点M的坐标为，则 ，即t44t2120，解得t22或t26(舍)，故M(1，)又抛物线的准线方程为x，故点M到准线距离为，即M到其焦点距离为.答案：4若抛物线y22px(p0)，过其焦点F倾斜角为60的直线l交抛物线于A、B两点，且|AB|4.则此抛物线的方程为_解析：抛物线的焦点为F(，0)，得直线l的方程为：y(x)，将其与y22px(p0)联立消去y得：3x25xpp20，x1x2p，又|AB|x1x2p.有p4，解得：p.抛物线方程为：y23x.答案：y23x5如果直线l过定点M(1,2)，且与抛物线y2x2有且仅有一个公共点，那么直线l的方程为_解析：点M在抛物线上，由题意知直线l与抛物线相切于点M(1,2)，y|x14，直线l的方程为y24(x1)，即4xy20.当l与抛物线相交时，l的方程为x1.答案：4xy20，x16已知过抛物线y26x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是_解析：抛物线焦点是(，0)，设直线方程为yk(x)，代入抛物线方程，得k2x2(3k26)xk20，设弦两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，|AB|x1x2p312，解得 k1，直线的倾斜角为或.答案：或7过抛物线x24y的焦点F作直线l，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若y1y26，则|AB|等于_解析：结合抛物线的定义可知|AB|(y1)(y2)y1y2p628.答案：88已知圆x2y26x70与抛物线y22px(p0)的准线相切，则p_.解析：由题知，圆的标准方程为(x3)2y242，圆心坐标为(3,0)，半径r4.与圆相切且垂直于x轴的两条切线是x1，x7.而y22px(p0)的准线方程是x，由1得p2，由7得p14与题设矛盾(舍去)p2.答案：29连结抛物线x24y的焦点F与点M(1,0)所得的线段与抛物线交于点A，设点O为坐标原点，则OAM的面积为_解析：线段FM所在直线方程xy1与抛物线交于A(x0，y0)，则y032或y032(舍去)SOAM1(32).答案：二、解答题10根据下列条件求抛物线的标准方程(1)抛物线的焦点是双曲线16x29y2144的左顶点；(2)过点P(2，4)；(3)抛物线的焦点在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，|AF|5.解析：(1)双曲线方程化为1，左顶点为(3,0)，由题意设抛物线方程为y22px(p0)且3，p6，方程为y212x.(2)由于P(2，4)在第四象限且抛物线的对称轴为坐标轴，可设方程为y2mx或x2ny.代入P点坐标求得m8，n1，所求抛物线方程为y28x或x2y.(3)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为y22px(p0)，A(m，3)，由抛物线定义得5|AF|m|.又(3)22pm，p1或p9，故所求抛物线方程为y22x或y218x.11在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，焦点F的坐标为(1,0)(1)求抛物线C的标准方程；(2)设M，N是抛物线C的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为4，直线MO、NO与抛物线的交点分别为点A、B，求证：动直线AB恒过一个定点解析：(1)设抛物线的标准方程为y22px(p0)，则1，所以p2，所以抛物线C的标准方程为y24x.(2)证明：证法一抛物线C的准线方程为x1，设M(1，y1)，N(1，y2)，其中y1y24.则直线MO的方程为：yy1x，将yy1x与y24x联立方程组，解得A点坐标为(，)，同理可得B点坐标为(，)，则直线AB方程为：，整理得(y1y2)y4x40，由解得故动直线AB恒过一个定点(1,0)证法二抛物线C的准线方程为x1，设M(1，y1)，N(1，y2)，其中y1y24.取y12，则y22，可得M(1,2)，N(1，2)此时直线MO的方程为y2x，由解得A(1，2)同理，可得B(1,2)，则直线AB的方程为l1：x1，再取y11，则y24，同理可得A(4，4)，B(，1)，此时直线AB方程为l2：4x3y40，于是可得l1与l2的交点为(1,0)故动直线AB恒过一个定点(1,0)12已知过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点求证：(1)x1x2为定值；(2) 为定值证明：(1)抛物线y22px的焦点为F(，0)，设直线AB的方程为yk(x)(k0)由消去y，得k2x2p(k22)x0.由根与系数的关系得x1x2(定值)当ABx轴时，x1x2，x1x2也成立(2)由抛物线的定义知，|FA|x1，|FB|x2.(定值)当ABx轴时，|FA|FB|p，上式也成立