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新编高考数学复习资料第九章解析几何学案45直线与方程导学目标： 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系自主梳理1直线的倾斜角与斜率(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按_方向旋转到和直线重合时所转过的_称为这条直线的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_(2)倾斜角的范围为_(3)倾斜角与斜率的关系：90时，k_，倾斜角是90的直线斜率_(4)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1x2)的直线的斜率公式为k_.2直线方程的五种基本形式名称方程适用范围点斜式不含直线xx0斜截式不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1 (x1x2)和直线yy1(y1y2)截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用自我检测1若A(2,3)，B(3，2)，C三点共线，则m的值为_2直线l与两条直线xy70，y1分别交于P、Q两点，线段PQ的中点为(1，1)，则直线l的斜率为_3下列四个命题中，假命题是_(填序号)经过定点P(x0，y0)的直线不一定都可以用方程yy0k(xx0)表示；经过两个不同的点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)来表示；与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程1表示；经过点Q(0，b)的直线都可以表示为ykxb.4如果AC0，且BC0，那么直线AxByC0不通过第_象限5已知直线l的方向向量与向量a(1,2)垂直，且直线l过点A(1,1)，则直线l的方程为_探究点一倾斜角与斜率例1已知两点A(1，5)、B(3，2)，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求l的斜率变式迁移1直线xsin y10的倾斜角的变化范围是_探究点二直线的方程例2过点M(0,1)作直线，使它被两直线l1：x3y100，l2：2xy80所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程变式迁移2求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(1，3)，倾斜角等于直线y3x的倾斜角的2倍探究点三直线方程的应用例3过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：(1)AOB面积最小时l的方程；(2)PAPB最小时l的方程变式迁移3为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB100 m，BC80 m，AE30 m，AF20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？数形结合思想例(14分)已知实数x，y满足yx22x2(1x1)试求的最大值与最小值【答题模板】解由的几何意义可知，它表示经过定点P(2，3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k，4分由图可知：kPAkkPB，由已知可得：A(1,1)，B(1,5)，k8，10分故的最大值为8，最小值为.14分【突破思维障碍】解决这类问题的关键是弄清楚所求代数式的几何意义，借助数形结合，将求最值问题转化为求斜率取值范围问题，简化了运算过程，收到事半功倍的效果1要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的范围为0180，熟记斜率公式k，该公式与两点顺序无关已知两点坐标(x1x2)，根据该公式可以求出经过两点的直线斜率，而x1x2，y1y2时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为90.2当直线没有斜率(x1x2)或斜率为0(y1y2)时，不能用两点式求直线方程，但都可以写成(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)的形式直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化成一般式，但是有些直线的一般式方程不能化成点斜式、斜截式、两点式或截距式3使用直线方程时，一定要注意限制条件以免解题过程中丢解，如点斜式的使用条件是直线必须有斜率，截距式的使用条件是截距存在且不为零，两点式的使用条件是直线不与坐标轴垂直(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1已知直线l经过A(2,1)、B(1，m2) (mR)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是_2若直线l：ykx与直线2x3y60的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是_3点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，那么2x4y的最小值是_4(2011淮安期末)点A(ab，ab)在第一象限内，则直线bxayab0一定不经过第_象限5经过点P(2，1)，且在y轴上的截距等于它在x轴上的截距的2倍的直线l的方程为_6过两点A(m22，m23)，B(3mm2,2m)的直线l的倾斜角为45，则m_.7过点P(1,2)，且方向向量为a(1,2)的直线方程为_8设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且PAPB，若直线PA的方程为xy10，则直线PB的方程是_二、解答题(共42分)9(14分)已知两点A(1,2)，B(m,3)，求：(1)直线AB的斜率k；(2)求直线AB的方程；(3)已知实数m，求直线AB的倾斜角的范围10(14分)已知线段PQ两端点的坐标分别为(1,1)、(2,2)，若直线l：xmym0与线段PQ有交点，求m的范围11(14分)已知直线l：kxy12k0 (kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程学案45直线与方程答案自主梳理1(1)逆时针最小正角0(2)00，0290，00，故直线l的斜率为.变式迁移1解析直线xsin y10的斜率是ksin ，又1sin 1，1k1.当0k1时，倾斜角的范围是，当1k2，b1)，由已知可得1.(1)2 1，ab8.SAOBab4.当且仅当，即a4，b2时，SAOB取最小值4，此时直线l的方程为1，即x2y40.(2)由1，得aba2b0，变形得(a2)(b1)2，PAPB.当且仅当a21，b12，即a3，b3时，PAPB取最小值4.此时直线l的方程为xy30.变式迁移3解如图所示建立直角坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，线段EF的方程为1(0x30)在线段EF上取点P(m，n)，作PQBC于点Q，PRCD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则SPQPR(100m)(80n)又1(0m30)，n20(1)S(100m)(8020m)(m5)2(0m30)当m5时，S有最大值，这时5.所以当矩形草坪的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分EF成51时，草坪面积最大课后练习区1.2.3.44三解析由已知得即a0，b0.由bxayab0知yxb.该直线的斜率k0，故该直线一定不经过第三象限52xy30或x2y0解析当截距不等于零时，设l的方程1，点P在l上，1，则a.l的方程为2xy3.当截距等于零时，设l的方程为ykx，又点P在l上，k.x2y0.综上，所求直线l的方程为2xy3或x2y0.62解析由题意得：1，解得：m2或m1.又m223mm2，m1且m，m2.72xy0解析由已知方向向量得直线斜率k2，由点斜式方程得2xy0.8xy50解析易知A(1,0)，PAPB，P在AB的中垂线即x2上B(5,0)PA、PB关于直线x2对称，kPB1.lPBy0(x5)xy50.9解(1)当m1时，直线AB的斜率不存在；(1分)当m1时，k.(3分)(2)当m1时，AB的方程为x1，(5分)当m1时，AB的方程为y2(x1)，即y.(7分)直线AB的方程为x1或y.(8分)(3)当m1时，；(10分)当m1时，k(，.(13分)综合，知直线AB的倾斜角.(14分)10.解方法一直线xmym0恒过A(0，1)点(4分)kAP2，kAQ，(8分)则或2，m且m0.(12分)又m0时直线xmym0与线段PQ有交点，(13分)所求m的范围是m.(14分)方法二过P、Q两点的直线方程为y1(x1)(5分)即yx，代入xmym0，整理得：x，由已知12，(12分)解得：m.(14分)11(1)证明直线l的方程是：k(x2)(1y)0，令，解之得，无论k取何值，直线总经过定点(2,1)(4分)(2)解由方程知，当k0时直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，要使直线不经过第四象限，则必须有，解之得k0；(7分)当k0时，直线为y1，符合题意，故k0.(9分)(3)解由l的方程，得A，B(0,12k)依题意得解得k0.(11分)SOAOB|12k|(224)4，“”成立的条件是k0且4k，即k，Smin4，此时l：x2y40.(14分)
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