新版新课标高三数学一轮复习 第8篇 第4节 双曲线课时训练 理

1 1【导与练】（新课标）20xx届高三数学一轮复习 第8篇 第4节 双曲线课时训练 理 【选题明细表】知识点、方法题号双曲线的定义与标准方程1、6、7、10双曲线的几何性质2、3、4、8、9双曲线的综合问题5、11、12、13、14、15、16、17基础过关一、选择题1.(20xx福建晋江模拟)双曲线2x2-y2=8的实轴长是(C)(A)2(B)22(C)4(D)42解析:双曲线的标准方程为x24-y28=1,所以a=2,则实轴长是4.2.(20xx湖南师大附中质检)设双曲线x2a2-y29=1(a0)的渐近线方程为3x2y=0,则a的值为(C)(A)4(B)3(C)2(D)1解析:由题意得3a=32,a=2.3.已知00,b0)的右焦点F,直线x=a2c与其渐近线交于A,B两点,与x轴交于D点,且ABF为钝角三角形,则离心率取值范围是(D)(A)(3,+)(B)(1,3)(C)(2,+)(D)(1,2)解析:易知A(a2c,abc),若ABF为钝角三角形,则AFB为钝角,即AFD45,所以在ADF中,tanAFD=ADDF=abcc-a2c1,解得1e0,b0)的左、右焦点分别是F1、F2,过F1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点,若MF2x轴,则双曲线的离心率为.解析:由条件令|MF2|=m,|MF1|=2m,则|F1F2|=3m,即2c=3m,2a=|MF1|-|MF2|=2m-m=m,所以离心率e=2c2a=3mm=3.答案:310.(20xx高考天津卷)已知抛物线y2=8x的准线过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为.解析:由抛物线y2=8x知其准线方程为x=-2.则双曲线中c=2,ca=2a=2,a=1,b=3.所以双曲线方程为x2-y23=1.答案:x2-y23=111.已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x2+y2=10相交于点P(3,-1),若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行,则此双曲线的方程为.解析:切点为P(3,-1)的圆x2+y2=10的切线方程是3x-y=10.双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称,两渐近线方程为3xy=0.设所求双曲线方程为9x2-y2=(0).点P(3,-1)在双曲线上,代入上式可得=80,所求的双曲线方程为x2809-y280=1.答案:x2809-y280=1三、解答题12.(20xx山东潍坊第一次质检)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离等于3,过右焦点F2的直线l交双曲线于A、B两点,F1为左焦点.(1)求双曲线的方程;(2)若F1AB的面积等于62,求直线l的方程.解:(1)依题意,b=3,ca=2a=1,c=2,双曲线的方程为x2-y23=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)知F2(2,0).易验证当直线l斜率不存在时不满足题意,故可设直线l:y=k(x-2),由y=k(x-2),x2-y23=1,消元得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0,k3时,x1+x2=4k2k2-3,x1x2=4k2+3k2-3,y1-y2=k(x1-x2),F1AB的面积S=c|y1-y2|=2|k|x1-x2|=2|k|16k4-4(k2-3)(4k2+3)|k2-3|=12|k|k2+1|k2-3|=62.得k4+8k2-9=0,则k=1.所以直线l方程为y=x-2或y=-x+2.13.已知等轴双曲线的中心在原点,焦点F1、F2在坐标轴上,且过点P(4,-10).(1)求双曲线方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:MF1MF2=0.(1)解:设双曲线方程为x2-y2=(0).双曲线过点(4,-10),16-10=,即=6,双曲线方程为x2-y2=6,即x26-y26=1.(2)证明:法一由(1)可知,双曲线中a=b=6,c=23,F1(-23,0),F2(23,0),kMF1=m3+23,kMF2=m3-23,kMF1kMF2=m29-12=-m23.点M(3,m)在双曲线上,9-m2=6,m2=3.故kMF1kMF2=-1,MF1MF2,MF1MF2=0.法二由(1)可知,双曲线中a=b=6,c=23,F1(-23,0),F2(23,0).MF1=(-23-3,-m),MF2=(23-3,-m),MF1MF2=(3+23)(3-23)+m2=m2-3.点M在双曲线上,9-m2=6.m2=3,即m2-3=0,MF1MF2=0.能力提升14.(20xx浙江衢州模拟)过双曲线x2a2-y2b2=1(ba0)的左焦点F(-c,0)(c0)作圆x2+y2=a2的切线,切点为E,延长FE交抛物线y2=4cx于点P,O为坐标原点,若OE=12(OF+OP),则双曲线的离心率为(D)(A)3+32(B)1+32(C)52(D)1+52解析:抛物线的焦点坐标为F2(c,0),准线方程为x=-c.圆的半径为a,OE=12(OF+OP),所以E是FP的中点,又E是切点,所以OEFP,连接PF2,则PF2FP,且PF2=2a,所以OE=a,FE=b,PF=2b,过P作准线的垂线PM,则PM=PF2=2a,所以MF=PF2-PM2=(2b)2-(2a)2=2b2-a2,在直角三角形FPF2中,PFPF2=FF2MF,即2b2a=2c2b2-a2,所以c2(b2-a2)=a2b2,即c2(c2-2a2)=a2(c2-a2),整理得c4-3a2c2+a4=0,即e4-3e2+1=0,解得e2=39-42=352,根据题意舍去e2=3-52,所以e2=3+52,即e2=3+52=6+254=(5+1)24,所以e=1+52.15.已知点P在曲线C1:x216-y29=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是.解析:依题意知P在曲线C1的左支上时|PQ|-|PR|取到最大值,|PQ|的最大值为|PC2|+1,|PR|的最小值为|PC3|-1,则|PQ|-|PR|的最大值是|PC2|+1-(|PC3|-1)=|PC2|-|PC3|+2=8+2=10.答案:1016.(20xx高考湖南卷)如图,O为坐标原点,双曲线C1:x2a12-y2b12=1(a10,b10)和椭圆C2:y2a22+x2b22=1(a2b20)均过点P(233,1),且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求C1,C2的方程;(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且|OA+OB|=|AB|?证明你的结论.解:(1)设C2的焦距为2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2.从而a1=1,c2=1.因为点P(233,1)在双曲线x2-y2b12=1上,所以(233)2-1b12=1.故b12=3.由椭圆的定义知2a2=(233)2+(1-1)2+(233)2+(1+1)2=23.于是a2=3,b22=a22-c22=2.故C1,C2的方程分别为x2-y23=1,y23+x22=1.(2)不存在符合题设条件的直线.若直线l垂直于x轴,因为l与C2只有一个公共点,所以直线l的方程为x=2或x=-2.当x=2时,易知A(2,3),B(2,-3),所以|OA+OB|=22,|AB|=23.此时,|OA+OB|AB|.当x=-2时,同理可知,|OA+OB|AB|.若直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx+m.由y=kx+m,x2-y23=1得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.当l与C1相交于A,B两点时,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,从而x1+x2=2km3-k2,x1x2=m2+3k2-3.于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=3k2-3m2k2-3.由y=kx+m,y23+x22=1得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.因为直线l与C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.化简,得m2=2k2+3.因此OAOB=x1x2+y1y2=m2+3k2-3+3k2-3m2k2-3=-k2-3k2-30,于是OA2+OB2+2OAOBOA2+OB2-2OAOB,即|OA+OB|2|OA-OB|2.故|OA+OB|AB|.综合,可知,不存在符合题设条件的直线.探究创新17.(20xx贵州省六校联盟联考)我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1、F2是一对相关曲线的焦点,P是它们在第一象限的交点,当F1PF2=60时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是.解析:设椭圆的半长轴为a1,椭圆的离心率为e1,则e1=ca1,a1=ce1.设双曲线的实半轴为a,双曲线的离心率为e,e=ca,a=ce.|PF1|=x,|PF2|=y(xy0),则由余弦定理得4c2=x2+y2-2xycos 60=x2+y2-xy,当点P看作是椭圆上的点时,有4c2=(x+y)2-3xy=4a12-3xy,当点P看作是双曲线上的点时,有4c2=(x-y)2+xy=4a2+xy,联立消去xy得4c2=a12+3a2,即4c2=ce12+3ce2,所以1e12+31e2=4,又因为1e1=e,所以e2+3e2=4,整理得e4-4e2+3=0,解得e2=3,所以e=3,即双曲线的离心率为3.答案:3