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1 1专题10 立体几何一基础题组1. 【20xx全国新课标，文7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A6 B9 C12 D18【答案】B2. 【20xx全国新课标，文7】设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A3a2 B6a2 C12a2 D24a2【答案】：B3. 【2007全国2，文7】已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于( )(A)(B)(C) (D) 【答案】：A4. 【2006全国2，文7】如图，平面平面，与两平面、所成的角分别为和。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、若AB=12,则( )（A）4（B）6 （C）8（D）9【答案】B【解析】连接AB和AB，设AB=a，可得AB与平面所成的角为，在RtBAB中有，同理可得AB与平面所成的角为，所以，因此在RtAAB中，所以，又因为AB=12,所以5. 【2005全国3，文4】设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B-APQC的体积为（ ）A B C D【答案】C6. 【2005全国2，文2】正方体中，、分别是、的中点那么，正方体的过、的截面图形是（ ）(A) 三角形(B) 四边形(C) 五边形(D) 六边形【答案】D7. 【2007全国2，文15】一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm2.【答案】：【解析】这个正四棱柱，体对角线为2cm，底面为边长1cm的正方形，则根据勾股定理，解得，则表面积.8. 【20xx全国2，文18】（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，是的中点.（）证明：/平面；（）设，三棱锥的体积，求到平面的距离.【答案】（）详见解析；（）9. 【20xx课标全国，文18】(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点(1)证明：BC1平面A1CD；(2)设AA1ACCB2，AB，求三棱锥CA1DE的体积 (2)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1CD.由已知ACCB，D为AB的中点，所以CDAB.又AA1ABA，于是CD平面ABB1A1.由AA1ACCB2，得ACB90，A1E3，故A1D2DE2A1E2，即DEA1D.所以VCA1DE1.10. 【20xx全国新课标，文19】如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB90，ACBCAA1，D是棱AA1的中点(1)证明：平面BDC1平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比11. 【20xx全国新课标，文18】如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点（1）证明：平面PAC平面PBD；（2）若AB，APBADB60，求四棱锥PABCD的体积12. 【2005全国2，文20】(本小题满分12分)如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，、分别为、的中点() 求证：平面；() 设，求与平面所成的角的大小 (II)解：不妨设BC=1，则PD=AD=1，AB=，PA=，AC=PAB为等腰直角三角形，且PB=2，F为其斜边中点，BF=1且AFPBPB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直PB平面AEF连结BE交AC于G，作GHBP交EF于H，则GH平面AEFGAH为AC与平面AEF所成的角由EGCBGA可知EG=GB，EG=EB，AG=AC=由EGHEBF可知GH=BF=GAH=AC与平面AEF所成的角为。方法二以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系。异面直线AC、PB所成的角为=0，PBAF又PBEF，EF、AF为平面AEF内两条相交直线PB平面AEFAC与平面AEF所成的角为即AC与平面AEF所成的角为。二能力题组1. 【20xx全国2，文6】如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A. B. C. D.【答案】C2. 【20xx课标全国，文9】一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()【答案】：A【解析】：如图所示，该四面体在空间直角坐标系Oxyz的图像为下图：则它在平面zOx的投影即正视图为，故选A.3. 【20xx全国新课标，文8】平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为()A BC D【答案】B4. 【20xx全国2，文8】已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为()A. B. C. D. 【答案】：D【解析】法一：(几何法)如图，取BC中点D，连结AD、SD.法二：(向量法)以A为原点，分别以AB、AS所在直线为x轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，易知S(0,0,3)，B(2,0,0)，C(1，0)设平面SBC的法向量为n(x，y，z)则，得n(3，2)，又(2,0,0)，当为AB与平面SBC所成的角时，sin|cos，n| 5. 【20xx全国新课标，文15】一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_(填入所有可能的几何体前的编号)三棱锥四棱锥三棱柱四棱柱圆锥 圆柱【答案】：6. 【2006全国2，文14】圆是以为半径的球的小圆，若圆的面积和球的表面积的比为，则圆心到球心的距离与球半径的比。【答案】【解析】7. 【2006全国2，文20】（本小题分）如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点。（I）证明：ED为异面直线与的公垂线；（II）设求二面角的大小不妨设AA12，则AC2，ABEDOB1，EF，tanA1FE，A1FE60所以二面角A1ADC1为60 12分解法二：（）如图，建立直角坐标系Oxyz，其中原点O为AC的中点8. 【2005全国3，文19】(本小题满分12分)在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD底面ABCD （）证明AB平面VAD； （）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小设是面VDB的法向量，则9分，11分又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为12分三拔高题组1. 【20xx全国2，文7】正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为( ) （A） （B） （C） （D）【答案】C2. 【20xx全国2，文11】与正方体ABCDA1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点()A有且只有1个 B有且只有2个C有且只有3个 D有无数个【答案】：D【解析】经验证线段B1D上的点B，D，中点，四等分点均满足题意，故由排除法知应有无数个点3. 【2005全国3，文11】不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（ ）A3个 B4个 C6个 D7个【答案】D【解析】4. 【2005全国2，文12】的顶点在平面内，、在的同一侧，、与所成的角分别是和若，则与所成的角为（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】C【解析】5. 【20xx课标全国，文15】已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为_【答案】：246. 【2010全国2，文16】已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB4，若OMON3，则两圆圆心的距离MN_.【答案】：37. 【2005全国2，文16】下面是关于三棱锥的四个命题： 底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥 侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.其中，真命题的编号是_(写出所有真命题的编号）【答案】8. 【20xx全国2，文19】如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，AA1AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE3EB1.(1)证明DE为异面直线AB1与CD的公垂线；(2)设异面直线AB1与CD的夹角为45，求二面角A1AC1B1的大小【解析】：法一：(1)证明：连结A1B，记A1B与AB1的交点为F，因为面AA1B1B为正方形，故A1BAB1，且AFFB1，又AE3EB1，所以FEEB1，又D为BB1的中点，故DEBF，DEAB1.作CGAB，G为垂足，由ACBC知，G为AB中点又由底面ABC面AA1B1B，得CG面AA1B1B，连结DG，则DGAB1，故DEDG，由三垂线定理，得DECD，所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线所以二面角A1AC1B1的大小为arctan.解法二：(1)证明：以B为坐标原点，射线BA为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，设AB2，则A(2,0,0)，B1(0,2,0)，D(0,1,0)，E(，0)，又设C(1,0，c)，则(，0)，(2，2,0)，(1，1，c)于是0，0，故DEB1A，DEDC，所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线 (2)因为，等于异面直线AB1与CD的夹角，令p，则q，r1，故n(，1)所以cosm，n.由于m，n等于二面角A1AC1B1的平面角，所以二面角A1AC1B1的大小为arccos.9. 【2007全国2，文20】（本小题满分12分）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD 底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点.()求证：EF 平面SAD()设SD = 2CD，求二面角A-EF-D的大小.取中点，连结，则.又平面，所以，而，所以面.取中点，连结，则.连结，则.故为二面角的平面角.所以二面角的大小为.解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系.所以向量和的夹角等于二面角的平面角.所以二面角的大小为.
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