新版新课标高三数学一轮复习 第4篇 第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用课时训练 理

1 1【导与练】（新课标）20xx届高三数学一轮复习 第4篇 第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用课时训练 理【选题明细表】知识点、方法题号平面向量的数量积3、4、8平面向量的夹角及垂直问题2、5、9平面向量的模1、6、7平面向量数量积的综合问题10、11、12平面向量与其他知识交汇问题13、14、15、16基础过关一、选择题1.(20xx高考辽宁卷)已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量AB同方向的单位向量为(A)(A)(35,-45) (B)（45,-35）(C)（-35,45）(D)（-45,35）解析:AB=(3,-4),则与AB同方向的单位向量为AB|AB|=15(3,-4)=（35,-45）.故选A.2.(20xx高考四川卷)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(mR),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m等于(D)(A)-2(B)-1(C)1(D)2解析:法一由已知得c=(m+4,2m+2),因为cos=ca|c|a|,cos=cb|c|b|,所以ca|c|a|=cb|c|b|,又由已知得|b|=2|a|,所以2ca=cb,即2(m+4)+2(2m+2)=4(m+4)+2(2m+2),解得m=2.故选D.法二易知c是以ma,b为邻边的平行四边形的对角线向量,因为c与a的夹角等于c与b的夹角,则m0,所以该平行四边形为菱形,又由已知得|b|=2|a|,故m=2.故选D.3.已知向量a=(1,2),b=(x,-4),若ab,则ab等于(A)(A)-10(B)-6(C)0(D)6解析:由ab得2x=-4,x=-2,故ab=(1,2)(-2,-4)=-10.故选A.4.若向量a,b满足:|a|=1,(a+b)a,(2a+b)b,则|b|等于(B)(A)2(B)2(C)1(D)22解析:利用向量的运算列式求解.由题意知(a+b)a=0,(2a+b)b=0,即a2+ba=0,2ab+b2=0,将2-得,2a2-b2=0,b2=|b|2=2a2=2|a|2=2,故|b|=2.故选B.5.在ABC中,AB=(cos 18,cos 72),BC=(2cos 63,2cos 27),则角B等于(B)(A)4(B)34(C)3(D)23解析:ABBC=2cos 18cos 63+2cos 72cos 27=2sin 27cos 18+2cos 27sin 18=2sin(27+18)=2sin 45=2.而|AB|=1,|BC|=2,cos B=-ABBC|AB|BC|=-22,又B(0,),B=34.故选B.二、填空题6.(20xx四川成都石室模拟)已知向量a、b满足a=(1,0),b=(2,4),则|a+b|=.解析:|a+b|=|(3,4)|=32+42=5.答案:57.(20xx高考江西卷)已知单位向量e1与e2的夹角为,且cos =13,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为,则cos =.解析:ab=(3e1-2e2) (3e1-e2)=9+2-91113=8,|a|2=(3e1-2e2)2=9+4-121113=9.|a|=3.同理,|b|=22.cos =ab|a|b|=8322=223.答案:2238. 正三角形ABC中,D是边BC上的点,AB=3,BD=1,则ABAD=.解析:法一ABAC=33cos 60=92,AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13(AC-AB)=23AB+13AC,ABAD=AB（23AB+13AC）=23AB2+13ABAC=152.法二以B为原点,BC所在的直线为x轴,建立坐标系,则B(0,0),A（32,332）,D(1,0).所以AB=（-32,-332）,AD=（-12,-332）,所以ABAD=（-32）（-12）+（-332）2=152.答案:1529.(20xx安徽巢湖模拟)已知a=(,2),b=(3,2),如果a与b的夹角为锐角,则的取值范围是.解析:由题意知,ab0且a与b不共线,所以32+40,2-620,解得-43或013,所以的取值范围是（-,-43）（0,13）（13,+）.答案:（-,-43）（0,13）（13,+）10.关于平面向量a,b,c,有以下命题:若ab=ac,则b=c.若a=(1,k),b=(-2,6),ab,则k=13.非零向量a和b,满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为60非零向量a和b,满足|a+b|=|a-b|,则ab其中真命题的序号为.解析:命题明显不正确;对于向量垂直的充要条件易得k=13,命题正确;对于,可结合平行四边形法则,得a与a+b的夹角为30,命题不正确;对于,由|a+b|=|a-b|得(a+b)2=(a-b)2,ab=0,ab,命题正确.答案:三、解答题11.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(xR).(1)若ab,求x的值;(2)若ab,求|a-b|.解:(1)由ab,得ab=0,故2x+3-x2=0,解得x=-1或x=3.(2)a-b=(-2x-2,2x),因为ab,所以x(2x+3)+x=0,解得x=0或x=-2.当x=0时,a-b=(-2,0),|a-b|=(-2)2+02=2.当x=-2时,a-b=(2,-4),|a-b|=22+(-4)2=25.综上,|a-b|为2或25.12.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61,(1)求a与b的夹角;(2)求|a+b|;(3)若AB=a,BC=b,求ABC的面积.解:(1)(2a-3b)(2a+b)=61,4|a|2-4ab-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,64-4ab-27=61,ab=-6.cos =ab|a|b|=-643=-12.又0,=23.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=42+2(-6)+32=13,|a+b|=13.(3)AB与BC的夹角=23,ABC=-23=3.又|AB|=|a|=4,|BC|=|b|=3,SABC=12|AB|BC|sinABC=124332=33.能力提升13.已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在x轴上存在一点P使APBP有最小值,则P点的坐标是(C)(A)(-3,0)(B)(2,0)(C)(3,0)(D)(4,0)解析:设P点的坐标为(x,0),则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1).APBP=(x-2)(x-4)+(-2)(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,APBP有最小值1.点P坐标为(3,0).故选C.14.(20xx河南郑州模拟)如图,RtABC中,C=90,其内切圆切AC边于D点,O为圆心.若|AD|=2|CD|=2,则BOAC=.解析:以CA所在的直线为x轴,CB所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则C(0,0)、O(1,1)、A(3,0).设直角三角形内切圆与AB边交于点E,与CB边交于点F,则由圆的切线长定理可得BE=BF,AD=AE=2,设BE=BF=x,在RtABC中,可得CB2+CA2=AB2,即(x+1)2+9=(x+2)2,解得x=3,故B(0,4).BOAC=(1,-3)(-3,0)=-3.答案:-315.(20xx西安模拟)在ABC中,设内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos A,sin A),向量n=(2-sin A,cos A),若|m+n|=2.(1)求角A的大小;(2)若b=42,且c=2a,求ABC的面积.解:(1)|m+n|=(cosA+2-sinA)2+(sinA+cosA)2=4+22(cosA-sinA)=4+4cos(4+A),所以4+4cos（4+A）=4,所以cos（4+A）=0.又因为A(0,),故4+A=2,所以A=4.(2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即a2=(42)2+(2a)2-2422acos 4,解得a=42,所以c=8,所以SABC=1242822=16.探究创新16.(20xx衡水中学调研)已知|a|=2|b|0,且关于x的函数f(x)=13x3+12|a|x2+abx在R上有极值,则向量a与b的夹角的范围是(C)(A)0,6)(B)(6,(C)(3,(D)(3,23)解析:设a与b的夹角为.f(x)=13x3+12|a|x2+abx,f(x)=x2+|a|x+ab.函数f(x)在R上有极值,方程x2+|a|x+ab=0有两个不同的实数根,即=|a|2-4ab0,aba24,又|a|=2|b|0,cos =ab|a|b|a24a22=12,即cos 12,又0,(3,故选C.