新编新课标高三数学一轮复习 第6篇 第2节 基本不等式课时训练 理

【导与练】（新课标）20xx届高三数学一轮复习 第6篇 第2节 基本不等式课时训练 理【选题明细表】知识点、方法题号利用基本不等式比较大小、证明1、4、14利用基本不等式求最值2、3、8、9基本不等式的实际应用6、10、15基本不等式的综合问题5、7、11、12、13一、选择题1.下列不等式一定成立的是(C)(A)lg（x2+14）lg x(x0)(B)sin x+1sinx2(xk,kZ)(C)x2+12|x|(xR)(D)1x2+11(xR)解析:对选项A,当x0时,x2+14-x=（x-12）20,lg（x2+14）lg x;对选项B,当sin x0时显然不成立;对选项C,x2+1=|x|2+12|x|,一定成立;对选项D,x2+11,00时,函数f(x)=2xx2+1有(B)(A)最小值1(B)最大值1(C)最小值2(D)最大值2解析:f(x)=2x+1x22x1x=1.当且仅当x=1x,x0即x=1时取等号.所以f(x)有最大值1.3.若正数x、y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是(C)(A)245(B)285(C)5(D)6解析:由x+3y=5xy,得3x+1y=5(x0,y0),则3x+4y=15(3x+4y)（3x+1y）=15(13+12yx+3xy)15(13+212yx3xy)=15(13+12)=5.当且仅当12yx=3xy,即x=2y时,等号成立,此时由x=2y,x+3y=5xy,解得x=1,y=12.故选C.4.(20xx重庆市部分重点中学高三联考)已知p=a+1a-2(a2),q=(12)x2-2(xR),则p,q的大小关系为(A)(A)pq(B)pq(C)p0,b0,若3是3a与32b的等比中项,则2a+1b的最小值为(A)(A)8(B)4(C)1(D)14解析:由已知得3a32b=3,即3a+2b=3,所以a+2b=1,所以2a+1b=(a+2b)(2a+1b)=4+4ba+ab4+24baab=8.当且仅当4ba=ab,a+2b=1,即a=2b=12时取等号.所以最小值为8.故选A.6.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为x8天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品(B)(A)60件(B)80件(C)100件(D)120件解析:每批生产x件产品,则每件产品的生产准备费用是800x元,仓储费用是x8元,每件产品的总的费用y=800x+x82800xx8=20,当且仅当800x=x8时取等号,得x=80.故选B.7.(20xx吉安模拟)设x,yR,a1,b1,若ax=by=2,2a+b=8,则1x+1y的最大值为(B)(A)2(B)3(C)4(D)log23解析:由题意得1x=log2a,1y=log2b,1x+1y=log2a+log2b=log2(ab)=log2(2ab)-1log2(2a+b2)2-1=log2(82)2-1=3.当且仅当2a=b.2a+b=8,即a=2,b=4时取等号.故选B.二、填空题8.(20xx洛阳月考)设正实数a,b满足a+b=2,则1a+a8b的最小值为.解析:依题意得1a+a8b=a+b2a+a8b=12+b2a+a8b12+2b2aa8b=1,当且仅当b2a=a8b,a+b=2即a=2b=43时取等号,因此1a+a8b的最小值是1.答案:19.(20xx南昌模拟)已知x0,y0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为.解析:9=x+3y+xy=x+3y+13(x3y)x+3y+13(x+3y2)2,所以(x+3y)2+12(x+3y)-1080.所以x+3y6或x+3y-18(舍去).当且仅当x=3y=3时取“=”.答案:610.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(xN*),则当每台机器运转年时,年平均利润最大,最大值是万元.解析:每台机器运转x年的年平均利润为yx=18-(x+25x),而x0,故yx18-225=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.答案:5811.已知直线ax-2by=2(a0,b0)过圆x2+y2-4x+2y+1=0的圆心,ab的最大值为.解析:圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4,所以圆心为(2,-1),因为直线过圆心,所以2a+2b=2,即a+b=1.所以ab（a+b2）2=14,当且仅当a=b=12时取等号,所以ab的最大值为14.答案:1412.函数y=a1-x(a0,且a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0(mn0)上,则1m+1n的最小值为.解析:A(1,1),由点A在直线mx+ny-1=0上,得m+n=1,所以1m+1n=(m+n)（1m+1n）=2+mn+nm2+2mnnm=4.当且仅当m=n=12时取等号.答案:413.(20xx阜阳模拟)已知二次函数f(x)=cx2-4x+a+1的值域是1,+),则1a+9c的最小值是.解析:由题意得c0,4c(a+1)-(-4)24c=1,即c0,ac=4.所以1a+9c=c+9aac=c+9a4142c9a=32ac=3.当且仅当9a=c,ac=4即a=23,c=6时取等号.答案:3三、解答题14.已知函数f(x)=lg x,若x1,x20,判断12f(x1)+f(x2)与f（x1+x22）的大小,并加以证明.解:12f(x1)+f(x2)f（x1+x22）.证明如下:f(x1)+f(x2)=lg x1+lg x2=lg(x1x2),f（x1+x22）=lg x1+x22,且x1,x20,x1x2（x1+x22）2,lg(x1x2)lg（x1+x22）2,12lg(x1x2)lg x1+x22,12(lg x1+lg x2)lg x1+x22.即12f(x1)+f(x2)f（x1+x22）,当且仅当x1=x2时,等号成立.15.某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张,每批都购入x张(x是正整数),且每批均需付运费4元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入4张,则该月需用去运费和保管费共52元,现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x);(2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.解:(1)设题中比例系数为k,每批购入x张书桌,则共需分36x批,每批价值为20x元,由题意得f(x)=36x4+k20x.由x=4时,f(x)=52,得k=1680=15.f(x)=144x+4x(0x36,xN*).(2)由(1)知f(x)=144x+4x(0x36,xN*),f(x)2144x4x=48(元).当且仅当144x=4x,即x=6时,上式等号成立.故每批购入6张书桌,可以使资金够用.